Надо Знать

добавить знаний



Броуновское движение



План:


Введение

Схематическое изображение перемещений частицы при случайных блужданиях, характерных для броуновского движения

Броуновское движение - неупорядоченное, хаотическое движение мельчайших частиц вещества в растворах. Назван в честь ботаника Роберта Брауна, который наблюдал [1] это явление под микроскопом в 1827 р. Теорию броуновского движения построил в 1905 г. Альберт Эйнштейн.

Открытие и объяснение броуновского движения имело большое значение для физики, поскольку было свидетельством теплового движения молекул. Браун 1827 открыл хаотическое движение спор плауна в воде. Движение взвешенных частиц происходило вследствие движения молекул. Таким же образом движутся частицы краски в воде, пылинки в лучах света и т.д.. Молекулы жидкости сталкиваются с взвешенными в ней частицами, а следовательно передают им импульс.


1. Наблюдения

Это явление можно наблюдать, поместив на предметное стекло микроскопа с увеличением в 500-600 раз каплю очень разведенной в воде туши (или молока). Жидкость, которая казалась сплошной и однородной, в поле зрения микроскопа выглядеть совсем иначе - черные неправильной формы кусочки разных размеров плавают в бесцветной жидкости. Понятно, что это не молекулы, а кусочки сажи движутся хаотически, перемещаясь то в одну, то в другую сторону. Если положение любой частицы фиксировать последовательно через равные промежутки времени (например, через каждые 30 с), то получим "запутанную" ломаную, которая характеризует траекторию, которая на самом деле гораздо сложнее.

В броуновском движении поражает одна необычная для нас особенность - движение частиц не прекращается при любых обстоятельствах, хотя в ходе исследования его причин принимались меры, которые исключали возможность внешних воздействий на броуновское частицы. Характер их движения не менялся. Следовательно, причину движения броуновских частиц следует искать в самой жидкости.

Опыты свидетельствуют, что интенсивность броуновского движения тем больше, чем выше температура жидкости, что еще раз подтверждает непосредственную связь броуновского движения с тепловым движением молекул. Первая количественная теория броуновского движения появилась в 1905г. Ее автором был Альберт Ейнштейнн. Он записал уравнение, которое учитывало хаотичность силы, действующей на броуновское частицу, и, решив его, получил соотношение

\ Langle x ^ 2 \ rangle = b \ frac {T} {N_A} t

где \ Langle x ^ 2 \ rangle - Среднее значение квадрата смещения броуновское частицы вдоль оси Х за время t, Т - абсолютная температура жидкости, b - коэффициент пропорциональности, который зависит от размеров броуновских частиц и вязкости жидкости, а N_A - Универсальная физическая константа, число Авогадро.

Теория Эйнштейна была экспериментально подтверждена французским физиком Жаном Батистом Перреном.


2. Физическая природа

Молекулы жидкости при конечных температуре находятся в непрерывном движении, получивший название теплового движения. Инородное тело в жидкости испытывает толчков от молекул. Для большого тела эти хаотичные толчки уравновешиваются, но, если размеры и масса тела небольшие, то столкновения с молекулами носят случайный характер, а за время между столкновениями частица успевает сместиться на некоторое расстояние.

Если частица имеет малую площадь S 1, то на одну из ее сторон в любой момент времени среднее значение давления может быть больше, чем на другую, поэтому частица осуществляет беспорядочное движение в объеме жидкости. Причиной броуновского движения является флуктуации импульса передаются от молекул частице. Частица 2 из размерами S 2 >> S 1 не осуществляет броуновского движения, потому что давление со всех сторон на нее одинаков.


3. Математическое описание

В математике броуновское движение рассматривается как один из примеров Винеривських процессов. В физике он описывается уравнением Ланжевена

m \ dot {\ mathbf {v}} - \ gamma \ mathbf {v} = \ vec {\ xi} (t) ,

где m - масса частицы, \ Mathbf {v} - Ее скорость, γ - коэффициент вязкости, а \ Vec {\ xi} (t) - Случайная сила.

В очень вязкой среде инерционным членом m \ dot {\ mathbf {v}} можно пренебречь и получить для смещения x:

x (t) = - \ frac {1} {\ gamma} \ int_0 ^ t \ xi (t ^ \ prime) dt ^ \ prime .

Поскольку силы, действующие на частицу случайные, то в среднем она будет находиться на месте.

\ Langle x (t) \ rangle = 0 .

Средне-квадратичное смещение определяется формулой

\ Langle x ^ 2 (t) \ rangle = \ frac {1} {\ gamma ^ 2} \ int_0 ^ t dt ^ \ prime \ int_0 ^ t dt ^ {\ prime \ prime} \ langle \ xi (t ^ \ prime) \ xi (t ^ {\ prime \ prime}) \ rangle .

Выражение \ Langle \ xi (t ^ \ prime) \ xi (t ^ {\ prime \ prime}) \ rangle , Который нужно проинтегрировать, называется корреляционной функцией. Зависимость корреляционной функции от времени определяет тип случайного процесса. Простейшим типом случайного процесса является Марковский процесс. Из общих соображений понятно, что корреляционная функция для случайных процессов должна равняться нулю, если интервалы времени t ^ \ prime и t ^ {\ prime \ prime} очень сильно отличаются, поскольку случайные силы, действующие на частицу в далекие друг от друга моменты времени, совсем не согласованы между собой. Когда t ^ \ prime и t ^ {\ prime \ prime} близкие, силы могут быть согласованными - состояние жидкости сохраняться определенное время. Однако задача о броуновское движение решается особенно просто, если принять корреляционную функцию в простейшем виде

\ Langle \ xi (t ^ \ prime) \ xi (t ^ {\ prime \ prime}) \ rangle = \ alpha \ delta (t ^ \ prime - t ^ {\ prime \ prime}) ,

где \ Delta (t) - дельта-функция Дирака, а α - постоянная, должна быть определена из физических соображений. С физической точки зрения это предположение соответствует тому, что жидкость мгновенно забывает о своем состоянии. Подставив корреляционную функцию в таком виде в формулу для среднего квадратичного смещения, можно провести интегрирование, получив

\ Langle x ^ 2 (t) \ rangle = \ frac {\ alpha} {\ gamma ^ 2} t ,

т.е. подтверждение того, что среднее квадратичное смещение броуновское частицы пропорционально времени.


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам