Алгебраические числа

Алгебраические числа, также алгебраические числа - подмножество комплексных чисел, каждое из которых корнем хотя бы одного многочлена определенного степени с рациональными коэффициентами. Есть число \ Alpha \ in \ C является алгебраическим если существует многочлен

\ F (x) = a_n x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1 x + a_0

где a_k \ in \ Q и f (α) = 0.

В данном определении можно было требовать, чтобы коэффициенты многочлена были целыми числами. Числа, не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными.

Если число является корнем многочлена f (x) \ in \ Z [x] со старшим коэффициентом равным единице, то это число называется целым алгебраическим числом.


1. Примеры

  • Все рациональные числа являются алгебраическими: число \ Left (\ frac {a} {b} \ right) есть, например, корнем уравнения bx - a = 0.
  • Мнимая единица, число i = \ sqrt {-1} является алгебраическим, как корень уравнения x 2 + 1 = 0.
  • Числа e, π, e π являются трансцендентными. Статус числа π e неизвестен.
  • Если \ Alpha \ neq 0, 1, \, \ beta \ notin \ Q - Алгебраические числа, тогда \ Alpha ^ {\ beta} - Трансцендентное число.
  • Числа \ Cos (1 ^ \ circ) и ~ \ Sin (1 ^ \ circ) являются алгебраическими.
Этот факт следует из тригонометрической равенства :
\ Cos ((n +1) \ theta) = 2 \ cos (n \ theta) \ cos \ theta - \ cos ((n-1) \ theta) \,
Поэтому если определить последовательность многочленов:
g_ {n +1} (x) = 2g_n (x) - g_ {n-1} (x), \,
то \ Cos (m \ theta) = g_m (\ cos \ theta), m \ in \ N. Отсюда получаем:
0 = \ cos (90 \ cdot 1 ^ \ circ) = g_ {90} (\ cos 1 ^ \ circ) есть \ Cos (1 ^ \ circ) является корнем многочлена g_ {90} (x), что и доказывает утверждение.
Для ~ \ Sin (1 ^ \ circ) достаточно отметить, что все степени x в g_ {90} (x) являются парными и \ Cos (1 ^ \ circ) \ sqrt {1 - \ sin ^ 2 (1 ^ \ circ)}.

2. Минимальный многочлен

Если \ Alpha - Алгебраическое число, то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, для которых \ Alpha является корнем, существует единственный многочлен наименьшего степени со старшим коэффициентом, равным 1 . Такой многочлен является несводимым, он называется минимальным многочленом алгебраического числа \ Alpha .

  • Степень минимального многочлена \ Alpha называется степенью алгебраического числа \ Alpha .
  • Другие корни минимального многочлена \ Alpha называются сопряженными к \ Alpha .
  • Высотой алгебраического числа \ Alpha называется наибольшая из абсолютных величин коэффициентов в несводимой и примитивном многочлене с целыми коэффициентами, для которого \ Alpha является корнем.

Минимальный многолен числа \ Alpha имеет коэффициенты целые числа тогда и только тогда, когда \ Alpha - Целое алгебраическое число.


2.1. Примеры

  • Рациональные числа, и только они, являются алгебраическими числами 1-й степени.
  • Мнимая единица i так же как \ Sqrt2 являются алгебраическими числами 2-й степени. Сопряженными к этим числам являются соответственно \-I и - \ Sqrt 2 .
  • При любом натуральном n , \ Sqrt [n] 2 является алгебраическим числом n -Й степени.

3. Поле алгебраических чисел

Одним из важнейших свойств алгебраических чисел является тот факт, что они образуют поле, т.е. если α и β - алгебраические числа то их обращены элементы-α и α 1, а также сумма α + β и произведение αβ также алгебраическими числами.

3.1. Доведение

  • Сначала докажем алгебраичнисть-α. Если f (x) - многочлен с целыми коэффициентами для которого α является корнем, то-α будет корнем многочлена f (-x). Есть-α - алгебраическое число.
  • Если α - корень многочлена f (x) = \ sum_ {k = 1} ^ n a_k x ^ k \ in \ Z [x], то α -1 является корнем многочлена g (x) = \ sum_ {k = 1} ^ n a_ {n-k} x ^ k \ in \ Z [x], следовательно α -1 тоже является алгебраическим числом.
  • Докажем теперь алгебраичнисть α + β. Предположим α является корнем многочлена f (x) \ in \ Z [x] и β является корнем многочлена g (x) \ in \ Z [x] . Пусть α 1 = α, α 2,..., α n - все корни f (x) (учитывая их кратность, так что степень f (x) равен n) и пусть β 1 = β, β 2,... , β m - все корни g (x). Рассмотрим многочлен:
F (x) = \ prod_ {i = 1} ^ n \ prod_ {j = 1} ^ m (x - (\ alpha_i + \ beta_j)).
Множество R = \ Z [\ beta_1, \ ldots, \ beta_m] является коммутативным кольцом. С теоремы Виета следует, что коэффициенты F (x) является симметричными многочленами от чисел α 1 = α, α 2,..., α n. Поэтому если, σ 1, σ 2,..., σ n - элементарные симметричные многочлены от α 1 = α, α 2,..., α n и A - некоторый коэффициент (при x k) многочлена F (x), тогда с фундаментальной теоремы о симметрических многочленов следует, что A = B (σ 1, σ 2,..., σ n, β 1, β 2,..., β m) для некоторого многочлена B с целыми коэффициентами. Однако коэффициенты F (x) также являются симметричными многочленами от чисел β 1, β 2,..., β m. Пусть R = \ Z [\ sigma_1, \ ldots, \ sigma_n] и σ 1 ', σ 2',..., σ m '- элементарные симметричные многочлены от β 1 = β, β 2,..., β m поэтому с фундаментальной теоремы о симметрических многочленов A = B' (σ 1, σ 2,..., σ n, σ 1 ', σ 2',..., σ m ') для некоторого многочлена B' с целыми коэффициентами. Из теоремы Виета следует, что все σ 1, σ 2,..., σ n, σ 1 ', σ 2',..., σ m 'является рациональными и поэтому рациональным является также коэффициент A. Поэтому F (x) \ in \ Q [x] и поскольку α + β является корнем F (x) это число является алгебраическим.
  • Алгебраичнисть числа αβ приходится аналогично случае α + β, рассматривая многочлен:
F (x) = \ prod_ {i = 1} ^ n \ prod_ {j = 1} ^ m (x - (\ alpha_i \ beta_j)).

4. Свойства

  • Множество алгебраических чисел является счетное ( Теорема Кантора).
  • Множество алгебраических чисел является плотной в комплексной плоскости.
  • Корень многочлена коэффициентами которого алгебраические числа, тоже является алгебраическим числом, то есть поле алгебраических чисел является алгебраически замкнутым.
  • Для произвольного алгебраического числа \ Alpha существует такое натуральное N , Что N \ alpha - целое алгебраическое число.
  • Алгебраическое число \ Alpha степени n имеет n различных сопряженных чисел (включая само число \ Alpha ).
  • \ Alpha и \ Beta сопряженные тогда и только тогда, когда существует автоморфизм поля \ Mathbb {A} , Переводящий \ Alpha в \ Beta .
  • В определенном смысле алгебраические числа, не являются рациональными не могут быть достаточно хорошо приближенные рациональными числами. Два результаты, проясняющие суть этого утверждения
    • Теорема Лиувилля: если \ Alpha \ in \ Q является корнем многочлена f (x) \ in \ Z [x] степень которого равен n, то существует число A зависящее от α, что
\ Left | \ alpha - \ left (\ frac {a} {b} \ right) \ right |> \ left (\ frac {A} {b ^ n} \ right), для произвольного рационального числа \ Left (\ frac {a} {b} \ right).
    • Теорема Туэ - Зигеля - Рота: если \ Alpha \ in \ Q является алгебраическим числом, тогда для произвольного ε> 0 существует только конечное число пар целых чисел (a, b) где b> 0 для которых:
\ Left | \ alpha - \ left (\ frac {a} {b} \ right) \ right | <\ left (\ frac {1} {b ^ {(2 + \ varepsilon)}} \ right).

См.. также