Геометрическое место точек

Геометрическое место точек (ГМТ) - языковое определение в математике, применяемое для определения геометрической фигуры как множества точек, обладающих некоторым свойством.


1. Примеры

  • Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.
  • Круг является геометрическим местом точек, равноудаленных от данной точки, являющейся центром окружности.
  • Парабола является геометрическим местом точек, равноудаленных от точки (называемый фокусом) и прямой (называемый директрисой)
  • Биссектриса является геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

2. Формальное определение

В общем случае, геометрическое место точек формулируется параметрическим предикатом, аргументом которого является точка данного линейного пространства. Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантой геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).

Роль дифференциалов заключается во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любой; дифференциалов может и вовсе не быть.

Если заданы детерминант P (M, \; a, \; b, \; c, \; \ ldots) , Где M - Точка, a, \; b, \; c, \; \ ldots - Дифференциалы, то искомую фигуру A задают в виде: " A - Геометрическое место точек M , Таких, что P (M, \; a, \; b, \; c, \; \ ldots) ". Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия по данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек M , Для которых для каждого конкретного набора значений a, \; b, \; c, \; \ ldots высказывания P (M, \; a, \; b, \; c, \; \ ldots) превращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задается через геометрическое место точек.

В словесной формулировке предикативной высказывания озвучивают литературно, то есть с привлечением разного рода оборотов с целью благозвучия. Иногда, в случае простых детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.

Пример: параболу зададим как множество всех таких точек M , Что расстояние от M до точки F равна расстоянию от M к прямой l . Тогда дифференциалы параболы - F и l ; Детерминант - предикат P (M, \; F, \; l) = (\ rho (M, \; F) = \ rho_l (M, \; l)) , Где \ Rho - Расстояние между двумя точками (метрика), \ Rho_l - Расстояние от точки до прямой. И говорят: "Парабола - геометрическое место точек M , Равноудаленных от точки F и прямой l . Точку F называют фокусом параболы, а прямую l - Директрисой ".


См.. также