Надо Знать

добавить знаний



Аналитическая геометрия



Аналитическая геометрия, раздел геометрии, в котором свойства геометрических образов ( точек, линий, поверхностей) устанавливаются средствами алгебры с помощью метода координат, то есть путем изучения свойств уравнений, графиками которых эти образы. Основные положения аналитической геометрии впервые сформулировал философ и математик Рене Декарт. Лейбниц, Исаак Ньютон и Леонард Эйлер предоставили аналитической геометрии современной структуры.

Характерной особенностью аналитической геометрии является определение геометрических фигур уравнениями. Пусть на плоскости с осями координат OX и OY (прямоугольная декартова система координат) имеем линию l. Если вдоль l удалить точку M, то координаты x, y этой точки будут меняться, но между ними существовать определенная зависимость, которую можно записать в виде уравнения:

f (x, y) = 0 \, ,

где f (x, y) является математическое выражение, содержащее переменные x и y или одну из них.

Analityczna geometria example.png

Например, из прямоугольного треугольника OMP выводим, что уравнение круга K радиуса г с центром в начала координат 0 является

x ^ 2 + y ^ 2 - r ^ 2 = 0 .

Рассмотрим еще прямую АВ. Если М есть произвольная ее точка и OA = a, OB = b, то PA = a - x. С сходства прямоугольных треугольников MPA и BOA имеем:

\ Frac {y} {a - x} = \ frac {b} {a} .

Отсюда получаем уравнение прямой АВ:

bx + ay - ab = 0 \, .

В аналитической геометрии принимают, что уравнение определяет геометрическую фигуру как множество точек, координаты х и у которых справджують это уравнение. Иначе говоря, уравнение рассматривают как средство для разделения точек плоскости на 2 класса: до 1-го принадлежат точки, координаты которых справджують данное уравнение (эти точки образуют определенную уравнением фигуру), до 2-го-все остальные точки плоскости. Если уравнение алгебраическое, то оно определяет линию - действительную или мнимую (см. ниже), которую называют алгебраической, а степень уравнения - порядком этой линии. Порядок алгебраической линии не зависит от того, как размещены отношении нее оси координат. Прямые и только прямые являются линиями 1-го порядка; конические сечения (то есть линии, образующиеся при пересечении конуса плоскостью) и только они являются линиями 2-го порядка. Аналогично уравнение f (x, y, z) = 0 , Где х, у, z-декартовы координаты точки в пространстве, определяет пространственную фигуру, в частности алгебраическую поверхность n-го порядка, если оно является алгебраическим уравнением n-й степени. В современных курсах аналитической геометрии изучаются только линии и поверхности 1-го и 2-го порядков.

Применение в аналитической геометрии алгебраических методов привело к понятию мнимой фигуры. Совокупность двух чисел х, у, из которых не менее одно мнимое, можно рассматривать как воображаемую точку. Если уравнение (например, x ^ 2 + y ^ 2 + 1 = 0 ) Справджують только координаты мнимых точек, то считают, что оно определяет мнимую фигуру. Хотя понятием бесконечно удаленных и мнимых точек не соответствуют никакие реальные образы, однако внедрение их позволило глубже исследовать свойства фигур.

В современных курсах аналитической геометрии широко используется аппарат векторного исчисления.


См.. также

Литература

  • Украинская советская энциклопедия. В 12-ти томах / Под ред. М. Бажана. - 2-е изд. - К. : Гл. редакция УСЭ, 1974-1985.
  • Белоусова В. П. и др.. Аналитическая геометрия. К., 1957;
  • Привалов И. И. Аналитическая геометрия. Изд. 22. М., 1957;
  • Делоне Б. Н., Райков Д. А. Аналитическая геометрия, т. 1-2. М.-Л., 1948-49.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам