Гиперкомплексные числа

Гиперкомплексные числа - элементы алгебраических структур, строящихся в результате дальнейшего обобщения понятия о числе после комплексных чисел. Часто во гиперкомплексные системой (т.е. системой, элементы которой считаются гиперкомплексные числами) понимают любую конечномерных алгебру над полем. При этом часто накладывают еще дополнительное условие, чтобы это была алгебра над полем действительных или комплексных чисел; в первом случае говорят о "настоящую" Гиперкомплексные систему, во втором - о "комплексную". Иногда не требуют скинченновимирности. Иногда дополнительно требуют, чтобы система действительных чисел была подалгебра данной системы или чтобы данная система содержала единичный элемент.


1. Типы и примеры гиперкомплексных систем

Согласно распространенного определения кольца, в каждом кольце, а следовательно и в алгебре, подтверждается ассоциативность умножения. Однако иногда говорят о "неасоциативни кольца" и соответственно о "неасоциативни гиперкомплексные системы". Такие системы очень неудобны для изучения и рассматриваются редко. Вместе с тем, отсутствие коммутативности умножения является вполне привычным явлением для гиперкомплексных систем. Таким образом, гиперкомплексные системы бывают коммутативных и некоммутативными. Другой важный вопрос, в зависимости от ответа на который можно разделить гиперкомплексные системы на две категории: имеет данная система делители нуля ? В конечномерном алгебре отсутствие делителей нуля равносильна тому факту, что эта алгебра является телом.

В современном понимании системы действительных и комплексных чисел является частными случаями гиперкомплексные системы, хотя исторически естественно рассматривать такие гиперкомплексные системы, которые являются "сложными" за систему комплексных чисел, в частности, имеют размерность больше 2. Как выяснилось, трехмерные гиперкомплексные системы очень неудобны для изучения, поэтому в первую очередь было построено и изучено определенную 4-мерную гиперкомплексные систему - систему кватернионов. Это пример некоммутативной гиперкомплексные системы без делителей нуля. Несмотря на неудобства, вызванные некомутативнистю, кватернионы во многом похожи на комплексные числа и, видимо, могут быть названы в ближайшие к ним по свойствам и в некоторых смыслах простейшими для изучения из всех собственно гиперкомплексных чисел (здесь и далее слово "собственно" перед прилагательным "гиперкомплексных" означает, что действительные и комплексные объекты исключаются из рассмотрения).

Примеры других из числа самых известных гиперкомплексных систем: двумерные - двойных чисел, дуальных чисел; четырехмерные - бикомплексних чисел, антикватернионив. Из перечисленных в этом абзаце чисел все, кроме антикватернионив, образуют коммутативные системы, но, кроме того, все эти системы имеют делители нуля. Вообще, согласно теореме Фробениуса, все Конечномерные алгебры над полем действительных чисел без делителей нуля исчерпываются тремя примерами (с точностью до изоморфизма): это системы действительных чисел, комплексных чисел и кватернионов.


2. Задание гиперкомплексные системы

Чтобы задать конечномерных гиперкомплексные систему, достаточно перечислить обозначения для элементов некоторого ее базиса и записать, чему равны все попарные произведения этих элементов (а также указать, над которым полем рассматривается эта алгебра). После этого сумма или произведение любых двух элементов системы легко вычисляется с использованием свойств операций кольца и векторного пространства. Например, задавая с такой точки зрения комплексные числа, достаточно сказать, что это алгебра над полем действительных чисел, основание которой состоит из элементов 1 и i \, , Которые удовлетворяют соотношениям:

  • \ 1 ^ 2 = 1,
  • \ 1i = i1 = i,
  • \ I ^ 2 = -1.

Впрочем, если в базис входит 1 (единица), то сведения о них можно не приводить, считая ее стандартным обозначением единичного элемента и даже отождествляя с действительным числом 1 : ее произведение с любой стороны на любой элемент равен этому элементу.


3. История внедрения и исследования

В 1843 году ирландский математик Уильям Гамильтон предложил упомянутую выше систему кватернионов, которая стала исторически первой собственно гиперкомплексные системой. Поиски такой системы были обусловлены тем, что умножения комплексных чисел описывает повороты на плоскости, и возникало желание найти что-то аналогичное для поворотов в трехмерном пространстве. Этот в какой-то мере удалось достичь с помощью кватернионов. Теория кватернионов вскоре стала одним из источников развития таких понятий, как векторный и скалярное произведения векторов.

Сначала изобретение кватернионов и других гиперкомплексных чисел было воспринято как событие, сравнимое по значимости с изобретением комплексных чисел, что побудило математиков к довольно активных исследований в этой области. Особенно ощутимый вклад внес уже упомянутый выше немецкий математик Ф. Г. Фробениус.

Однако довольно быстро интерес к этой тематике спал, потому роль собственно гиперкомплексных чисел оказалась не столь важной, как роль комплексных чисел. Так что дальнейшее развитие в этой области происходило достаточно медленно и эпизодически. Относительно исследований этого периода, можно, например, отметить, что в 1940-х годах выходили статьи канадско - американского математика Ивана Найвен (Ivan Niven, 1915 - 1999), в которых исследовались различные свойства кватернионов, например, по добыче из них корней.

Однако в последнее время наблюдается активизация исследований, связанных с гиперкомплексные числами. Достаточно мощные ячейки такой активности является, например, в Бельгии, Польши, Болгарии, США, Мексике, России. Сторонники таких исследований обращают внимание на то, что некоторые математические утверждения приобретают значительно более простому виду или значительно легче доказываются, если записать их языке действий над кватернионов или другими гиперкомплексные числами. Однако на сегодняшний день очень большое количество и таких математиков, которые считают, что пользы от исследований гиперкомплексных систем немного.


3.1. Украинские исследователи

Прежде всего необходимо вспомнить, что некоторое время этой тематикой занимался Ю. М. Березанский : такая деятельность началась в 1950-х годах под руководством М. Г. Крейна, позже (1982) вышла брошюра Ю. М. Березанского и А. Калюжного "Гиперкомплексные системы с локально компактным базисом", а еще позже (1992) - монография тех же авторов "гармонический анализ в гиперкомплексных системах" . Оба автора - сотрудники отдела функционального анализа Института математики НАНУ, так что исследования происходили с точки зрения функционального анализа. Поэтому эти исследования носили очень абстрактный характер. Рассматриваемые при этом гиперкомплексные системы могли быть бесконечномерными и даже несметно измеримыми. Исследование Березанского нашли свое применение в гармоничному анализе. Абстрактность рассматриваемых при этом гиперкомплексных систем существенно отличает их от всех исследований, о которых говорится ниже.

В Киевском Институте проблем регистрации информации НАН Украины Синьков М.В. и его команда занимаются такими исследованием гиперкомплексных числовых систем (ГЧС), которые позволяют применять эти системы в компьютерной томографии, цифровой фильтрации, криптографии. Последние исследования проводятся в попытке связать упомянутые выше гиперкомплексные системы Березанского и обычные ГЧС.

Другой очаг гиперкомплексных исследований зародился в отделе комплексного анализа и теории потенциала того же Института математики: ныне покойный сотрудник этого отдела И. П. Мельниченко начал исследовать различные гиперкомплексные системы, рассматривая их вопросы, аналогичные тем, которые касались проблематики этого отдела. Эти исследования дали начало развитию в Украина так называемого гиперкомплексные анализа в узком смысле, то есть теории, аналогичной комплексного анализа, но для гиперкомплексных чисел вместо комплексных (как известно, словосочетанием "комплексный анализ" принято обозначать теорию функций комплексной переменной, особенно аналитических функций).

Впоследствии к гиперкомплексные деятельности присоединились еще двое сотрудников Института математики НАНУ: проф. А. Ф. Турбин, основной специальностью которого является теория вероятностей, и С. А. Плакса, работающий в уже упомянутом отделе комплексного анализа и теории потенциала. Отдельного отдела, посвященного гиперкомплексные исследованием, в Институте нету; этой деятельностью там занимаются только упомянутые двое ученых и еще несколько молодых математиков, тяготея при этом в основном к проблематике отдела комплексного анализа и теории потенциала (однако последнее не касается проф. А.Ф. Турбина) .

Другой очаг украинского гиперкомплексных исследований находится в Житомире. История этой ячейки началась около 2000 года благодаря тому, что заведующий кафедрой математического анализа Житомирского государственного университета (ЖДУ) доц. А. Ф. Герус познакомился во время научной конференции по мексиканским математиком, бывшим одесситом проф. М. Шапиро, который занимается самыми разнообразными вопросами, связанными с гиперкомплексных систем (преимущественно кватернионов). Началось сотрудничество двух ученых, и впоследствии А. Ф. Герус начал привлекать к гиперкомплексных исследований некоторых студентов и преподавателей физико - математического факультета ЖДУ. Постепенно образовалась команда житомирских гиперкомплексникив, которая демонстрирует весьма успешную научную работу, в том числе международное сотрудничество. Следует отметить, что приказом ректора ЖДУ в университете было образовано специальное подразделение под названием "Научно-исследовательская лаборатория комплексного и гиперкомплексные анализа".

Современные гиперкомплексные исследования можно разделить на алгебраические и аналитические; последние часто называют гиперкомплексные анализом в широком смысле (т.е. математический анализ, рассматриваемый с задействованием собственно гиперкомплексных чисел). Относительно алгебраических гиперкомплексных исследований, то Украинская исследователи уделяют много внимания вопросам о развязки гиперкомплексных полиномиальных уравнений; также характерны (особенно для проф. А.Ф. Турбина) исследования по конструированию новых гиперкомплексих систем и изучения их основных алгебраических характеристик. Что касается гиперкомплексные анализа, то для Украинская исследователей характерны следующие направления: гиперкомплексные анализ в узком смысле (т.е. теория функций собственно гиперкомплексные переменной с акцентом на вопросы, аналогичные тем, которые возникают при изучении аналитических функций) гиперкомплексные функциональный анализ.


Литература

  • Математический энциклопедический словарь. - Москва, 1988.
  • Математическая энциклопедия. Т. 1. - Москва, 1977.
  • Кантор И.Л., Солодовников А.С. (1973). Гиперкомплексные числа. Москва: Наука. с. 144.
  • Б. А. Розенфельд. Многомерные пространства. - Москва, 1966.

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентное число | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальные числа | Кардинальные числа | P-адичних числа | Последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность