Надо Знать

добавить знаний



Вариационное исчисление



План:


Введение

Вариационное исчисление - раздел функционального анализа, который занимается дифференцированием функционалов.

Примечание: функционалы можно интегрировать по пространству функций. Эту операцию впервые применил американский физик Ричард Фейнман, введя понятие интеграла функционала по траекториям. Этот интеграл оказывается сходящимся при условии, что подинтегральной функционал довольно быстро стремится к нулю, когда осцилляции аргументную функции нарастают.


1. Практические задачи, для которых требуется дифференцирования функционалов

Важнейшим для практики является функционал вида:

(1) \ qquad S = S (x) = \ int_a ^ b L (x, \ dot x) dt

для случая функции скалярного аргумента ( x = x (t) ), И

(2) \ qquad S = \ int L (x ^ i, {\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j}) du ^ 1 du ^ 2 ... du ^ n

для случая вектор-функции нескольких координат ( x ^ i = x ^ i (u ^ 1, u ^ 2, ... u ^ n) ).

К этим двум функционалов приводят во-первых, задачи на минимум / максимум в физике, дифференциальной геометрии, теории оптимального управления. А во-вторых, возможность вывода уравнений физики из равенства нулю вариации функционала действия.

В частности, именно вариационное исчисление началось с задачи о брахистрохрону ( кривую линию, двигаясь по которой без трения материальная точка под действием силы тяжести быстро достигнет фиксированной финишной точки). Если выбрать систему координат, направив ось Oy вертикально вниз, то скорость Материальная точки будет v = \ sqrt {2gy} , А при спуске по кривой дается интегралом:

(3) \ qquad T = \ int {ds \ over \ sqrt {2gy}} = \ int_0 ^ {x_0} \ sqrt {1 + y '^ 2 \ over 2gy} dx

В задаче нужно найти такую ​​функцию y = y (x) , Зафиксированный на концах: y (0) = 0 , y (x_0) = y_0 , Чтобы данный интеграл был минимальным. Очевидно, что интеграл (3) с точностью до замены обозначений совпадает с функционалом (1). В дифференциальной геометрии поиск геодезической линии (короткой линии, соединяющей две точки многообразия) приводит к функционалу (1), где

L (x, \ dot x) = \ sqrt {g_ {ij} (x) \ dot x ^ i \ dot x ^ j}

А поиск минимальных многообразий, натянутых на "рамку", приводит к функционалу вида (2).


2. Терминология и обозначения

Функционал является функцией, областью определения которой (аргументом) есть множество функций, множеством значений - действительные (или комплексные числа). Очевидно, что если не вводить специального термина "функционал", то была бы терминологическая путаница при рассуждениях о аргумент и значение функционала. Это же замечание касается и дифференцировки, ведь аргумент функционала можно дифференцировать. Поэтому при рассмотрении функционалов малый прирост аргумента (и, соответственно, функционала) называют вариацией, и обозначают малой греческой буквой \ \ Delta :

\ \ Delta S = S (x + \ delta x) - S (x)

Вариация является аналогом понятия дифференциала обычных функций. Можно себе представить вариацию \ Delta x , Как функцию что имеет очень малый размах ("амплитуду"), и обращается в нуль на границе области интегрирования (т.е. для функционала (1) \ Delta x | _a = \ delta x | _b = 0 ). В остальном эта функция имеет произвольную форму, что можно записать так: \ Delta x (t) = \ varepsilon f (t) , Где \ Varepsilon - Бесконечно малое положительное число.


3. Первая производная функционала (уравнение Эйлера-Лагранжа)

Вычисление вариаций для функционалов (1) и (2) аналогичное. Начнем с простого функционала (1). Имеем:

(4) \ qquad \ delta S = \ int_a ^ b \ delta L dt = \ int_a ^ b \ left ({\ partial L \ over \ partial x} \ delta x + {\ partial L \ over {\ partial \ dot x}} \ delta \ dot x \ right) dt

В последнем слагаемом (в подинтегральной функции) мы можем переставить взятия вариации \ Delta и взятия производной d \ over dt ПО для аргументную функции ( \ Tilde x = x + \ delta x ):

\ Delta \ dot {x} = {\ dot {\ tilde x}} - {\ dot x} = {d \ over dt} ({\ tilde x} - x) = {d \ over dt} {\ delta x }

Теперь мы можем проинтегрировать последнее слагаемое в (4) частями:

\ Int_a ^ b {\ partial L \ over {\ partial \ dot x}} {d \ delta x \ over dt} dt = \ left ({\ partial L \ over {\ partial \ dot x}} \ delta x \ right) | _a ^ b - \ int_a ^ b \ left ({d \ over dt} {\ partial L \ over {\ partial \ dot x}} \ right) \ delta x dt

Поскольку на концах интервала интегрирования вариация функции превращается в ноль ( \ Delta x = 0 при t = a и при t = b ), То для вариации функционала (4) имеем окончательно:

(5) \ qquad \ delta S = \ int_a ^ b \ left ({\ partial L \ over \ partial x} - {d \ over dt} {\ partial L \ over {\ partial \ dot x}} \ right) \ delta x dt

Теперь мы можем дать ответ на вопрос: при каких условиях вариация функционала (5) равна нулю. Поскольку вариация \ Delta x является произвольной функцией, мы можем выбрать произвольную точку t_0 \ in] a, b [ внутри области интегрирования, а функция \ Delta x = \ delta x (t) принять такой, что она положительна в малом окрестности точки t_0 , А во всех точках за пределами этого окрестности - превращается в ноль. Если выражение в скобках под интегралом (5) будет отличным от нуля в точке t_0 , И мало изменяться в выбранном малом окрестности (фактически считаться константой по сравнению со скоростью изменения вариации \ Delta x (t) , Которую мы можем вынести за знак интеграла), то интеграл (5) также будет отличным от нуля. Итак, чтобы при любой вариации \ Delta x (t) мы имели нулевую вариацию функционала (5), надо чтобы выполнялось уравнение Эйлера-Лагранжа:

(6) \ qquad {\ partial L \ over \ partial x} - {d \ over dt} {\ partial L \ over {\ partial \ dot x}} = 0

Формула (6) легко распространяется на случай (который в практических задачах почти не встречается), когда функция Лагранжа L зависит также от старших производных аргументную функции x (t) ; L = L (x, \ dot x, \ ddot x, ...) :

{\ Partial L \ over \ partial x} - {d \ over dt} {\ partial L \ over {\ partial \ dot x}} + {d ^ 2 \ over dt ^ 2} {{\ partial L \ over { \ partial \ ddot x}}} - ... = 0

Формула (6) будет аналогичной и в случае, когда функционал зависит от вектор-функции скалярного аргумента \ Mathbf {x} (t) = {{x ^ i (t)}} :

(7) \ qquad {d \ over dt} {\ partial L \ over \ partial \ dot x ^ i} = {\ partial L \ over \ partial x ^ i}

Теперь можно рассмотреть также и дифференцировки функционала (2). Вычисление оказываются аналогичными, но при интегрировании по частям нужно воспользоваться формуле Остроградского-Гаусса, которая переводит интеграл от дивегренции по объему в интеграл по гиперповерхности, что ограничивает этот объем (здесь по одинаковым индексам производится добавление согласно правилу Эйнштейна):

\ Int_V {\ partial a ^ i \ over \ partial u ^ i} d \ tau = \ int_S a ^ i n_i d \ sigma

Имеем (обозначив для краткости элемент объема d \ tau = du ^ 1 du ^ 2 ... du ^ n ):

\ Delta S = \ int ({\ partial L \ over \ partial x ^ i} \ delta x ^ i + {\ partial L \ over \ partial ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})} \ delta ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})) d \ tau

Второе слагаемое интегрируем частями, предварительно выделив дивергенцию (первым слагаемым):

{\ Partial L \ over \ partial ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})} \ delta ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})) = {\ partial \ over u ^ j} ({{\ partial L \ over \ partial ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})} \ delta x ^ i}) - ({\ partial \ over \ partial u ^ j } {\ partial L \ over \ partial ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})}) \ delta x ^ i

Интеграл от первого слагаемого превращается в интеграл по поверхности, по формуле Остроградского-Гаусса. Он равен нулю, поскольку вариация \ Delta x ^ i (u) на пределы интегрирования превращается в ноль. Таким образом, имеем формулу первой вариации:

(8) \ qquad \ delta S = \ int ({\ partial L \ over \ partial x ^ i} - {\ partial \ over \ partial u ^ j} {\ partial L \ over {\ partial ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})}}) \ delta x ^ id \ tau

И соответствующее уравнение Эйлера-Лагранжа:

(9) \ qquad {\ partial L \ over \ partial x ^ i} - {\ partial \ over \ partial u ^ j} {\ partial L \ over {\ partial ({\ partial x ^ i \ over \ partial u ^ j})}} = 0

4. Вторая производная функционала

Функционал в окрестности фиксированной аргументную функции можно разложить в ряд Тейлора по степеням малости вариации \ Delta x :

(10) \ qquad \ tilde S = S (x + \ delta x) = S + {1 \ over 1!} \ Delta S + {1 \ over 2!} \ Delta ^ 2 S + ...

Очевидно, что в локальном минимуме функционала первой вариации вариация равна нулю, а вторая должна быть положительно-определенной квадратичной формой от вариации аргумента \ Delta x (И отрицательно определенной в точке локального максимума). Рассмотрим случай функционала от вектор-функции скалярного аргумента x ^ i = x ^ i (t) , Введем обозначения скоростей v ^ i = \ dot x ^ i . Тогда функция Лагранжа L разлагается в ряд Тейлора (производные L по аргументам обозначать индексами внизу):

\ Tilde L = L + {1 \ over 1!} (L_ {x ^ i} \ delta x ^ i + L_ {v ^ i} \ delta v ^ i) + {1 \ over 2!} (L_ {x ^ ix ^ j} \ delta x ^ i \ delta x ^ j + 2 L_ {x ^ iv ^ j} \ delta x ^ i \ delta v ^ j + L_ {v ^ iv ^ j} \ delta v ^ i \ delta v ^ j) + ...

Так второй вариации функционала равна:

(11) \ qquad \ delta ^ 2 S = \ int_a ^ b (L_ {x ^ ix ^ j} \ delta x ^ i \ delta x ^ j + 2 L_ {x ^ iv ^ j} \ delta x ^ i \ delta v ^ j + L_ {v ^ iv ^ j} \ delta v ^ i \ delta v ^ j) dt

5. Смотрите также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Литература

  • Моклячук М. П. Вариационное исчисление. Экстремальные задачи. - Киев-. 2003. 380 с.
  • Перестюк Н.А., Станжицький А.Н., Капустян О.В., Ловейкин Ю.В. Вариационное исчисление и методы оптимизации: Учеб. пособие. - К., 2010. - 121 c.
  • Gelfand, IM and Fomin, SV: Calculus of Variations, Dover Publ., 2000
  • Lebedev, LP and Cloud, MJ: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1-98
  • Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987
  • Forsyth, AR: Calculus of Variations, Dover, 1960
  • Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992
  • Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974
  • Clegg, JC: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968
  • Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
  • Courant, R. and D. Hilbert: Methods of Mathematical Physics, Vol I. Interscience Press, 1953.
  • Elsgolc, LE: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962
  • Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам