Надо Знать

добавить знаний



Алгебраическое уравнение



План:


Введение

Алгебраическое уравнение, также алгебраических уравнения - уравнения вида

P (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0,

где Р - многочлен от переменных x 1,..., x n. Эти переменные называют неизвестными.

Упорядоченный набор чисел a 1,..., a n удовлетворяет этому уравнению, если при замене x 1 на a 1, x 2 на a 2 и так далее получается правильная числовая равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению х 2 + у 2 = z 2, поскольку 3 2 +4 2 = 5 2). Число, удовлетворяющее алгебраических уравнение с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данное уравнение, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющие одну и ту же множество решений, называются равносильными.

Степенью многочлена Р называется степень уравнения Р (х 1,..., х n) = 0. Например, 3х - пятый + z = с - уравнение первой степени, х 2 + у 2 = z 2 - второй степени, х 4 - З 3 + 1 = 0 - четвертой степени. Уравнение первой степени называют также линейными. Уравнения высшего степени называют нелинейными. Алгебраических уравнения с одним неизвестным имеет конечное число корней, а множество решений алгебраических уравнения с большим числом неизвестных может быть бесконечным множеством наборов чисел. Поэтому основном рассматривают не отдельные алгебраических уравнения с n неизвестными, а системы уравнений и ищут наборы чисел, которые одновременно удовлетворяют все уравнения этой системы. Совокупность всех таких наборов образует множество решений системы. Например, множество решений системы уравнений

\ Left \ {\ begin {matrix} x ^ 2 + y ^ 2 = 10 & \ \ x ^ 2 - y ^ 2 = 8 & \ end {matrix} \ right.

такова: {(3, 1), (3; -1), (-3, 1), (-3; -1)}.


1. Решения

Алгебраических уравнения с одним неизвестным степени n всегда можно записать в виде a_0x ^ n + a_0x ^ {n-1} + \ dots + a_n = 0 . Формулы для решения алгебраических уравнений 1-й степени ax + b = 0 и 2-й степени ax ^ 2 + bx + c = 0 ( квадратное уравнение) даются в элементарной алгебре.

Известные формулы для решения алгебраических уравнений 3-й степени ( кубическое уравнение) и 4-й степени. Для алгебраических уравнений 5-го и высших степеней не существует общей формулы, которая выражала корни через коэффициенты уравнения при помощи конечного числа арифметических операций и извлечения корней (доказал Н. Абель, нач. XIX века). [1]


2. История

Алгебраических уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в древнем Египте и древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени, например х 3 + х = а.

В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение х 4 - в 4 + z 4 = n 2, систему уравнений \ Left \ {\ begin {matrix} y ^ 3 + x ^ 2 = u ^ 2 & \ \ z ^ 2 + x ^ 2 = v ^ 3 & \ end {matrix} \ right. и т. д. (см. Диофант уравнения).

Некоторые геометрические задачи: удвоение куба, Трисекция угла, построение правильного семиугольника (см. Классические задачи древности) - сводятся к решению кубических уравнений. Для их решения необходимо не было отыскать точки пересечения конических сечений ( эллипсов, парабол и гипербол). Пользуясь геометрическими методами, математики средневекового Востока исследовали решения кубических уравнений. Однако им не удалось вывести общую формулу для их решения. Первым крупным открытием западноевропейской математики стала полученная в XVI в. формула для решения кубического уравнения. Поскольку в то время отрицательные числа еще не получили распространения, пришлось отдельно разбирать следующие типы уравнений: х 3 + рх = q, х 3 + q = рх и т. д. Итальянский математик С. дель-Ферро (1465-1526) решил уравнение х 3 + рх = q и сообщил решение своему зятю и ученику А.-М. Фиоре, который вызвал на математический турнир замечательного математика-самоучку Н. Тарталью (1499-1557). За несколько дней до турнира Тарталья нашел общий метод решения кубических уравнений и победил, быстро решив все предложенные ему 30 заданий. Однако найденная Тарталья формула для решения уравнения х 3 + рх + q = 0

x = \ sqrt [3] {- {q \ over 2} + \ sqrt {{q ^ {2} \ over 4} + {p ^ {3} \ over 27}}} + \ sqrt [3] {- {q \ over 2} - \ sqrt {{q ^ {2} \ over 4} + {p ^ {3} \ over 27}}}

была опубликована не им, а итальянским ученым Дж. Кардано (1501-1576), который узнал ее от Тартальи. Тогда же Л. Феррари (1522-1565), ученик Кардано, нашел решение уравнения 4-й степени.

Создание алгебраической символики и обобщения понятия числа до комплексных чисел позволили в XVII-XVIII вв. исследовать общие свойства алгебраических уравнений высших степеней, а также общие свойства многочленов от одной и нескольких переменных.

Одной из важнейших задач теории алгебраических уравнений в XVII-XVIII вв. было отыскание формулы для решения уравнения 5-й степени. После бесплодных поисков многих поколений алгебристив усилиями французского ученого XVIII в. Ж. Лагранжа (1736-1813), итальянского ученого П. Руффини (1765-1822) и норвежского математика Н. Абеля конце XVIII - начале XIX в. было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-й степени через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию корня. Эти исследования были завершены работами Э. Галуа, теория которого позволяет для любого уравнения определить, выражаются его корни в радикалах (см. Теория Галуа). Еще до этого К. Ф. Гаусс решил проблему нахождения в квадратных радикалах корней уравнения х n - 1 = 0, к которому сводится задача о построении с помощью циркуля и линейки правильного n-угольника. В частности, невозможно с помощью этих инструментов построить правильный семиугольник, Девятиугольник и т. д. - такое построение возможна тогда, когда n - простое число вида 2 ^ {2 ^ k} + 1 или произведение различных простых чисел такого вида.

Наряду с поиском формул для решения конкретных уравнений были исследованы вопросы о существовании корней алгебраических уравнения. В XVIII в. французский философ и математик Ж. д'Аламбер доказал, что любое алгебраических уравнения ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В доведении Д'Аламбера были пропуски, которую позже дополнил Гаусс. Из этой теоремы следовало, что любой многочлен степени n разлагается на n линейных множителей.

В настоящее время теория систем алгебраических уравнений превратилась в самостоятельную область математики - алгебраической геометрии. Она изучаются линии, поверхности и многообразия высших размерностей, задаваемые системами таких уравнений.


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам