Гармоничный осциллятор

Колебания гармонического осциллятора

Гармоничным осциллятором ( в классической механике) называется система, которая при смещении из положения равновесия под действием определенной силы (или суперпозиции сил), возвращается в исходное положение под действием возвратной силы, пропорциональной смещению (например, законом Гука в случае механических колебаний):

F =-k x \,

где k - Положительная константа, описывающая жесткость системы.

Если ~ F - Единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоничным осциллятором. Свободные колебания такой системы является периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянные, причем частота не зависит от амплитуды.

Если есть еще и сила трения (происходит затухание колебаний), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую ​​систему называют угасающим или диссипативных осциллятором. Если трения не очень большое, то система делает почти периодическое движение - синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний угасающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор существует сам по себе, говорят, что он делает свободные колебания. Если же есть внешняя сила (зависит от времени), то говорят, что осциллятор выполняет вынужденные колебания.

Также, можно дать эквивалентное определение гармонического осциллятора - это физический объект, эволюция которого со временем описывается дифференциальным уравнением

\ Ddot {q} (t) + \ omega ^ 2 q (t) = 0 ,

где q - обобщенная координата гармонического осциллятора, t - Время, \ Omega - Характерная частота гармонического осциллятора. Две точки над переменной означает второй производную по времени. Величина q осуществляет гармонические колебания.

Задача о гармоничном осциллятор играет центральную роль как в классической, так и в квантовой физике.

Большое количество физических систем ведут себя как гармоничные осциллятора при малом отклонении от равновесия. К ним относятся математический маятник (с малыми углами отклонения), физический и торсионный маятники, груз на пружине, колебания атомов в молекулах и твердых телах. Среди примеров, стоит выделить электрические колебательные контуры, поскольку с ними мы сталкиваемся в современной жизни постоянно - это почти все электротехнические приборы, с которыми мы знакомы чуть ли не с рождения (например лифты, электронные системы в автомобилях, компьютеры, акустические системы, кофеварки).


1. Гармоничный осциллятор в классической физике

Малые колебания маятника являются гармоническими

1.1. Энергия, функция Лагранжа и Гамильтона

Кинетическая энергия гармонического осциллятора задается выражением

K = \ frac {1} {2} \ dot {q} ^ 2 .

Потенциальная энергия гармонического осциллятора задается выражением

U = \ frac {1} {2} \ omega ^ 2 q ^ 2 .

Соответственно, считая величину q обобщенной координатой, функция Лагранжа гармоничного осцлятора записывается

\ Mathcal {L} = \ frac {1} {2} (\ dot {q} ^ 2 - \ omega ^ 2 q ^ 2) .

Обобщенный импульс

p = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q}} = \ dot {q}.

Функция Гамильтона

\ Mathcal {H} = \ frac {1} {2} (p ^ 2 + \ omega ^ 2 q ^ 2) .

1.2. Вынужденные колебания

Под действием внешней периодической силы с частотой, не обязательно совпадает с собственной частотой гармонического осциллятора, осциллятор совершающей гармонические колебания, аплитуда которых определяется величиной внешней силы и соотношением внешней частоты и собственной частоты осциллятора.

Вынужденные колебания гармонического осциллятора с частотой \ Omega_0 под действием силы с частотой \ Omega описываются уравнением

\ Ddot {q} + \ omega_0 ^ 2 q = f_0 \ cos (\ omega t - \ varphi) ,

где f_0 - амплитуда внешней силы.

Частное решение этого уравнения, который описывает вынужденные колебания имеет вид

q = \ frac {f_0} {\ omega_0 ^ 2 - \ omega ^ 2} \ cos (\ omega t - \ varphi) .

Гармоничный осцитор под действием внешней силы совершающей гармонические колебания с амплитудой f_0 / (\ omega_0 ^ 2 - \ omega ^ 2) . При \ Omega \ rightarrow \ omega_0 амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконечности. Это явление называется резонансом.



1.3. Гармоничный осциллятор с угасанием колебаний

При учете сил трения или сопротивления другого рода, который приводит к диссипации энергии осциллятора и превращении ее в тепло, уравнение гармонического осциллятора меняются. В частности очень распространенный случай, когда силы сопротивления пропорциональны скорости изменения величины q . Тогда уравнение гармонического осциллятора принимает вид

\ Ddot {q} + \ gamma \ dot {q} + \ omega ^ 2 q = 0 .

Такие колебания затухают со временем по закону

q = q_0 e ^ {- \ gamma t} \ cos (\ omega t - \ varphi) .

1.4. Вынужденные колебания гармонического осциллятора с затуханием

При действии периодической внешней силы даже при затухании для осциллятора устанавливаются гармонические колебания с амплитудой, зависящей от приложенной силы, соотношение частот, а также от величины затухания.

Амплитуда вынужденных колебаний с учетом затухания определяется формулой

q_0 = \ frac {f_0 (\ omega_0 ^ 2 - \ omega ^ 2)} {(\ omega_0 ^ 2 - \ omega ^ 2) ^ 2 + \ gamma ^ 2 \ omega ^ 2} .

Это конечная величина при всех частотах внешней силы.


2. Формулы для расчета частот гармонических осцилляторов

Математический маятник при небольшом начальном отклонении от вертикали совершающей гармонические колебания с частотой

\ Omega = \ sqrt {\ frac {g} {l}} ,

где g - ускорение свободного падения, l - дожина маятника.

Тело массой m на пружине с жесткостью k, является гармоничным осциллятором с частотой

\ Omega = \ sqrt {\ frac {k} {m}}

Колебательный контур является гармоничным осциллятором, с частотой

\ Omega = \ frac {1} {\ sqrt {LC}} ,

где L - индуктивность, C - емкость.


3. Гармоничный осциллятор в квантовой механике

Подробнее см.. Квантовый осциллятор.

3.1. Спектр собственных значений и собственные функции

Волновые функции первых шести состояний с квантовыми числами от n = 0 до 5. На оси ординат отложена обобщенная координата

Гамильтониан гармонического осциллятора получается заменой в функции Гамильтона импульса p на - I \ hbar \ frac {d} {d q}

\ Hat {H} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2} \ frac {d ^ 2} {dq ^ 2} + \ frac {1} {2} \ omega ^ 2 q ^ 2 .

Спектр гармонического осциллятора находится с стационарного уравнения Шредингера и задается формулой

E_n = \ hbar \ omega \ left (n + \ frac {1} {2} \ right) .

Здесь n - квантовое число, которое пробегает значения от нуля до бесконечности. Энергетические уровни гармонического осциллятора эквидистантно. Характерной особенностью гармонического осциллятора является то, что даже в основном состоянии гармоничный осциллятор имеет отличную от нуля энергию

E_0 = \ frac {1} {2} \ hbar \ omega .

Эта низкая энергия называется энергией нулевых колебаний.

Собственные функции гармонического осциллятора, соответствующих квантовому числу n задаются формулами

\ Psi_n = e ^ {-x ^ 2/2} H_n (x) ,

где x = q \ sqrt {\ omega / \ hbar} , А H_n (x) - полиномы Эрмита.

При четном nсобственные функции гармонического осциллятора парные, при Непран - нечетные. Гамильтониан гармонического осциллятора коммутирует с оператором замены x на -X ( оператором четности), а потому имеет общие собственные функции с этим оператором.


3.2. Операторы рождения и уничтожения

Если определить оператор рождения

\ Hat {a} ^ + = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ hbar \ omega}} (\ omega q - i \ hat {p})

и оператор уничтожения

\ Hat {a} = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ hbar \ omega}} (\ omega q + i \ hat {p}) ,

то

\ Hat {H} = \ hbar \ omega \ left (\ hat {a} ^ + \ hat {a} + \ frac {1} {2} \ right) .

Операторы рождения и уничтожения удовлетворяют коммутационном соотношению:

\ Hat {a} \ hat {a} ^ + - \ hat {a} ^ + \ hat {a} = 1 .

Собственные функции гармонического осциллятора тогда имеют вид

\ Psi_n = \ sqrt {n!} (\ Hat {a} ^ +) ^ n \ psi_0 ,

или, используя нотацию кет и бра-векторов :

| N> = \ sqrt {n!} (\ Hat {a} ^ +) ^ n | 0 \ rangle .

Всего действие оператора рождения на гармоничное оператор в состоянии | n> приводит к переходу в состояние | n +1>:

\ Hat {a} ^ + | n> = \ sqrt {n +1} | n +1 \ rangle .

Действие оператора уничтожения на состояние | n> приводит к переходу в состояние | n-1>:

\ Hat {a} | n> = \ sqrt {n} | n-1 \ rangle

Оператор

\ Hat {N} = \ hat {a} ^ + \ hat {a}

называют оператором числа частиц, поскольку для него справедливо соотношение.

\ Hat {N} | n> = n | n \ rangle

3.3. Правила отбора

При излучении или поглощении фотона разрешенными переходами для гармонического осциллятора являются такие, при которых квантовое число n изменяется на единицу. Учитывая еквидистантнисть уровней, это правило отбора приводит к тому, что, несмотря на бесконечное число уровней, в спектре оптического поглощения или излучения гармонического осциллятора есть только одна линия с частотой \ Omega .

В реальных колебательных спектрах молекул возможны отклонения от этого правила, обусловленные ангармоничнистю реального потенциала межатомного взаимодействия, квадрупольными переходами и т.д.


См.. также

Источники

  • Федорченко А.М. Теоретическая механика. - М.: Высшая школа, 1975., 516 с.
  • Федорченко А.М. Теоретическая физика. Квантовая механика, термодинамика и статистическая физика. Т.2.. - М.: Высшая школа, 1993., 415 с.
  • Юхновский И.Р. Основы квантовой механики. - Киев: Лыбидь, 2002.