Гамильтониан

Гамильтониан \ Hat H в квантовой теории - это оператор полной энергии системы. Его спектр определяет все возможные значения энергии квантовой системы, которые можно получить при измерении. Для большинства формализмов квантовой механики (в частности, картины Шредингера, Гейзенберга и другие) гамильтониан играет ключевую роль, поскольку он непосредственно связан с эволюцией квантовой системы.

Название "гамильтониан" (как и название "Функция Гамильтона") происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Ровена Гамильтона.


1. Значение

Гамильтониан квантовой системы состоит из суммы кинетических энергий всех частиц, составляющих эту систему, и ее потенциальной энергии. Именно в таком виде он входит в основное уравнение эволюции квантовомеханической системы - уравнения Шредингера.

Спектр гамильтониана определяет возможные значения энергий квантовомеханической системы, а его собственные функции - возможны волновые функции стационарных состояний.


2. Построение

2.1. Одночастичных случай

Гамильтониан строится аналогично функции Гамильтона классической механики, которая является суммой кинетической и потенциальной энергий системы:

\ Hat {H} = \ hat {T} + \ hat {V},

где

\ Hat {T} = \ frac {\ hat {\ bold {p}} \ cdot \ hat {\ bold {p}}} {2m} = \ frac {\ hat {p} ^ 2} {2m} - Оператор кинетической энергии;
\ Hat {V} = V (\ bold {q}, t) - Оператор потенциальной энергии.

Оператора кинетической энергии входит оператор импульса, который выглядит так:

\ Hat {\ bold {p}} =-i \ hbar \ nabla,
\ Hat {p} ^ 2 = - \ hbar ^ 2 \ nabla ^ 2,

где \ Nabla - градиент, а \ Nabla ^ 2 = \ nabla \ cdot \ nabla - лапласиан, имеющий следующий вид в декартовых координатах:

\ Nabla ^ 2 = \ frac {\ partial ^ 2} {{\ partial x} ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {{\ partial y} ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} { {\ partial z} ^ 2}.

Таким образом, используя эти операторы, можно записать гамильтониан в развернутой форме, которая используется в уравнении Шредингера :

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + V (\ bold {q}, t).

Итак, для построения гамильтониана достаточно взять классическую функцию Гамильтона \ Mathcal {H} (\ bold {p}, \ bold {q}) и заменить в ней импульсы на соответствующие операторы. Такое определение гамильтониана можно применять к системам, описываются некоторой волновой функцией \ Psi (\ bold {q}, t) , И оно часто используется в вводных курсах квантовой механики при описании волновой механики Шредингера.


2.2. Многочастичного случай

Предыдущие рассуждения можно распространить на случай системы N частиц:

\ Hat {H} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ N \ hat {T} _n + \ hat {V},

где

\ Hat {V} = V (\ bold {q} _1, \ bold {q} _2, ..., \ bold {q} _N, t) - Оператор потенциальной энергии, которая теперь является функцией времени и пространственной конфигурации системы (пространственная конфигурация является набором положений в пространстве в некоторый момент времени);
\ Hat {T} _n = \ frac {\ hat {\ bold {p}} _n \ cdot \ hat {\ bold {p}} _n} {2m_n} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m_n} \ nabla_n ^ 2 - Оператор кинетической энергии n-й частицы, \ Nabla_n - градиент, действующего на n-ю частицу, а \ Nabla_n ^ 2 - лапласиан :
\ Nabla_n ^ 2 = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x_n ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y_n ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z_n ^ 2}.

Комбинируя полученные результаты, можно записать гамильтониан системы N частиц:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2} \ sum \ limits_ {n = 1} ^ N \ frac {\ nabla_n ^ 2} {m_n} + V (\ bold {q} _1, \ bold {q} _2, ..., \ bold {q} _N, t).

Однако трудности возникают в проблеме многих тел. Если потенциальная энергия зависит от пространственной конфигурации системы частиц, то по закону сохранения энергии кинетическая энергия тоже зависит от ее пространственной конфигурации. Движение некоторой отдельной частицы изменяться под влиянием других частиц системы. Поэтому в кинетической энергии могут появиться слагаемые, учитывающие корреляции между частицами, например, произведение градиентов для двух частиц:

- \ Frac {\ hbar ^ 2} {2M} \ nabla_i \ cdot \ nabla_j,

где M - масса частиц, которые учитываются в данном слагаемом кинетической энергии. Такие слагаемые возникают в гамильтониан атомов со многими электронами.

Для N взаимодействующих частиц, например, частиц, взаимно взаимодействуют и образуют задачу многих тел, потенциальная энергия не просто суммой отдельных потенциалов. Она является функцией всех положений в пространстве каждой частицы.

Для невзаимодействующих частиц потенциальная энергия системы является суммой потенциальных энергии каждой частицы:

\ Hat {V} = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ NV (\ bold {q} _n, t) = V (\ bold {q} _1, t) + V (\ bold {q} _2, t ) + ... + V (\ bold {q} _N, t).

Общий вид гамильтониана будет следующим:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2} \ sum \ limits_ {n = 1} ^ N \ frac {\ nabla_n ^ 2} {m_n} + \ sum \ limits_ {n = 1} ^ NV (\ bold {q} _n, t) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ N \ Bigl (- \ frac {\ hbar ^ 2} {2m_n} \ nabla_n ^ 2 + V (\ bold {q } _n, t) \ Bigr) = \ sum \ limits_ {n = 1} ^ N \ hat {H} _n,

где сумма берется по всем частицах и их потенциалах. В результате гамильтониан системы является суммой гамильтониан каждой отдельной частицы. Такая ситуация идеализированной, на практике частицы почти всегда находятся под влиянием некоторого потенциала, что обусловливает наличие взаимодействия между всеми частицами. Примером взаимодействия между двумя частицами, где такие соображения не срабатывают, есть электростатические потенциалы заряженных частиц, поскольку они взаимодействуют друг с другом благодаря кулоновским силам.


3. Уравнения Шредингера

Гамильтониан порождает эволюцию квантовой системы во времени. Если | \ Psi (t) \ rangle - Состояние системы в момент времени t , То для него можно записать уравнение:

\ Hat {H} | \ psi (t) \ rangle =-i \ hbar \ frac {\ partial} {\ partial t} | \ psi (t) \ rangle.

Это уравнение носит название уравнения Шредингера, которое является квантовым аналогом уравнения Гамильтона-Якоби. Если состояние системы задан в некоторый начальный момент времени (например, t = 0 ), То он определен и в любой другой момент времени. Если гамильтониан явно не зависит от времени, то:

| \ Psi (t) \ rangle = e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} | \ psi (0) \ rangle.

Экспоненциальный оператор \ Hat {U} (t) = e ^ {- \ frac {i \ hat {H} t} {\ hbar}} , Что действует здесь на волновую функцию, является унитарным и называется оператора эволюции. Если гамильтониан независимый от времени, то совокупность \ {\ Hat {U} (t) \} образует однопараметрическое унитарное группу.


4. Формализм Дирака

В более общем диракивському формализме гамильтониан обычно интерпретируется как оператор в гильбертовом пространстве. Собственные векторы оператора \ Hat {H} , Которые обозначаются | N \ rangle , Составляют ортонормированной базис гильбертова пространства. Спектр разрешенных энергетических уровней определяется набором собственных значений, что сказывается \ {E_n \} и является решением уравнения

\ Hat {H} | n \ rangle = E_n | n \ rangle.

Поскольку гамильтониан является эрмитовых операторов, то энергия есть всегда действительной.

Со строго математической точки зрения указанные выше предположение нужно использовать с осторожностью. Например, операторы в гильбертовом пространстве с бесконечным количеством измерений обязательно имеют собственные значения (набор собственных значений может не совпадать с спектром оператора). Однако все основные квантовомеханической вычисления успешно выполняются только на основании физического трактовки.


5. Частные случаи

5.1. Свободная частица

Этот случай является простым. Поскольку движение свободной частицы массой m не ограничивается никакими потенциалами, то к гамильтониана входит лишь кинетическая энергия частицы, поэтому:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2.

Если частица движется в одномерном пространстве, то:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2}.

5.2. Гармоничный осциллятор

Для одномерного гармонического осциллятора потенциальная энергия выглядит так:

\ Hat {V} = \ frac {kx ^ 2} {2} = \ frac {m \ omega ^ 2} {2} x ^ 2,

где \ Omega = \ sqrt {\ frac {k} {m}} - Угловая частота.

Так, гамильтониан запишется следующим образом:

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2} {dx ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} x ^ 2.

В трехмерном случае гамильтониан состоять из трех частей, действующих отдельно на каждую из декартовых координат:

\ Begin {align} \ hat {H} & = \ hat {H} _x + \ hat {H} _y + \ hat {H} _z = \ \ & = \ Bigl (- \ frac {\ hbar ^ 2} { 2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} x ^ 2 \ Bigr) + \ Bigl (- \ frac {\ hbar ^ 2} { 2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} y ^ 2 \ Bigr) + \ Bigl (- \ frac {\ hbar ^ 2} { 2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial z ^ 2} + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} z ^ 2 \ Bigr) = \ \ & = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 + \ frac {m \ omega ^ 2} {2} r ^ 2. \ End {align}

5.3. Заряженная частица в электромагнитном поле

Электромагнитное поле, характеризующееся скалярным потенциалом \ Varphi и векторным потенциалом \ Bold {A} , И в котором находится заряженная частица q , Изменяет обе части гамильтониана.

Во-первых, электромагнитное поле дает вклад в кинетической энергии, а точнее, к импульсу \ Bold {p} за счет векторного потенциала \ Bold {A} . В СИ это записывается как:

\ Bold {p} '= \ bold {p} - q \ bold {A},

где \ Bold {p} =-i \ hbar \ nabla - Оператор импульса. Таким образом, оператор кинетической энергии запишется:

\ Hat {T} = \ frac {1} {2m} (-i \ hbar \ nabla - q \ bold {A}) ^ 2.

Скалярное потенциал \ Varphi дает вклад в потенциальной энергии:

\ Hat {V} = q \ varphi.

Окончательно, гамильтониан для такого случая:

\ Hat {H} = \ frac {1} {2m} (-i \ hbar \ nabla - q \ bold {A}) ^ 2 + q \ varphi.

6. Свойства

Гамильтониан - Эрмита оператор, и вследствие этого его собственные значения действительны, т.е. энергия квантомеханичного состояния - действительная величина.

Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным.

Соответственно, собственные функции гамильтониана могут прийти в бесконечности, образуя локализованные состояния или вести себя как неограниченная волна, образуя делокализовани состояния.

Гамильтониан системы многих частиц одной природы полностью симметричен относительно координат этих частиц (см. принцип нерозризнюваности частиц).


Физика Это незавершенная статья по физики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

См.. также

Литература

  • Вакарчук И. А. Квантовая механика. - 4-е издание, дополненное. - Л. : ЛНУ им. Ивана Франко, 2012. - 872 с.
  • Юхновский И. Г. Основы квантовой механики. - К. : Лыбидь, 2002. - 392 с.
  • Коэн-Таннуджы К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика. - Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2000. - 944 +800 С.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2008. - Т. 3. - 800 с.
  • Мессия А. Квантовая механика (в 2-х томах). - М. : Наука, 1978-1979. - 1064 с.
  • Шифф Л. Квантовая механика. - М. : ИЛ, 1957. - 476 с.