Динамическая система

Фазовая диаграмма аттрактора Лоренца - популярный пример нелинейного динамичный системы. Подобные системы изучает теория хаоса.

Динамическая система - математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих со временем. Примером могут служить механические системы (движущиеся группы тел) или физические процессы.


1. Основные понятия

Реальным физическим системам, моделируемых математическим понятием "динамической системы", приписывается важное свойство детерминированности: зная состояние системы в начальный момент времени, мы можем однозначно предсказать всю ее дальнейшее поведение. Фазовым пространством динамической системы называется множество всех ее возможных состояний в фиксированный момент времени. Обычное состояние системы задается некоторым набором чисел (фазовых координат) и является областью в многомерном пространстве или Многообразие. Эволюция системы представляется как движение точки фазового пространства. Кривая, описываемая этой точкой называется фазовой кривой или фазовой траекторией.

В качестве примера рассмотрим механическую систему, состоящую из веса (материальной точки), движущегося по неподвижному стержню. Допустим, что трение и внешние силы отсутствуют. Положение веса задается одним действительным числом - ее координатой в некоторой фиксированной системе отсчета. Однако знание одной только координаты не задает полностью состояние динамической системы, поскольку не позволяет предсказать ее поведение в будущем. С другой стороны, зная координату и скорость в начальный момент времени, мы можем это сделать, вспомнив второй закон Ньютона (в данном случае скорость постоянна). Говорят, что фазовое пространство такой системы двумерный. Если бы грузов было два, состояние системы описывалось бы четырьмя числами (две координаты и две скорости) и система должна четырехмерное фазовое пространство. Важно отметить, что каждая точка фазового пространства задает состояние всей системы.


2. Способы задания динамических систем

Для задания динамической системы необходимо описать ее фазовое пространство X, множество моментов времени T и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени T может быть как интервалом действительной прямой (тогда говорят, что время непрерывный), так и множеством целых или натуральных чисел (дискретное время). Во втором случае "движение" точки фазового пространства больше напоминает мгновенные "скачки" из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто упорядоченной множеством точек. Однако, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.


2.1. Фазовые потоки

Пусть фазовое пространство X является многомерным пространством или областью в нем, а время непрерывно. Предположим, что нам известно, с какой скоростью движется каждая точка x фазового пространства. Другими словами, известная вектор-функция скорости v (x). Тогда траектория точки x_0 \ in X будет решением автономного дифференциального уравнения \ Frac {dx} {dt} = v (x) с начальным условием x (0) = x_0 . Заданная таким образом динамическая система называется фазовым потоком для автономного дифференциального уравнения.


2.2. Каскады

Пусть X - произвольное множество, и f \ colon X \ to X - Некоторое отображение множества X на себя. Рассмотрим итерации этого отображения, т.е. результаты его многократного применения к точкам фазового пространства. Они задают динамическую систему с фазовым пространством X и множеством моментов времени T = \ mathbb N . Действительно, считать, что произвольная точка x_0 \ in X за время 1 переходит в точку x_1 = f (x_0) \ in X . Тогда за время 2 эта точка перейдет в точку x_2 = f (x_1) = f (f (x_0)) и так далее.

Если отображение f обратимое, можно определить и обратные итерации: x_ {-1} = f ^ {-1} (x_0) , x_ {-2} = f ^ {-1} (f ^ {-1} (x_0)) и так далее. Тем самым получаем систему с множеством моментов времени T = \ mathbb Z .


2.3. Примеры

  • Система дифференциальных уравнений

\ Begin {cases} \ frac {dx} {dt} = v \ \ \ frac {dv} {dt} =-kx \ end {cases}

задает динамическую систему с непрерывным временем, что называется "Гармоничным осциллятором". Ее фазовым пространством является плоскость (x, v), где v - скорость точки x. Гармоничный осциллятор моделирует различные колебательные процессы - например, поведение веса на пружине. Его фазовыми кривыми является эллипсы с центром в нуле.

  • Пусть \ Varphi - Угол, задающий положение точки на единичной окружности. Отображение удвоение f (\ varphi) = 2 \ varphi \ pmod {2 \ pi} задает динамическую систему с дискретным временем, фазовым пространством которой является круг.

3. Вопросы теории динамических систем

Имея какую-то задачу динамической системы, далеко не всегда можно найти и описать ее траектории в явном виде. Поэтому обычно рассматриваются простые (но не менее содержательные) вопрос об общем поведение системы. Например:

  • Есть ли у системы замкнутые фазовые кривые, т.е. может ли она вернуться в исходное состояние в ходе эволюции?
  • Как устроен аттрактор системы, т.е. множество в фазовом пространстве, к которому стремятся "большинство" траекторий?
  • Как ведут себя траектории, выпущенные из близких точек, - остаются ли они близкими или идут со временем на значительное расстояние?
  • Что можно сказать о поведении "типовой" динамической системы из некоторого класса?
  • Что можно сказать о поведении динамических систем, "близких" к данной?

См.. также

Литература

  • Анищенко В. С., Знакомство с нелинейной динамикой. 2008. (Рус.)
п ? в ? р Системологии
Теория систем
Системы
Открытая система ? Сложная система ? Система органов ? Социальная система ? Экосистема ? Живая система ? Динамическая система ? Сложная адаптивная система ? Системы поддержки решений ? Автоматизированная система управления ? Экономическая система ? Система уравнений ? Информационная система ? Система права ? Правовая система ? Международная система СИ ? Многоагентная система ? Системы органов человека ? Операционная система ? Физическая система ? Солнечная система ? Техническая система ? Экспертная система ? Система управления ? Социотехнические системы ? Система органического мира ? Модель жизнеспособной системы
Исследования
и использования
Исследователи
Людвиг фон Берталанфи ? Алан Тьюринг ? В.М.Глушков ? Б. Ш. Флейшман ? Норберт Винер ? Джордж Данциг ? Хайнц фон Ферстер ? Эдвард Лоренц ? Джордж Клир ? Джей Форрестер ? Маргарет Мид ? Никлас Луман ? Михаил Месарович ? Говард Одум ? Толкотт Парсонс ? И. Пригожин ? А. Рапапорт ? Франциско Варела ? Кевин Варвик ? Энтони Вильден