Надо Знать

добавить знаний



Аналитическая функция



План:


Введение

Аналитическая функция - функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

В случае функции комплексной переменной это свойство совпадает со свойством голоморфности.


1. Определение

1.1. Определение 1

Однозначная функция f: \ mathbb R \ to \ mathbb R называется аналитической в точке \ Displaystyle z_0 , Если она разлагается в ряд Тейлора в окрестности с центром в этой точке, и этот расклад совпадает с функцией \ Displaystyle f (В этом окрестности). То есть это функции, которые могут быть выражены степенными рядами. типа действительной функции подобна графической где значение их перпендикулярно.

Истинная функция \ Displaystyle f (x) действительного аргумента \ Displaystyle x называется аналитической функцией в точке \ Displaystyle x числовой оси, если можно указать такой окрестность \ Displaystyle (x_0-h, x_0 + h) точки \ Displaystyle x_0 , В котором \ Displaystyle f (x) определена и может быть выражена формулой вида:

f (x) = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty {a_k (x-x_0) ^ k}

где \ Displaystyle a_k - действительные числа.

Можно показать, что \ Displaystyle a_0 = f (x_0) , \ Displaystyle a_k = {1 \ over {k!}} {F ^ k (x_0)} , Где \ Displaystyle k = 1, 2, 3, 4, \ dots

(Смотри Тейлора ряд).


1.2. Замечания

Функция, аналитическая в каждой точке интервала \ Displaystyle (a, b) , Называется аналитической функцией на этом интервале. Такая функция неограниченно дифференцирована на \ Displaystyle (a, b) , Но обратное утверждение вообще не имеет силы, как показывает хотя бы пример функции

f (x) = 10 ^ {1 \ over x ^ 2} \ \ (-1 <x <1)
f ^ {k} (0) = \ lim_ {n \ to 0} {f ^ {k} (x)} = 0 \ qquad \ (k = 1, 2, 3, 4, \ dots)

где

что

не является А. ф. в точке x = 0.

Аналогично определяется истинная аналитичнa функция нескольких действительных аргументов. Все эти определения без принципиальных затруднений распространяются и на комилексно-значные функции.


1.3. Определение 2

Функцию \ Displaystyle f (z) комплексного аргумента \ Displaystyle z = x + iy называется аналитической функцией от \ Displaystyle z в точке \ Displaystyle z_0 \ in \ mathbb C комплексной числовой плоскости, если \ Displaystyle f (z) определена в некотором круговом окрестности \ Displaystyle (z-z_0) <\ rho точки \ Displaystyle z_0 и может быть выражена в этом окрестности формуле вида:

\ Displaystyle f (z) = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty {a_k (z-z_0) ^ k}

где \ Displaystyle a_k - Определенные комплексные числа.

Можно показать, что

\ Displaystyle a_0 = f (z_0) \ \ qquad , \ Displaystyle a_k = {1 \ over {k!}} {F ^ {k} (z_0)}, \ \ (z = 1, 2, 3, 4, \ dots)

(См. Тейлора ряд).


1.4. Определение 3

Функция, аналитическая в каждой точке какой-то области Gкомплексной числовой плоскости, называется аналитической в области \ Displaystyle G .

1.5. Замечания

Оказывается, что аналитичность \ Displaystyle f (z) в области \ Displaystyle G является следствием обычной ее дифференцируемости в \ Displaystyle G . Аналитическая функция нескольких комплексных аргументов определяют аналогично. Аналитические в области \ Displaystyle G функции тесно связаны с гармоничными функциями в этой области, часто встречающиеся при решении так называемых плоских задач математической физики. Этим в основном объясняется и важное применимо значение самих аналитических функций.


2. Развитие теории аналитических функций

В развитии теории аналитических функций важную роль сыграли работы Леонарда Эйлера, Огюстена-Луи Коши, Бернхард Римана, Карла Вейершраса.

В дореволюционной России существенные результаты в применении этой теории получили Софья Васильевна Ковалевская, Николай Егорович Жуковский, С. А. Чаплыгин, Г. В. Колосов. После Октябрьской социалистической революции больших успехов в развитии теории аналитических функций и их применении получили научные школы, возглавляемые академиком АН СССР и УССР Н. А. Лаврентьевым и профессором Г. М. Голузиним. Разработка проблематики теории аналитических функций в СССР тесно связано с потребностями народного хозяйства (авиастроения, строительства гидротехнических сооружений и др.).. В СССР над разработкой проблем теории аналитических функций работают члены-корреспонденты АН УССР Наум Ахиезер и М. Г. Крейн, профессора Б. Я. Левин, Владимир Александрович Марченко, Г. М. Положий, В. А. Зморович, П.П. Фильчаков и др..


См.. также

Литература

  • Украинская советская энциклопедия. В 12-ти томах. / Под ред. М. Бажана. - 2-е изд. - М., 1974-1985.
  • Ахиезер Н. И. Курс теории функций. К., 1933;
  • Соколов Ю. Д Элементы теории функций комплексной переменной. К., 1954;
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,
  • Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М - Л., 1950;
  • Маркушевич А. И. Кратный курс теории аналитических функций. М., 1957;
  • Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л., 1951.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам