Векторное произведение

Векторное произведение - билинейная, антисимметрична операция на векторах в трехмерном пространстве. В отличие от скалярного произведения векторов евклидова пространства, результатом векторного произведения является вектор, а не скаляр.


1. Обозначение

Чаще всего для обозначения векторного произведения употребляется символ ?. Векторное произведение обозначается также квадратными скобками, в которых сомножители разделенные запятыми. Кроме того, в физических текстах принято обозначать векторы жирным шрифтом.

\ Vec {u} \ times \ vec {v} = [\ vec {u}, \ vec {v}] = [\ vec {u} \ times \ vec {v}] = \ mathbf {u} \ times \ mathbf {v} = [\ mathbf {u}, \ mathbf {v}]

2. Алгебраическое определение векторного произведения

Произвольный вектор в \ Mathbb {R} ^ 3 описывается своими координатами относительно стандартного базиса \ {\ Vec {i}, \ vec {j}, \ vec {k} \}. Векторным произведением двух 3 -Векторов

\ Vec {u} = u_1 \ vec {i} + u_2 \ vec {j} + u_3 \ vec {k}, \ quad \ vec {v} = v_1 \ vec {i} + v_2 \ vec {j} + v_3 \ vec {k},

называется 3 -Вектор

\ Vec {u} \ times \ vec {v} = (u_2 v_3 - u_3 v_2) \ vec {i} + (u_3 v_1 - u_1 v_3) \ vec {j} + (u_1 v_2 - u_2 v_1) \ vec {k }

который также символически записывается в виде 3 \ times 3детерминанту :

\ Vec {u} \ times \ vec {v} = \ begin {vmatrix} \ vec {i} & \ vec {j} & \ vec {k} \ \ u_1 & u_2 & u_3 \ \ v_1 & v_2 & v_3 \ end {vmatrix} .

На самом деле эти формулы для векторного произведения выполняются в любом ортонормальному базисе \ Mathbb {R} ^ 3 .


3. Геометрическое определение векторного произведения

Векторное произведение (вертикально) меняется вместе с углом между векторами

В научной литературе по механике и физике распространено несколько иное определение векторного произведения.

Векторным произведением двух 3 -Векторов \ Vec {u}, \ vec {v} \ in \ mathbb {R} ^ 3 называется 3 -Вектор \ Vec {u} \ times \ vec {v} \ in \ mathbb {R} ^ 3 , Который удовлетворяет следующим требованиям:

  1. | \ Vec {u} \ times \ vec {v} | = | \ vec {u} | | \ vec {v} | \ sin \ theta, где \ Theta -Это угол между \ Vec {u} и \ Vec {v} (Длина или правило паралелограму)
  2. вектор \ Vec {u} \ times \ vec {v} - Ортогональный к векторам \ Vec {u} и \ Vec {v} (Ортогональность)
  3. векторы \ Vec {u}, \ vec {v}, \ vec {u} \ times \ vec {v} образуют правую тройку векторов (ориентация).

3.1. Правые и левые тройки векторов

Фундаментальное свойство трехмерного пространства - его ориентовнисть. Два упорядочены базисы (или линейно-независимые тройки векторов) \ Mathbb {R} ^ 3 называются эквивалентными, если существует непрерывная деформация первого во второй (с совпадение порядка векторов базиса), которая состоит исключительно из базисов (или линейно-независимых троек векторов) \ Mathbb {R} ^ 3. Тогда все линейно независимые тройки векторов \ Mathbb {R} ^ 3 делятся на два классы эквивалентности, называемые левыми и правыми тройками (базисами).

Правую (левую) тройки векторов можно наглядно представить так. После совмещения начал, векторы правой (левой) тройка расположатся так как большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.


4. Свойства векторного произведения

  • Антикомутативнисть:
\ Vec {u} \ times \ vec {v} = - \ vec {v} \ times \ vec {u}
  • Билинийнисть:
(R \ vec {u} + s \ vec {v}) \ times \ vec {w} = r \ vec {u} \ times \ vec {w} + s \ vec {v} \ times \ vec {w} , \ quad \ vec {u} \ times (r \ vec {v} + s \ vec {w}) = r \ vec {u} \ times \ vec {v} + s \ vec {u} \ times \ vec {w};
  • Тождество Якоби:
\ Vec {u} \ times (\ vec {v} \ times \ vec {w}) + \ vec {v} \ times (\ vec {w} \ times \ vec {u}) + \ vec {w} \ times (\ vec {u} \ times \ vec {v}) = \ vec {0}.

В отличие от подавляющего большинства бинарных операций "произведения" (действительных или комплексных чисел, элементов группы и т.п.), векторное произведение не является ассоциативным. Зато, приведены свойства означают, что векторы в \ Mathbb {R} ^ 3 с операцией векторного произведения образуют алгебру Ли.

  • Правило паралелограму:
Длина векторного произведения двух векторов численно равна площади паралелограму построенный на векторах-сомножителя отложенных от общей точки.
  • Как следствие из предыдущей свойства, векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители - параллельные (т.е. скалярно пропорциональны), в частности, векторное произведение любого вектора на себя - нулевой вектор.

4.1. Матрица векторного произведения

Векторное произведение может быть записано как произведение косо-симметричной матрицы и вектора:

\ Vec {u} \ times \ vec {v} = \ big [\ vec {u} \ big] _ {\ times} \ cdot \ vec {v} = \ big [\ vec {v} \ big] _ { \ times} ^ \ mathrm T \ cdot \ vec {u} = \ begin {bmatrix} 0 &-u_3 & u_2 \ \ u_3 & 0 &-u_1 \ \-u_2 & u_1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin { bmatrix} v_1 \ \ v_2 \ \ v_3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & v_3 &-v_2 \ \-v_3 & 0 & v_1 \ \ v_2 &-v_1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin { bmatrix} u_1 \ \ u_2 \ \ u_3 \ end {bmatrix}.

См.. также