Надо Знать

добавить знаний



Алгебра



План:


Введение

Алгебра (от араб. الجبر аль-джебр - восстановление) - раздел математики, изучающий математические операции и отношений, и движения, основанные на них: многочлены, алгебраические уравнения, алгебраические структуры. Изучение свойств композиций разного вида в 19 веке привело к мысли, что основная задача алгебры - изучение свойств операций независимо от объектов, к которым они применяются. С тех пор алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах и законы композиции операций. В наши дни алгебра - одна из важнейших частей математики, находит применение как в чисто теоретических, так и в практических областях науки.


1. История

См.. также История арифметики

1.1. Древний мир

Решим задачу: "Возраст трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст старшего будет равен сумме возраста обоих младших братьев?" Обозначив искомую величину как х, составим уравнения : 30 + х = (20 + х) + (6 + х), откуда х ​​= 4. Близкий к описанному метод решения был известен еще в II тысячелетии до н.е. переписчикам древнего Египта (однако они не применяли буквенной символики). В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются не только задачи, приводящие к линейных уравнений с одним неизвестным, как в задаче о возрасте братьев, но и задачи, приводящие к квадратных уравнений вида Aх ? = b.

Еще более сложные задачи умели решать в начале II тысячелетия до н.е. в древнем Вавилоне : в математических текстах, выполненных клинописью на глиняных табличках, есть квадратные и биквадратни уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и простейшие кубические уравнения. При этом вавилоняне также не использовали буквенных обозначений, а приводили решения типовых задач, сводя решение аналогичных задач к замене числовых значений. В числовой форме приводились также и некоторые правила тождественных преобразований. Если при решении уравнения надо было найти квадратный корень числа а, не является точным квадратом, приближенное значение корня х находили как среднее арифметическое чисел х и а / х.

Первые общие утверждения о тождественных преобразования встречаются у древнегреческих математиков, начиная с VI в.до н.е. Среди математиков древней Греции было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Вместо добавление чисел говорили о сложении отрезков, произведение двух чисел истолковывали как площадь прямоугольника, а произведение трех чисел как объем прямоугольного параллелепипеда. Алгебраические формулы принимали вид соотношений между площадями и объемами. Например, говорили, что площадь квадрата, построенного на сумме двух отрезков, равна сумме площадей квадратов, построенных на этих отрезках, увеличенной на удвоенную площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках. Таким образом появились термины "квадрат числа" (т.е. произведение величины на себя), "куб числа", "Среднее геометрическое". Геометрическую форму у греков приобрел и решение квадратного уравнения - они искали стороны прямоугольника по заданным периметру и площади.

Большинство задач в Греции решался путем построений циркулем и линейкой. Но не все задачи могли быть решены такими методами. Примерами таких задач является удвоение куба, трисекции угла, задачи построения правильного семиугольника (см. Классические задачи древности). Все они сводились к кубических уравнений вида х ? = 2, 4х ? - З = а и х ? + х ? - 2х - 1 = 0 соответственно. Для решения этих задач был разработан новый метод, - отыскание точек пересечения конических сечений ( эллипса, параболы и гиперболы).

Геометрический подход к алгебраических проблем ограничивал дальнейшее развитие науки. Например, можно было добавлять величины разных размерностей ( длины, площади, объема), нельзя было говорить о произведении более чем трех множителей и т.д.. Идея отказа от геометрического трактовка появилась в Диофанта Александрийского, жившего в III в. В его книге "Арифметика" появляется буквенная символика и специальные обозначения для степеней вплоть до 6-й. Были у него и обозначения для отрицательных степеней, отрицательных чисел, а также знак равенства (особого знака для добавления еще не было), краткое запись правил умножения положительных и отрицательных чисел. На дальнейшее развитие алгебры сильное влияние имели исследованы Диофантом задачи, приводящие к сложным системам алгебраических уравнений, в том числе к системам, где количество уравнений было меньше количества неизвестных. Для таких уравнений Диофант искал лишь положительные рациональные решения (см. Диофант уравнения).

С VI в. центр математических исследований перемещается в Индия, Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Китайские ученые разработали метод последовательного исключения неизвестных для решения систем линейных уравнений, дали новые методы приближенного решения уравнений высших степеней. Индийские математики ( Ариабхата I, Брамагупта) использовали отрицательные числа, усовершенствовали буквенную символику. Однако лишь в трудах ученых Ближнего Востока и Средней Азии алгебра оформилась в самостоятельную отрасль математики, занимающийся решением уравнений. В IX в. узбекский математик и астроном Мухаммед аль-Хорезми написал трактат "Китаб аль-джебр валь-мукабала", где дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово "аль-джебр" (восстановление), от которого новая наука получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной части в другую с изменением знака. Ученые Востока изучали решение кубических уравнений, хотя не сумели получить общей формулы для их корней.

В Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский ( Фибоначчи) (близько. 1170 - после 1228). Его "Книга абака" (1202) - трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно (см. Числа Фибоначчи). Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие формулы для решения кубического уравнения, опубликованной в 1545. Это было заслугой итальянских алгебраистов Сципион дель Ферро, Никколо Тарталья и Джироламо Кардано. Ученик Кардано Лодовико Феррари решил и уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к открытию комплексных чисел.


1.2. Развитие символики

Отсутствие удобной и развитой символики сдерживало дальнейшее развитие алгебры: самые сложные формулы приходилось излагать в словесной форме. Конце XV в. Лука Пачоли попытался ввести алгебраическую символику, хотя большего успеха достиг в конце XVI в. французский математик Франсуа Виет, введя буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для произвольных постоянных величин. Символику Виета была усовершенствована его последователями. Окончательный вид ей предоставил в XVII в. французский философ и математик Рене Декарт, который ввел (применяемые до сих пор) обозначения для показателей степеней.

Постепенно расширялся запас чисел, с которыми можно было выполнять действия. Завоевали права гражданства отрицательные числа, затем - комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа. Оказалось, что, несмотря на такое расширение запаса чисел, ранее установленные правила алгебраических преобразований сохраняют свою силу. Наконец, Декарту удалось освободить алгебру от несвойственной ей геометрической формы. Все это позволило рассматривать вопрос решения уравнений в самом общем виде, применять уравнения к решению геометрических задач. Например, задача о нахождении точки пересечения двух прямых свелась к решению системы уравнений, которым удовлетворяли точки этих прямых. Такой метод решения геометрических задач получил название аналитической геометрии.

Развитие алфавитной символики позволил установить общие утверждения относительно алгебраических уравнений: теорема Безу о делимости многочлена P (x) на двучлен (х - а), где a - корень этого многочлена; формула Виета для соотношения между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами; правила, позволяющие оценивать количество действительных корней уравнения, общие методы исключения неизвестных из систем уравнений и т.д..


1.3. Дальнейшие успехи относительно традиционных задач алгебры

Особенно далеко в сфере решения систем линейных уравнений удалось продвинуться в XVIII в. - для них были получены формулы, позволяющие выразить решение через коэффициенты и свободные члены. Дальнейшее изучение таких систем уравнений привело к теории матриц и определителей. Конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение называется основной теоремы алгебры. В течение двух с половиной веков внимание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего уравнения 5-й степени. Надо было выразить решение этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в XIX в. итальянец Паоло Руффини и норвежец Нильс Абель независимо друг от друга доказали, что такой формулы не существует (см. Теорема Абеля-Руффини). Эти исследования были завершены французским математиком Э. Галуа, методы которого позволили для такого уравнения определить, решается оно в радикалах или нет. Один из самых математиков - К. Гаусс выяснил, когда можно построить циркулем и линейкой правильный n-угольник: данная задача была напрямую связана с изучением корней уравнения x n = 1. Выяснилось, что она разрешима только тогда, когда число n является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. Тем самым молодой студент (Гауссу было тогда всего 19 лет) решил задачу, которой безуспешно занимались ученые более двух тысячелетий.


1.4. Расширение области исследований алгебры

В начале XIX в., была решена основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Алгебра получила самостоятельное обоснование, не опирающееся на геометрические понятия, а алгебраические методы стали применяться для решения геометрических задач. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о возможности решения уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Стороннему наблюдателю могло показаться, что теперь математики решать новые классы уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д.. Однако развитие алгебры стала развиваться другим путем: из науки о буквенные исчисления и уравнения она превратилась в общую науку об операциях и их свойства.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании Гиперкомплексные чисел - чисел с несколькими мнимыми единицами. Такую систему чисел, имевших вид a + bi + cj + dk, где i 2 = j 2 = k 2 = -1, построил в 1843 г. ирландский математик Уильям Гамильтон, назвав их кватернионов. Правила действий над кватернионов напоминают правила обычной алгебры, однако операция умножения не является коммутативной : например, ij = k, а ji = - k.

С операциями, свойства которых лишь частично напоминают свойства арифметических операций, математики XIX в. столкнулись и в других вопросах. В 1858 г. английский математик Артур Келли ввел общую операцию умножения матриц и изучил ее свойства. Оказалось, что к умножению матриц возводится много изученных ранее операции. Английский логик Джордж Буль в середине XIX в. начал изучать операции над высказываниями, которые позволяли из двух данных высказываний построить третье, а в конце XIX в. немецкий математик Георг Кантор ввел операции над множествами: объединения, пересечение и т.д.. Оказалось, что и как в случае операций над высказываниями, так операции обладают свойствами коммутативности, ассоциативностью и дистрибутивности, но некоторые их свойства не похожи на свойства операций над числами.

Таким образом в течение XIX в. возникли различные виды алгебр : обычных чисел, комплексных чисел, кватернионов, матриц, высказываний, множеств. Каждая из них имела свои правила, свои тождества, свои методы решения уравнений. При этом для некоторых видов алгебр правила были очень похожими. Например, правила алгебры рациональных чисел не отличаются от правил алгебры действительных чисел. Именно поэтому формулы для рациональных чисел, оказываются верными и для любых действительных (и даже любых комплексных) чисел. Одинаковыми оказались правила в алгебре высказываний и в алгебре множеств. Все это привело к абстрактному понятию композиции, т.е. операции, которая каждой паре (a, b) элементов определенного множества ставит в соответствие третий элемент этой же множества. Композициями является сложения и умножения натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел, умножения матриц, пересечение и объединение подмножеств определенного множества, и тому подобное. А вычитание и деление в поле натуральных чисел не является композициями, ибо разница и доля могут не быть натуральными числами.

Изучение свойств композиций разного вида привело к мысли, что основная задача алгебры - изучение свойств операций независимо от объектов, к которым они применяются. Иначе говоря, - алгебра стала рассматриваться как общая наука о свойствах и законы композиции операций. При этом два множества, в каждой из которых определены композиции, стали считать тождественными с точки зрения алгебры (изоморфными), если между этими множествами можно установить взаимно-однозначное соответствие, переводящее один закон композиции в другой. Если два множества с композициями изоморфны, то, изучая одну из них, узнаем алгебраические свойства другого.

Поскольку совокупность различных множеств с заданными в них законами композиции ограничено, было выделено типа таких множеств, которые хотя и не изоморфны, однако имеют общие свойства композиции. Например, изучив свойства операций сложения и умножения над множествами рациональных, действительных и комплексных чисел, математики создали общее понятие поля - множества, где определены эти две операции, причем выполняются их обычные свойства. Исследование операции умножения матриц привело к выделению понятия группы, которое является ныне одним из важнейших не только в алгебре, и во всей математике.


2. Разделы алгебры


3. Основные понятия


Источники

  • Стройк Д. Я. Коротка історія математики. - К.: Радянська школа, 1960
  • Хрестоматия по истории математики: Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия: Пособ. для судентов/Под ред. А. П. Юшкевича. - М.:Просвещение, 1976


Розділи алгебри

Абстрактна алгебра | Реляційна алгебра

Основные разделы Математики
Алгебра ? Дискретна математика ? Диференціальні рівняння ? Геометрія ? Комбінаторика ? Лінійна алгебра ? Математична логіка ? Математична статистика ? Математичний аналіз ? Теорія ймовірностей ? Теорія множин ? Теорія чисел ? Тригонометрія ? Математична фізика ? Топологія ? Функціональний аналіз

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам