Аксиома

Аксиома ( греч. axiōma - Общепринятое, несомненно, от axio - считаю достойным, настаиваю, требую)

  1. исходное положение, самоочевидный принцип. В дедуктивных научных теориях аксиомами называют основные исходные положения или утверждение какой-то теории, принимаемые без доказательств, и из которых путем дедукции, т.е. чисто логическими средствами, получают все остальное ее содержание. См.. Аксиоматический метод.
  2. в переносном смысле, что не требует никаких доказательств.
  3. аксиома - это утверждение, отрицание которого отрицает основы логического мышления.

История

Начальные геометрические сведения дошли до нас из глубокой древности. Например, формулы для вычисления площадей земельных участков, имеющих форму прямоугольника, треугольника, трапеции, были найдены в древнеегипетских математических папирусах, относящихся к 2000 г. до н. е., в клинописных таблицах древнего Вавилона.

Начальные геометрические знания были получены опытным путем. Получение новых геометрических фактов путем рассуждений (доказательств) началось с древнегреческого ученого Фалеса (VI век до н. н.э.). Ему приписывают установление свойств равнобедренного треугольника, доведение равенства вертикальных углов, доказательства того, что вписан угол, опирающийся на диаметр - прямой (имеет 90 ?), и прочее. Фалес, очевидно, применял поворот части фигуры и перегибов чертежи, т.е. превращение, которые сейчас называют перемещениями, или движениями (см. Геометрические преобразования).

Постепенно доказательства приобретают геометрии все большее значение. К III в. до н. е. геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода (дедукции), доказательств. В те времена древнегреческим ученым Евклидом была написана книга "Начала". В ней были сформулированы и доказаны свойства параллелограммов и трапеций, теорему Пифагора, изучается сходство многоугольников, рассматривается много других геометрических фактов.

В книге Евклид проводит аксиоматический взгляд на геометрию. Мнение Евклида была такой: для произвольной теоремы, можно проследить, ранее доказанные теоремы были использованы при ее доказательстве. Для этих ранее доказанных теорем в свою очередь можно выделить еще проще факты, из которых они выводятся, и так далее. Наконец, можно получить набор некоторых фактов, позволяющих довести все теоремы геометрии. Эти факты настолько просты, что не возникает вопрос о необходимости их доказывания. Их назвали аксиомами. Весь набор аксиом (система) называется аксиоматикой.

Таким образом, аксиомы - это начальные факты геометрии, принимаемых без доказательств и позволяют доводить из них все последующие факты этой науки. Утверждение, доказанные с аксиом, называют теоремами.

Среди сформулированных Евклидом аксиом является, например, такие: "через две точки можно провести прямую", "попарно равны третьи равны между собой", "если на плоскости данные прямая и точка, лежащая вне этой прямой, то через эту точку можно провести в плоскости не более одной прямой, которая не пересекается с этой прямой "(последняя этих аксиом - аксиома параллельности - у Евклида формулировалась несколько иначе).

Аксиомы есть не только в геометрии, но и в алгебре и других математических науках. Например, равенства:

a + b = b + a

a + (b + c) = (a + b) + c

a +0 = a

a + (-a) = 0

a * b = b * a

a (bc) = (ab) c

a * 1 = a

a (1 / a) = 1 , ( a! = 0 )

a (b + c) = ab + ac

отражающие свойства сложения и умножения, есть в алгебре аксиомами: они принимаются без доказательства и используются для доведения новых фактов (для доказательства теорем). Например, с помощью аксиом доказывают формулы квадрата суммы или разности, правила умножения многочленов, формулы суммы членов геометрической прогрессии и другие

В математической науке аксиомы возникают в процессе ее длительного и сложного исторического развития. Начальные факты накапливаются в процессе практической деятельности человека. Их проверяют, уточняют, систематизируют. Исключают из них те, которые могут быть получены из других исходных фактов. Иногда оказывается, что полученный список простейших фактов (аксиом) - неполный, т.е. этих фактов недостаточно для вывода всех теорем, и тогда в этот список добавляют отсутствуют аксиомы. В результате и получается полный набор аксиом (аксиоматика). После Евклида математики многих поколений стремились улучшить, дополнить его аксиоматику геометрии. Большую роль сыграли работы современника Евклида, древнегреческого ученого Архимеда, который сформулировал аксиомы, относящиеся к измерению геометрических величин. Существенный вклад в усовершенствование аксиоматики геометрии внесли Н. И. Лобачевский, М. Паш, Д. Ж. Пеано. Логически безупречный список аксиом геометрии была указана на рубеже XIX и ХХ вв. немецким математиком Д. Гильбертом.


См.. также