Гомоморфизм

Гомоморфизм (от греч. homos - Одинаковый и греч. morphe - Форма) - это морфизм в категории алгебраических систем.

В терминах универсальной алгебры, это отражение \ Phi: A \ rightarrow B \! , Алгебраической системы A \! в алгебраическую систему B \! того же типа, что сохраняет алгебраическую операцию:

\ Phi (f_A (x_1, \ ldots, x_n)) = f_B (\ phi (x_1), \ ldots, \ phi (x_n)) \!

для каждой n-арной операции f \! и \ Forall x_i \ in A .


1. Базовые примеры

Действительные числа является кольцом, что сложение и умножение. Множество всих2 ? 2 матриц также кольцо над добавлением матриц и умножением матриц. Если мы определим функцию между этим кольцами так:

f (r) = \ begin {pmatrix} r & 0 \ \ 0 & r \ end {pmatrix}

где r действительное число. Тогда ? - гомоморфизм колец, потому ? сохраняет и добавления:

f (r + s) = \ begin {pmatrix} r + s & 0 \ \ 0 & r + s \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} r & 0 \ \ 0 & r \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} s & 0 \ \ 0 & s \ end {pmatrix} = f (r) + f (s)

и умножения:

f (rs) = \ begin {pmatrix} rs & 0 \ \ 0 & rs \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} r & 0 \ \ 0 & r \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} s & 0 \ \ 0 & s \ end {pmatrix} = f (r) \, f (s).

Другой пример, ненулевые комплексные числа образуют группу над умножением, так же как ненулевые вещественные числа. (Ноль надо исключить, потому что он не имеет обратного элемента, который должен быть у элементов группы.) Определим функцию ? с ненулевых комплексных чисел в ненулевые вещественные числа так

f (z) = | z |. \, \!

Где, ? (z) - абсолютное значение (или модуль) комплексного числа z. Тогда ? - гомоморфизм группы, потому что оно сохраняет умножения:

f (z_1 z_2) = | z_1 z_2 | = | z_1 | \, | z_2 | = f (z_1) \, f (z_2).

Заметьте, что ? нельзя распространить на гомоморфизм групп (по комплексным в действительные), поскольку она не сохраняет добавления:

| Z_1 + z_2 | \ ne | z_1 | + | z_2 |.

2. Типы гомоморфизмов

Каждый тип алгебраических структур имеет свой гомоморфизм:

3. Частичные случаи

Вышеуказанные термины используются и в теории категорий, где они определены более общим образом.


4. Ядро и образ гомоморфизма

\ X \ sim y \; \; \ iff \; \; \ phi {(x)} = \ phi {(y)}.

Отношение \ \ Sim называется ядром \ \ Phi.


5. Свойства

  • Множество всех эндоморфизм множества X образует моноид, сказывается End (X).
  • Множество всех автоморфизмов множества X образует группу, сказывается Aut (X).

См.. также

Литература