Арифметика

Учебник арифметики Леонтия Магницкого, 1703

Арифметика ( дав.-гр. αριθμός - Число) - наука, изучающая действия над целыми числами, учит решать задачи, которые сводятся к добавление, вычитание, умножения и деления этих чисел. Арифметику часто считают первой ступенькой математики, зная которую можно изучать сложные ее разделы - алгебру, математический анализ и т.п.. Даже целые числа - основной объект арифметики - относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметики, или теории чисел.


1. Арифметика в школе

Арифметика также названием школьной дисциплины, которая знакомит с положительными рациональными числами, арифметическими действиями с ними и некоторыми сведениями о делимость целых чисел. Обучения арифметике развивает логическое мышление детей, их сообразительность, дает необходимую подготовку к практической деятельности и дальнейшего изучения математики и физики. В средней школе изучают также числа отрицательные рациональные, иррациональные и алгебраические. Соответствующие разделы теории чисел принято объединять в учебную дисциплину высшей педагогической школы под названием теоретическая арифметика.


2. История арифметики

Арифметика и геометрия - давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки и время. Арифметика возникла в странах древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ахмеса (назван по имени его владельца Г. Ахмеса) относится к ХХ в. до н. н.э. Среди других сведений он содержит расписание дробей на сумму дробей с числителем - единицей (см. Египетские дроби), например:

\ Frac {2} {73} = \ frac {1} {60} + \ frac {1} {219} + \ frac {1} {292} + \ frac {1} {365}

Математические знания накопленные в странах древнего Востока развивались дальше учеными древней Греции. История сохранила имена многих ученых, которые занимались арифметикой в ​​античном мире: Анаксагор, Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен, Диофант. Особо следует выделить имя Пифагора, Пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) обожали числа, считая, что в них содержится вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа т.д..

В древнем мире математике хватало удобной системы счисления : египетская, греческий и римская системы счисления были непозиционной. Позиционными были шумерско-вавилонской системой (на основе числа 60) и система майa (на основе числа 20), хотя в них вместо цифр использовалась аддитивная система из линий и точек.

В средние развитие арифметики также связан с Востоком: Индией, арабским миром и Средней Азии. От индейцев пришли к нам десятичная система счисления, современные цифры (использовались в произведениях Ариабхата I (начало VI в.)), ноль ( Брамагупта VII в.), от аль-Каши (XV в.), работавший в Самаркандском обсерватории Улугбека, - десятичные дроби.

Впервые в Европе арабские цифры были упомянуты в Вигилианському кодексе в 976, хотя использование их началось с произведения итальянского ученого Леонардо Пизанского ( Фибоначчи) "Книга абака" ( 1202), что ознакомил европейцев с основными достижениями математики Востока и начал много исследований в арифметике и алгебре. Так благодаря развитию торговли и влияния восточной культуры начиная с XIII в. повышается интерес к арифметике и в Европе. Арифметика входила в семи свободных искусств, которые преподавались в средневековых университетах.

Одновременно с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные книги по математике. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году. В "Полной арифметике" немецкого математика Михаэля Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования. Примерно с XVI в. развитие арифметики сливается с алгеброй. Значительными событиями были работы Франсуа Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

В XVI-XVII вв. благоприятные условия для развития науки сложились в западно-европейских странах. Здесь в связи с развитием алгебры входят в потребление отрицательные числа, внедряются комплексные числа, открываются цепные и вдруг, десятичные дроби. Постепенно понятие числа абстрагируется от конкретных процессов счета определенных предметов и измерения и числа уже не рассматриваются как "именуемые". В XVIII в. преимущественно благодаря исследованиям Леонарда Эйлера теория чисел становится самостоятельной научной дисциплиной. В XIX в. исследования сложных вопросов теории чисел привели к значительному обобщение понятия целого числа ( Карл Гаусс, Эрнст Куммер, Юлиус Дедекинд, Е. И. Золотарев) и определенного завершения теории делимости. В связи с этим украинский математик Г. Ф. Вороной и немецкий математик Герман Минковский подали важное обобщение алгоритма цепных дробей. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, известна с начала века, обеспечила им права гражданства в алгебре и математическом анализе и стала основой дальнейших обобщений. В свою очередь, современные теории действительного числа разработан в связи с потребностями арифметики и математического анализа на основе свойств рациональных чисел (Юлиус Дедекинд, Георг Кантор, Карл Веерштрас). Только в конце XIX в. довольно полно разработана аксиоматику натуральных чисел и действий с ними (в основном Джузеппе Пеано).


3. Общее описание

Основной объект арифметики - число. Натуральные числа возникли со счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем люди усвоили, что две птицы, две руки, два человека можно назвать одним и тем же словом - "два". Важной задачей арифметики - научиться абстрагироваться от формы предметов, их размера, цвета. Уже в Фибоначчи является задача: "Семь женщин идут в Рим. У каждого по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе 7 ножей, каждый нож в 7 ножнах. Сколько всех?" Для решения этой задачи суммировать различные сущности, добавить женщин к мулов, мешки до хлебов и т.д.. Развитие понятия числа - появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) - все это имеет богатую и интересную историю.

В арифметике числа добавляют, отнимают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно выполнять эти действия над любыми числами долго считалось важнейшей задачей арифметики. В наше время устно или на бумаге мы делаем только простейшие вычисления, а сложные - с помощью вычислительной техники. Математические операции могут быть записаны с использованием соответствующих символов "+", "-", "?" и "?" и знака равенства "=", например

3 + 4 ? 5 = 23.

Записанные таким образом арифметические операции выполняются в определенном порядке, который называют очередностью операций - сначала умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Последовательность выполнения операций можно изменить с помощью скобок.

Позиционная система счисления позволила упростить арифметические операции операции, сводя их к действиям с цифрами в одном разряде, поэтому практически для выполнения вычислений достаточно помнить результаты операции сложения в пределах 20, и таблицу умножения в пределах 100.

Для дальнейшего упрощения арифметических операции традиционно до изобретения калькуляторов использовались счеты, а для умножения - логарифмические линейки.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, были пропорции и проценты. Большинство понятий и методов арифметики основывается на зависимостях между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил в течение многих веков. Можно четко проследить "геометризации" арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становятся понятными, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самой математике и ее приложениях играет обратный процесс - перевод геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого перевода лежит идея французского философа и математика Рене Декарта определения точек на плоскости координатами. Разумеется, к нему эта идея уже использовалась, например, в морском деле, когда надо было определить местонахождение корабля, а также астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел, и обрабатывает вычислительная машина.


См.. также

Литература

  • Украинская советская энциклопедия. В 12-ти томах / Под ред. М. Бажана. - 2-е изд. - К. : Гл. редакция УСЭ, 1974-1985.
  • Арнольд И.В. Теоретическая арифметика. К., 1939;
  • Погребиський И. Б. Арифметика. К., 1953;
  • Беллюстин В. К. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. М., 1940;
  • Кэджоры Ф. История элементарной математики. Пер. с англ. Одесса, 1917.
п ? в ? р Свободные искусства
Тривиум
Квадривиум