Надо Знать

добавить знаний



Геометрия



План:


Введение

Геометрия (от дав.-гр. γη - Земля и μετρέω - измеряю; землемиряння) - раздел математики, наука о пространственных формах, отношения и их обобщения.


1. Концепции

Геометрия - одна из древнейших наук. С начала она была отраслью практического знания, рассматривавшего длины, площади, и объемы.

Начальные понятия геометрии возникли в результате отвлечения от любых свойств и отношений тел, кроме взаимного расположения и величины. Первые выражаются в прикосновении или прилегании тел друг к другу, в том, что одно тело является частью другого, в расположении "между", "внутри" и другие. Другие выражаются в понятиях "больше", "меньше", в понятии о равенстве тел.

Путем такого же отвлечения возникает понятие геометрического тела. Геометрическое тело - абстракция, в которой сохраняются лишь форма и размеры при полном абстрагировании от всех других свойств. При этом геометрия, как собственно математике вообще, полностью абстрагируется от неопределенности и подвижности реальных форм и размеров и считает все исследуемые ею отношения и формы абсолютно точными и определенными. Абстрагирования от протяженности тел приводит к понятиям поверхности, линии и точки. Это явно выраженное, например, в определениях, данных Евклидом : "линия есть длина без ширины", "поверхность является то, что имеет длину и ширину". Точка без всякой протяженности - абстракция, отражающая возможность неограниченного уменьшения всех размеров тела, воображаемое предел его бесконечного разделения. Далее возникает общее понятие о геометрическую фигуру, под которой понимают не только тело, поверхность, линию или точку, но и любую их совокупность.

Геометрия в первоначальном значении - наука о фигуры, взаимное расположение и размеры их частей, а также о преобразовании фигур. Это определение согласуется с определением геометрии как науки о пространственные формы и отношения. Действительно, фигура, как она рассматривается в геометрия, и есть пространственная форма; поэтому в геометрии говорят, например, "Шар", а не "тело шарообразной формы", расположение и размеры определяются пространственными отношениями, наконец, преобразования, как его понимают в геометрии, также определенное отношение между двумя фигурами - данной и той, в которую она преобразуется.

В современном, общем смысле, геометрия занимает различные математические теории, принадлежность которых к геометрии определяется не только сходством (хотя порой и весьма отдаленной) их предмета с обычными пространственными формами и отношениями, но также тем, что они исторически сложились и складываются на основе геометрии в первоначальном ее значении, и в своих построениях исходят из анализа, обобщения и видоизменения ее понятий. Геометрия в этом общем смысле тесно переплетается с другими разделами математики и ее границы не являются точными.


1.1. Обобщение предмета геометрии

Возможность обобщения и видоизменения геометрических понятий легче осознать на примере. Так, на поверхности шара можно соединять точки кратчайшими линиями - дугами больших кругов, можно измерять углы и площади, строить различные фигуры. Их изучение составляет предмет сферической геометрии, подобно тому, как планиметрия - геометрия на плоскости; геометрия на земной поверхности близка к сферической геометрии. Законы геометрии на сфере отличаются от законов планиметрии; так, например, длина окружности здесь не пропорциональна радиуса, а растет медленнее и достигает максимума для экватора; сумма углов треугольника на сфере непостоянна и всегда больше двух прямых. Аналогично можно на любой поверхности проводить линии, измерять их длины, углы между ними, определять ограниченные ими площади. Геометрия на поверхности строится таким образом, называется ее внутренней геометрией ( Карл Гаусс, 1827). На неравномерно изогнутой поверхности соотношения длин и углов будут различными в разных местах, следовательно, она будет геометрически неоднородной, в отличие от плоскости и сферы. Возможность получения различных геометрических соотношений наводит на мысль, что свойства реального пространства могут лишь приближенно описываться обычной геометрией. Эта идея, впервые высказанная Николаем Лобачевским, нашла подтверждение в общей теории относительности.

Шире возможность обобщения понятий геометрии выясняется из следующего рассуждения. Обычный реальное пространство понимают в геометрия как непрерывную совокупность точек, то есть всех возможных предельно точно определенных местоположений предельно малого тела. Аналогично непрерывную совокупность возможных состояний какой-либо материальной системы, непрерывную совокупность каких-либо однородных явлений можно трактовать как своего рода "Пространство". Вот один из примеров. Опыт показывает, что нормальный человеческое зрение трехцветный, т.е. любое цветовое ощущение К - комбинация - сумма трех основных ощущений: Ч красного, С зеленого и С синего, с определением интенсивности цвета. Обозначая эти интенсивности в некоторых единицах через х, у, z, можно написать К = xЧ + yЗ + zC. Подобно тому, как точку в пространстве можно двигать вверх и вниз, вправо и влево, вперед и назад, так и ощущение цвета К может непрерывно меняться в трех направлениях с изменением составляющих его частей - красного, зеленого и синего. По аналогии можно сказать, что совокупность всех цветов - трехмерное пространство, "пространство цветов". Непрерывное изменение цвета можно изобразить как линию в этом пространстве. Далее, если даны два цвета, например красный М и белый Б, то, смешивая их в разных пропорциях, получают непрерывную последовательность цветов, которую можно назвать прямолинейным отрезком ЧБ. Представление о том, что розовый цвет Р лежит между красным и белым и густой розовый лежит ближе к красному, не требует разъяснения. Таким образом, возникают понятия о простейших "пространственные" формы ( линия, отрезок) и отношения (между, ближе) в пространстве цветов. Далее, можно ввести точное определение расстояния (например, по количеству порогов различения, которое можно проложить между двумя цветами), определить поверхности и области цветов, подобно обычным поверхностей и геометрических тел и т.п.. Так возникает учение о пространстве цветов, которое путем обобщения геометрических понятий отражает реальные свойства цветового зрения человека (см. колориметрия).

Другой пример. Состояние газа, находящегося в цилиндре под поршнем, определяется давлением и температурой. Поэтому совокупность всех возможных состояний газа можно представлять как двумерный пространство. "Точками" этого "пространства" служат состояния газа, "точки" различаются двумя "координатами" - давлением и температурой, подобно тому как точки на плоскости различаются значениями их координат. Непрерывное изменение состояния изображается линией в этом пространстве.

Далее можно представить себе любую материальную систему - механическую или физико-химическую. Совокупность всех возможных состояний этой системы называют "Фазовым пространством". "Точками" этого пространства являются сами состояния. Если состояние системы определяется n величинами, то говорят, что система n степеней свободы. Эти величины играют роль координат точки-состояния, как в примере с газом роль координат играли давление и температура. Согласно этому такой фазовое пространство системы называют n-мерным. Изменение состояния изображается линией в этом пространстве, отдельные области состояний, выделяемые с теми или иными признакам, будут областями фазового пространства, а границы областей будут поверхностями в этом пространстве. Если система имеет только две степени свободы, то ее состояния можно изображать точками на плоскости. Так, состояние газа с давлением р и температурой Т отразится точкой с координатами р и Т, а процессы, происходящие с газом, изобразить линиями на плоскости. Этот метод графического изображения общеизвестен и постоянно используется в физике и технике для наглядного представления процессов и их закономерностей. Однако если число степеней свободы больше 3, то простое графическое изображение (даже в пространстве) становится невозможным. Тогда, чтобы сохранить полезные геометрические аналогии, прибегают к понятию о абстрактный фазовое пространство. Так, наглядные графические методы перерастают в это абстрактное представление. Метод фазовых пространств широко применяется в механике, теоретической физике и физической химии. В механике движение механической системы изображают движением точки в ее фазовом пространстве. В физической химии особенно важно рассматривать форму и взаимное прилегание тех областей фазового пространства системы из нескольких веществ, которые отвечают качественно различным состояниям. Поверхности, разделяющие эти области, суть поверхности переходов от одного качества к другому ( плавления, кристаллизация и т.п.). В самой геометрии также рассматривают абстрактные пространства, "точками" которых служат фигуры; так определяют "пространства" кругов, сфер, прямых и т.д.. В механике и теории относительности вводят также абстрактный четырехмерное пространство, присоединяя к трем пространственным координатам время как четвертую координату. Это означает, что события нужно различать не только по положению в пространстве, но и во времени.

Таким образом, становится понятным, как непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений, состояний могут подводиться под обобщенное понятие пространства. В таком пространстве можно проводить ?линии?, изображающие непрерывные последовательности явлений (состояний), проводить "поверхности" и определять соответствующим образом "расстояния" между "точками", давая тем самым количественное выражение физического понятия о степени различия соответствующих явлений (состояний) и тому подобное. Так по аналогии с обычной геометрией возникает "геометрия" абстрактного пространства, она может даже быть похожа на обычное пространство, будучи, например, неоднородной по своим географическим свойствам и конечным, подобно неравномерно искривленной замкнутой поверхности.

Предметом геометрии в обобщенном смысле оказываются не только пространственные формы и отношения, но любые формы и отношения, которые, будучи отвлеченными от своего содержания, оказываются сходными с обычными пространственными формами и отношениями. Эти пространственно-подобные формы действительности называют "Пространствами" и "Фигурами". Пространство в этом смысле является непрерывная совокупность однородных объектов, явлений, состояний, которые играют роль точек пространства, причем в этой совокупности являются отношения, схожие с обычными пространственными отношениями, как, например, расстояние между точками, равенство фигур и т.п. (фигура - вообще часть пространства). Геометрия рассматривает эти формы действительности отвлеченно от конкретного содержания, изучение же конкретных форм и отношений в связи с их качественно своеобразным содержанием составляет предмет других наук, а геометрия служит для них методом. Примером может служить любое применение абстрактной геометрии, хотя бы указанное выше применение n-мерного пространства в физической химии. Для геометрии характерен такой подход к объекту, который заключается в обобщении и перенесении на новые объекты обычных геометрических понятий и наглядных представлений. Именно это и делается в приведенных выше примерах пространства цветов и других. Этот геометрический подход вовсе не является чистой условностью, а соответствует самой природе явлений. Однако часто одни и те же реальные факты можно изображать аналитически или геометрически, как одну и ту же зависимость можно задавать уравнением или линией на графике.

Не следует, однако, представлять развитие геометрии так, что она лишь регистрирует и описывает геометрической языке формы и отношения, которые уже встретились на практике, подобные пространственным. В действительности геометрия определяет широкие классы новых пространств и фигур в них, исходя из анализа и обобщений данных наблюдательной геометрии и уже сложившихся геометрических теорий. При абстрактном определении эти пространства и фигуры выступают как возможные формы действительности. Они, следовательно, не является чисто умозрительными конструкциями, а должны служить итоге средством исследования и описания реальных фактов. Николай Лобачевский, создавая свою геометрию, считал ее возможной теорией пространственных отношений. Так же, как его геометрия получила обоснование в смысле ее логической способности и применение к явлениям природы, так и всякая абстрактная геометрическая теория проходит такую ​​же двойную проверку. Для проверки логической способности существенное значение имеет метод построения математических моделей новых пространств. Однако окончательно укореняются в науке только те абстрактные понятия, которые оправданы и построением искусственной модели, и приложениями, если не прямо в естествознании и технике, то хотя бы в других математических теориях, через которые эти понятия так или иначе связаны с действительностью. Легкость, с которой математики и физики оперируют теперь разными "пространствами", достигнута в результате долгого развития геометрии в тесной связи с развитием математики в целом и других точных наук. Именно вследствие этого развития сложилась и получила большое значение вторая сторона геометрии, указанная в общем определении, данном в начале статьи: включение в геометрию исследования форм и отношений, сходных с формами и отношениями в обычном пространстве.


2. История геометрии

Оксиринхський папирус "Начал" Евклида

Геометрия - слово греческого происхождения. Оно означает землемерие. Однако первыми "землемерами" были древние египтяне. Сельское хозяйство могло развиваться лишь у реки Нил. Ежегодно Нил разливался, принося на земле которые были залиты водой, плодовитый ил. Каждый крестьянин имел надел земли определенной площади, однако разливы реки не позволяли раз и навсегда определить границы каждого надела, поэтому после очередного разлива приходилось определять земельный участок заново. Это выполняли землемеры - люди, с помощью шнура отмерили каждому крестьянину участок с площадью, которая была ему приписана. Древние египтяне не знали циркуля, его изобрели греки. Однако это им особо не препятствовало. Так, прямой угол они строили веревкой, имеющая длину 12 мер. С помощью этой веревки можно построить треугольник со сторонами 3, 4 и 5 мер. Такой треугольник по теоремой Пифагора является прямоугольным. Поэтому прямоугольный треугольник также называют египетским.

Женщина учит детей геометрии. Иллюстрация из парижского рукописи Евклидовой "Начал", начало XIV века

В Древней Греции, начиная с 7 века до н. е., со времен Фалеса Милетского, начинается новый этап развития геометрии. Она приобретает характерный для нее абстрактного направления, в ней возникает доведение. Греческий мыслитель милетской школы Анаксимандр предпринял первую попытку создания систематического курса для преподавания геометрии. Преобразование это произошло путем абстрагирование от любых свойств тел, кроме взаимного положения и величины. Наукой геометрия стала, когда от набора рецептов перешли к установлению общих закономерностей. Дальнейшие попытки построения систематических курсов математики относятся Гиппократ Хиосский, Феодору Киренского, Архит Тарентский, Евдокс Книдский и многим другим ученым. Они создали математическую основу для дальнейшего развития науки, теоретического естествознания и философии Древней Греции. Греки составили первые систематические и доказательные труды по геометрии, большой вклад внесли Евклид, Архимед, Аполлоний Перзький.

Центральное место среди них занимают составленные около 300 до н. е. "Начала" Евклида. Эта работа и поныне остается образцовым изложением в духе аксиоматического метода : все положения выводятся логическим путем из небольшого числа явно указанных и не доводимих ​​предположений - аксиом. Геометрия греков, называемая сегодня евклидовой, или элементарным, занималась изучением простых форм: прямых, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических сечений, а также шаров, цилиндров, призм, пирамид и конусов. Вычисляются их площади и объемы. Преобразование в основном ограничивались геометрической сходством.

Средние века немного дали геометрии, и последующей большим событием в ее истории стало открытие Рене Декартом (1596-1650) и Пьером Ферма (1601-1665) в XVII веке координатного метода ("Рассуждение о методе", 1637). Точкам сопоставляются наборы чисел, это позволяет изучать отношения между формами методами алгебры. Так появилась аналитическая геометрия, изучающая фигуры и преобразования, которые в координатах задаются алгебраическими уравнениями. Примерно одновременно с этим Блез Паскаль и Жераром Дезаргом (1591-1661) начато исследование свойств плоских фигур, не меняются при проектировании с одной плоскости на другую. Этот раздел получил название проективной геометрии. Метод координат лежит с развитием математического анализа лег в основу нового подхода, появившийся чуть позже, - дифференциальной геометрии, где фигуры и преобразования все еще ​​задаются в координатах, но уже произвольными достаточно гладкими функциями. Свойства этих фигур изучаются с помощью мощи и гибкости аппарата анализа.

Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений геометрии данные в XVIII - начале XIX века Леонардом Эйлером (1707-1783) для аналитической геометрии (1748), Гаспаром Монжем для дифференциальной геометрии (1795), Жан-Виктором Понселе для проективной геометрии (1822), причем именно учение о геометрическое изображение (в прямой связи с задачами чертежи) было еще раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы ( аксиомы, первоначальные понятия) геометрии оставались неизменными, круг же фигур, изучаемых и их свойств, а также использованных методов расширялся.

XIX века дало два значительных прорывов в развитии науки. Исследования Николая Лобачевского, Яноша Больяи и Карла Гаусса открыли непротиворечивость неевклидовой геометрии, в котором знаменитый пятый постулат Евклида заменен на обратное утверждение. Феликс Клейн связал все виды геометрий, согласно ему геометрия изучает все те свойства фигур, инвариантные относительно преобразований с определенной группы. При этом каждая группа задает свою геометрию. Так, изометрии (движения) задает евклидову геометрию, группа аффинных преобразований - аффинную геометрию, группа проективных преобразований - проективную геометрию, группа конформных преобразований - конформную геометрию т.д..

Двумя выдающимися мастерами исследований в геометрии этого времени были Бернгард Риман, который работал преимущественно с инструментами математического анализа и ввел Римана поверхности, и Анри Пуанкаре, основатель алгебраической топологии и геометрической теории динамических систем.

Следствием этих больших изменений в геометрических взглядах концепция "пространства" стала гораздо богаче и разнообразнее, и превратилась в естественную основу таких различных теорий, как комплексный анализ или классическая механика. Традиционные виды геометрий были признаны общий однородный пространство, такое пространство, который имеет достаточное количество симметрий, так чтобы взгляд из одной или другой точки давал тот же вид.


3. Геометрии


Литература


См.. также


Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам