Аксиоматический метод

Аксиоматический метод - способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, которые называют аксиомами теории, а все остальные положения теории вытекают как логические следствия аксиом. Большинство направлений современной математики, теоретическая механика, ряд разделов физики построены на основе аксиоматического метода. В математике аксиоматический метод дает возможность создания законченных, логичнозавершиних научных теорий. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, часто находит применение в других науках.

В математике аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом его применения до XIX в. была геометрическая система, известная под названием "Начала" Евклида (ок. 300 до н.э.). Хотя в то время не стоял еще вопрос об описании логических средств, применяемых для получения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко прослеживается идея получения всего основного содержания геометрической теории чисто дедуктивным путем, с определенного, относительно небольшого, числа утверждений - аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной.

Открытие в начале XIX в. неевклидовой геометрии М. И. Лобачевским и Я. Больяи стало толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный и, казалось бы, единственно "объективно истинный" V постулат Евклида о параллельных прямых его отрицанием, можно развивать чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков XIX в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что привело к возникновению связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла так называемая теория доказательств как основной раздел современной математической логики.

Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более или менее отчетливой форме уже в XIX в. Уточнение основных понятий анализа и сведения сложных понятий к простейшим на точной и логически все прочной основе, а также открытие неевклидовых геометрий стимулировали развитие аксиоматического метода и возникновения проблем общего математического характера, таких, как непротиворечивость, полнота и независимость той или системы аксиом.

Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций, который может быть описан следующим образом. Пусть каждом выходном понятию и соотношению данной аксиоматической теории Т поставлен в соответствие определенный конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению U теории Т естественным образом ставится в соответствие определенное выражение U * об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждение U теории Т соответствии истинное или ложное в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойства обычно сами являются объектом рассмотрения определенной математической теории T 1, которая, в частности, может быть тоже аксиоматической.

Метод интерпретаций позволяет устанавливать факт относительной непротиворечивости, то есть доказать утверждения типа: "если теория T 1 непротиворечивая, то непротиворечивая и теория Т". Пусть теория Т проинтерпретирована в теории T 1 таким образом, что все аксиомы А и теории Т интерпретируются истинными утверждениями А и * теории Т 1. Тогда всякая теорема теории Т, т.е. всякое утверждение А, логически выведено из аксиом А и в Т, интерпретируется в T 1 определенным утверждением А *, которое можно вывести в Т из интерпретаций А ​​* и аксиом А и, и следовательно истинным. Последнее утверждение опирается на еще одно предположение, что делается неявно нами, определенного сходства логических средств, применяемых в теориях Т и Т 1. Практически это условие обычно выполняется. Пусть теперь теория Т противоречива, т.е. некое утверждение А этой теории выведено в ней вместе со своим отрицанием. Тогда из вышесказанного следует, что утверждение А * и "не А *" будут одновременно истинными утверждениями теории Т 1, т.е. теория Т 1 противоречива. Этим методом была, напр., Доказана (Ф. Клейн, А. Пуанкаре) непротиворечивость неевклидовой геометрии Лобачевского в предположении, что непротиворечивая геометрия Евклида, а вопрос о непротиворечивость гильбертовом аксиоматизациы евклидовой геометрии был возведен (Д. Гильберт) к проблеме непротиворечивости арифметики.

Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не виводима из других аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной теории, достаточно построить такую ​​интерпретацию теории Т, в которой аксиома А была бы ложная, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Вышеупомянутое сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивость арифметики имеет своим следствием утверждения, что V постулат Евклида НЕ виводимий из других аксиом геометрии, если только непротиворечивой является арифметика натуральных чисел.

Слабая сторона метода интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать только результаты, носят относительный характер. Важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была обнаружена особая роль арифметики как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.

Дальнейшее развитие - в известном смысле это была вершина - аксиоматический метод получил в работах Д. Гильберта и его школы. В рамках этого направления было произведено дальнейшее уточнение понятия аксиоматической теории, а само понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представлять сами математические теории как точные математические объекты и строить общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом привлекательной представлялась перспектива (и Д. Гильберт был в свое время ею увлечен) решить на этом пути все главные вопросы обоснования математики. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений - формул, в котором определенным точным образом выделяется подкласс формул, называют теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы сами не несут в себе никакого содержательного смысла, их можно строить из произвольных знаков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технической удобства. На самом деле способ построения формул и понятие теоремы той или формальной системы выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно применять для как можно более адекватного и полного выражения той или конкретной математической (или не математической) теории, точнее, как ее фактического содержания, так и ее дедуктивной структуры. Всякую конкретную математическую теорию Т можно перевести на язык пригодной формальной системы S таким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) высказывания теории Т выражается определенной формуле системы S.

Естественно ожидать, что метод формализации позволит строить все положительное содержание математических теорий на такой точной и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математических теорий решать форме доказательств соответствующих утверждений формальных систем , которые формализуют эти теории. Чтобы получить доказательства утверждений о непротиворечивость, не зависящих от тех мощных средств, которые в классических математических теориях раз и является причиной осложнений их обоснование, Д. Гильберт предлагал исследовать формальные системы т.н. финитных методами (см. Метаматематика).

Однако результаты К. Геделя начале 30-х г. XX ст. привели к краху основных надежд, что связывались с этой программой. К. Гедель показал следующее.

  1. Всякая естественная, непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику (например, теории множеств), неполная и непополняемые в том смысле, что: а) в S содержатся (содержательно истинные неразрешимые формулы, то есть такие формулы А, ни А, ни отрицания А не виводими в S (неполнота формализованной арифметикы), б) какой бы конечным множеством дополнительных аксиом (например, неразрешимыми в S формулами) расширять систему S, в новой, усиленной таким образом формальной системе неизбежно появятся свои неразрешимые формулы (непоповнюванисть;).
  2. Если формализованная арифметика действительности непротиворечивая, то, хотя утверждение о ее непротиворечивость может быть выражено ее собственным языком, доведение этого утверждения невозможно провести средствами, формализуются в ней самой.

Это означает, что уже для арифметики принципиально невозможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом виводимих ​​формул какой бы формальной системой и нет никакой надежды получить какое-нибудь финитных доказательства непротиворечивости арифметики, потому что, очевидно, всякое разумное уточнение понятия финитного доказательства оказывается формализуемим в формальной арифметике.

Все это ставит определенные границы можливстям А. м. в том его виде, который он приобрел в рамках гильбертовського формализма. Однако и в этих границах он сыграл и продолжает играть важную роль в основах математики. Так, напр., Уже после описанных результатов К. Геделя им же в 1938 -40 гг, а затем П. Коэном в 1963 г. на основе аксиоматического подхода с применением метода интерпретаций были получены фундаментальные результаты о совместимости (т.е. относительную непротиворечивость) и независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы в теории множеств. Что касается такого основного вопроса основ математики, как проблема непротиворечивости, и после результатов К. Геделя стало ясно, что для его решения, очевидно, не обойтись без других, отличных от финитистських, средств и идей. Здесь оказались возможными различные подходы, учитывая существование различных взглядов на допустимость тех или иных логично средств.

Из результатов о непротиворечивость формальных систем следует указать на доведение непротиворечивости формализованной арифметики, которое опирается на бесконечную индукцию к определенному сочтены трансфинитных числа.

По П. С. Новиковым.


Литература

  • "Начала" Евклида, пер. с греч., кн. 1-15, М. - Л., 1948-50;
  • Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М. - Л., 1949;
  • Гильберт Д.. Основания геометрии, пер. с нем .. М. - Л., 1948;
  • Гильберт Д., Бернайс П., Основания математики. Логические исчисления и Формализация арифметики, пер. с нем., М., 1979;
  • их же, Основания математики. Теория доказательств, пер. с нем., М., 1982;
  • Гедель К., "Успехи матем. Наук", 1948, т. 3, в. 1, с, 96-149;
  • Коэн П. Д ж., Теория множеств и континуум-гипотеза, пер. с англ., М., 1969;
  • Генцен Г., Непротиворечивость чистой теории чисел, в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967, с. 77 - 153.


Развив аксиоматическую теорию, можно, не проводя повторных соображений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы соответствующие аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет применять аксиоматически развитые теории в различных областях знаний. Именно в этом сила аксиоматического метода.

Современная точка зрения на построение аксиоматической теории такова:

  1. перечисляются начальные понятия (те что не определяются: точка в геометрии)
  2. указывается список аксиом, которые устанавливают некоторые связи и отношения между исходными понятиями
  3. с помощью Определение вводятся дальнейшие понятия
  4. с помощью начальных фактов, содержащихся в аксиомах, с помощью некоторой логической системы, приходятся дальнейшие факты - теоремы

Начальные понятия и аксиомы заимствуют из опыта. Поэтому ожидается, что все факты, доказанные в аксиоматической теории, имеют тесную связь с жизнью и могут быть использованы в практической деятельности человека.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, что можно понимать так: сколько 6 теорем из этих аксиом мы не доводили, среди них не будет двух теорем, которые противоречат друг другу. Противоречивая аксиоматика не может быть основой для построения содержательной теории.