Надо Знать

добавить знаний



Декартова система координат



План:


Введение

Декартову систему координат (или прямоугольная система координат) впервые предложил известный французский математик Рене Декарт около 1637 г. в работе "Геометрия", одном из приложений к выдающемуся философского произведения "Рассуждение о методе".


1. Двумерная система координат

Точка P имеет координаты (5,2).

Современная Декартова система координат в двух измерениях (также известная под названием прямоугольная система координат) задается двумя осями, расположенными под прямым углом друг к другу. Плоскость, в которой находятся оси, называют иногда xy-плоскости. Горизонтальная ось обозначается как x (ось абсцисс), вертикальная как y (ось ординат). В трехмерном пространстве до двух добавляется третья ось, перпендикулярная xy-плоскости - ось z. Все точки в системе декартовых координат, составляют так называемый Декартов пространство.

Точка пересечения, где оси встречаются, называется началом координат и обозначается как O. Соответственно, ось x может быть обозначена как Ox, а ось y - как Oy. Прямые, проведенные параллельно каждой оси на расстоянии единичного отрезка (единицы измерения длины) начиная с начала координат, формируют координатную сетку.

Точка в двумерной системе координат задается двумя числами, которые определяют расстояние от оси Oy ( абсцисса или х-координата) и от оси Ох ( ордината или y-координата) соответственно. Таким образом, координаты формируют упорядоченную пару ( кортеж) чисел (x, y). В трехмерном пространстве добавляется еще z-координата (расстояние точки от ху-плоскости), и формируется упорядоченная тройка координат (x, y, z).

Выбор букв x, y, z происходит от общего правила наименования неизвестных величин второй половиной латинского алфавита. Буквы первой его половины используются для именования известных величин.

Стрелки на осях отражают то, что они простираются до бесконечности в этом направлении.

Пересечение двух осей создает четыре квадранта на координатной плоскости, которые обозначаются римскими цифрами I, II, III, и IV. Обычно порядок нумерации квадрантов - против часовой стрелки, начиная с правого верхнего (т.е. там, где абсциссы и ординату - положительные числа). Значение, которых приобретают абсциссы и ординаты в каждом квадранте, можно свести в следующую таблицу:

Квадрант x y
I > 0 > 0
II <0 > 0
III <0 <0
IV > 0 <0

2. Трехмерная и n-мерная система координат

На этом рисунке точка P имеет координаты (5,0,2), а точка Q - координаты (-5, -5,10)

Координаты в трехмерном пространстве формируют тройку (x, y, z).

Координаты x, y, z для трехмерной декартовой системы можно понимать как расстояния от точки до соответствующих плоскостей: yz, xz, и xy.

Трехмерная Декартова система координат является очень популярной, так как соответствует привычным представлениям о пространственных измерения - высоту, ширину и длину (то есть три измерения). Но в зависимости от области применения и особенностей матиматичного аппарата, смысл этих трех осей может быть совсем другим.

Системы координат высших размерностей также применяются (например, 4-мерная система для изображения пространства-времени в специальной теории относительности).

Система декартовых координат в абстрактном n-мерном пространстве является обобщением изложенных выше положений и имеет n осей (по каждой на измерение), что является взаимоперпендикулярных. Соответственно, положение точки в таком пространстве будет определяться кортежем из n координат, или n-кой.


3. Ориентация осей

Левая ориентация - слева, правая ориентация - справа.

В трехмерных декартовых координат является неоднозначность: как только направления осей x и в выбран, ось z может то он будет направлена ​​как в одну сторону от xy-плоскости, так и в другую. Это требует специального определения понятия ориентации системы координат. Для трехмерной системы эти две возможности ориентации осей принято называть "левой" и "правой". Системы координат при этом называют "левой" и "правой" соответственно. Они изображены на следующем рисунке.

Общепринятой считается "права" ориентация, хотя левая тоже применяется.


4. Дополнительная информация

Со времен Декарта было разработано много других систем координат. Один из важных разновидностей полярной системе координат, а именно сферическую систему координат применяют в астрономии и навигации. В математике нередко переходят от одной системы координат к другой, в которой математическая модель исследуемой системы может быть намного проще. Доступное изложение основных систем координат в элементарной математике можно найти в статье Системы координат в элементарной математике.


См.. также


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам