Алгебраическая система

Алгебраическая система (алгебраическая структура) - в математике это непустое множество с заданным на ней набором операций и отношений, которые удовлетворяют некоторой системе аксиом.

Основной задачей абстрактной алгебры является изучение свойств аксиоматически заданных алгебраических систем.

Формально: объект \ <A; \; \Omega_F; \; \Omega_R>, где

  • \ A - Непустое множество,
  • \ \ Omega_F - Множество алгебраических операций определенных на \ A,
  • \ \ Omega_R - Множество отношений определенных на \ A.

Множество \ A называется носителем алгебраической системы. Множества \ \ Omega_F, \ Omega_R называется сигнатурой алгебраической системы.

Если алгебраическая система не содержит операций, она называется моделью, если не содержит отношений, то - алгеброй.

Если не рассматривают никаких аксиом, которым должны удовлетворять операции, то алгебраическая система называется универсальной алгеброй заданной сигнатуры \ \ Omega_F .

Для алгебраических структур определяют морфизма, как отражение сохраняющие операции (см. Гомоморфизм). Таким образом определяют категории.

Если множество обладает свойствами топологического пространства и операции являются непрерывными, то такую ​​алгебраическую систему называют топологической алгебраической системой (например, топологическая группа).

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, есть еще коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними и т. д.


1. Алгебраические операции

\ N - Арна операция \ F на \ A - Это отражение прямого произведения \ N экземпляров множества в само множество \ F: A ^ n \ to A . По определению, нуль-Арна операция - это просто выделенный элемент множества.

Зачастую рассматривают унарные и бинарные операции, как простейшие. Но для нужд топологии, алгебры, комбинаторики изучают операции большей арности, например, теория операд и алгебр над ними (мультиоператорних алгебр).


2. Список алгебраических систем

M = магма, Q = квазигрупа, S = полугрупп,
L = Лупа, N = моноид, G = группа,
d = деления, a = ассоциативность,
e = с единицей, i = существования обратного
  • Множество может считаться вырожденной алгебраической системой с пустой сигнатурой.

2.1. Групповых-подобные структуры

т.е. уравнение x \ cdot a = b всегда имеет единственный розьвязок \ Forall a, b \ in A.
Операцию в абелевых групп часто называют добавлением (+) а нейтральный элемент - нулем.

2.2. Кольцо-подобные структуры

  • Полукольцо - вроде кольца, но без оборачиваемости добавления (коммутативных моноид по сложению и моноид по умножению).
  • Кольцо - структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению,
выполняется дистрибутивный закон : a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c, \ quad (a + b) \ cdot c = a \ cdot c + b \ cdot c .

2.3. Модули

2.4. Алгебры

\ (Xy) (xz) + (y (xz)) x + ((xz) x) y = ((xy) z) x + ((yz) x) x + ((zx) y) x
  • Алгебра над операдою - одна из общих алгебраических систем. Сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

2.5. Решетки


Литература

  • А. Г. Курош "Общая алгебра", - М.: Мир, 1973, 162 с
  • П. Кон "Универсальная алгебра", - М.: Мир, 1969, 351 с
  • А. И. Мальцев "Алгебраические системы", - М.: Наука, 1970. - 392 c.