Дискретная математика

Дискретная математика - область математики, изучающий свойства дискретных структур. К таким структурам могут быть отнесены конечные группы, конечные графы, а также некоторые математические модели преобразователей информации, конечные автоматы, машины Тьюринга и так далее. Это примеры структур конечного характера. Раздел дискретной математики, изучающий их, называется конечной математикой. Иногда само это понятие расширяют до дискретной математики. Кроме указанных конечных структур, дискретная математика изучает некоторые системы алгебры, бесконечные графы, вычислительные схемы определенного вида, клеточные автоматы и т. д. Как синоним иногда употребляется термин "дискретный анализ".


1. История дискретной математики

Многие исследования в теории графов мотивировали попытки доказать, что все карты, подобно этому другу, могли быть цветными только с четырьмя цветами. Kenneth Appel и Wolfgang Haken окончательно доказали это в 1976. [1]

История дискретной математики связана с решением сложных проблем, сосредоточены на рогляди областей в пределах площади. В теории графов, много исследований было вызвано попытками доказать четыре теоремы цвета, впервые сформулированную в 1852 году, но не доведено до 1976 (Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен - доказали используя существенную помощь компьютера).

В логике, вторая проблема, список Давида Гильберта об открытых проблемы, который был представлен в 1900 году, в нем говорилось о доказательстве, что арифметические аксиомы последовательны. Вторая теорема Геделя о о неполноте формализованной арифметики, установленной в 1931 году, показало, что это было невозможно - по крайней мере, как минимум не в пределах арифметичнои последовательности. Десятая проблема Гильберта должна была определить, имеет ли данное диофантова уравнения многочлена цели коэффициентами i целые решения. В 1970 году Юрий Матиясевич доказал, что этого не могло быть.

Необходимость разбить немецкие коды Второй мировой войны привело к достижениям в области криптографияи и теоретической информатики, с первой запрограммированной цифровой электронной вычислительной машины разработаны в Англии Блетчли-Парк. В то же время, военные требования мотивировали достижения в области исследования операций. Холодная война означала, что криптография оставалась важной наукой, с фундаментальными достижениями, такие как шифрование с открытым ключом, которые разрабатываются в следующих десятилетиях. Исследование операций остаются важными в качестве инструмента управления бизнесом и проектами, метод критического пути, который разрабатывался в 1950-х годах. Телекоммуникационная отрасль также мотивировала прогресс в дискретной математике, особенно в теории графов и теории информации. Формальная проверка утверждений в логике была необходима для разработки критических для безопасности систем, и продвигается в автоматизированной теореме, что доказывает, управлялись этой потребностью.

Вычислительная геометрия была важной частью компьютерной графики включенной в современные видеоигры и автоматизированного проектирования инструментов. Несколько областей дискретной математики, особенно, теоретическая информатика, теория графов и комбинаторика, играют важную роль в решении сложных биоинформатичних проблемы, связанные с пониманием древо жизни. [6]

В настоящее время одним из наиболее известных открытых проблем в теоретической информатике есть P = NP проблема, которая включает в себя отношения между классами сложности P и NP. Математический институт Clay предложил $ 1 млн. USD приз за первое правильный доказательство, наряду с призами для шести других математических проблем. [7]


2. Теоретическая информатика

Сложность изучает время, взятое алгоритмами, как например этот сортировочный шаблон ..

Теоретическая информатика включает в себя области дискретной математики, имеющие отношение к вычислениям. В значительной степени это опирается на теорию графов и логики. Включается в пределах теоретической информатики - изучение алгоритмов для вычисления математических результатов. Исчисляемости изучают, что может быть вычислено в принципе, и имеют близкие связи с логикой, пока сложность изучает время, взятое вычислениями. Теория автоматов и теория формального языка близко связаны с исчисляемости. Сети Петри и алгебры процесса тушенные, чтобы моделировать вычислительные системы и методы от дискретной математики тушенные в анализе электронных кругооборотов VLSI. Вычислительная геометрия применяет алгоритмы к геометрических проблем, пока анализ компьютерного изображения применяет их представлениям изображений. Теоретическая информатика также включает изучение различных непрерывных вычислительных тем.


3. Теория информации

Теория информации - это раздел кибернетики, в котором с помощью математических методов изучаются способы измерения информации и методы ее кодирования с целью сжатия и надежной передачи по каналам связи. При формальном представлении знаний каждому изучаемому объекту ставится в соответствие числовой код, связи между объектами так же даются кодами. Для перевода неформальных данных в формальный цифровой вид используются специальные таблицы кодировки. Простейший пример такой таблицы - ASCII (American Standard Code for Information Interchange), который сопоставляет печатным и управляющим символам числа от 0 до 127. Информация может быть двух видов: дискретная (цифровая) и непрерывная (аналоговая). Непрерывная информация - это данные, полученные при непрерывном по времени процессе изменения некоторой случайной величины и описываются непрерывными (аналоговыми) функциями. Дискретная информация - это цифровые данные, полученные в результате квантования (дискретизации) непрерывной величины по времени, уровню или тем и другим одновременно. Дискретную информацию хранить и обрабатывать гораздо проще, поскольку она представляет собой последовательность чисел. В двоичной системе счисления дискретная информация представляет собой последовательность 0 и 1.


4. Логика

Коды ASCII

Математическая логика (теоретическая логика, символическая логика) - раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. "Предмет современной математической логики разнообразный." [1] Согласно определению П. С. Порецкого, ?математическая логика есть логика по предмету, математика по методу". Согласно определению Н. И. Кондакова, ?математическая логика - вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющей математические методы и специальный аппарат символов и исследует мышление с помощью исчислений (формализованных языков)." [2] Это определение соответствует определению С. К. Клини : математическая логика - это ?логика, развивающаяся посредством математических методов". [3] Также А. А. Марков определяет современную логику "точной наукой, применяющей математические методы". [4] Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяют считать одни формулы верными, а другие - нет.

Важную роль в математической логике имеют понятия дедуктивной теории и вычисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выведенными. Правила вывода делятся на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выведены. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы A , Синтаксически связанные некоторым заранее определенным способом с конечными наборами A_1 ... A_n выведенных формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выведены формулы A_i (A \ to B) , То выводится и формула B .

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Вычисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выведена в И формула языка Я верной. Аналогично, вычисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выведена в И.

Математическая логика изучает логические связи и отношения лежат в основе логического (дедуктивного) вывода с использованием языка математики.

Многие из рассмотренных в математической логике языков имеют семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известный результат К. Геделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, есть немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Геделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языка программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.


5. Теория множеств

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и элемент множества. Элемент множества находится относительно множества в отношении быть элементом множества (обозначается как x \ in A [2] - "x есть элемент множества A"). Среди производных понятий важными являются следующие:

  • пустое множество - множество, не содержит элементов, обозначается обычно \ Varnothing ;
  • подмножество и надмножина - множество, состоящее только из элементов другой множества, и множество, к которой принадлежат все элементы другого множества, соответственно;
  • семейство множеств;
  • пространство (универсум) - множество, есть надмножиною всех множеств;
  • конституента.

Над множествами определены следующие операции :

Для множеств определены следующие бинарные отношения :


6. Комбинаторика

Комбинаторика (комбинаторный анализ) - раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечной, множества соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому целью комбинаторного анализа стоит исследования комбинаторных конфигураций, алгоритмы их построения, оптимизация таких алгоритмов, а также решение задач перечня.

Простейшими примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения, комбинация и разбиения.

Комбинаторика связана со многими другими разделами математики.

Термин "комбинаторика" ввел Лейбниц, в 1666 году опубликовал свой труд ?Рассуждение о комбинаторное искусство".

Иногда под комбинаторикой понимают более широкий раздел дискретной математики, включая теорию графов.


6.1. Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

Размещением с n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n -Элементного множества.

Перестановкой с n элементов (например чисел 1,2, ..., n ) Называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением с n элементов по n .

Сочетанием с n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.


Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.

Разбивкой числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примерами комбинаторных задач являются:

Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящиках так, чтобы выполнялись заданные ограничения? Сколько существует функций F с m -Элементного множества в n -Элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям? Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт? Ответ: 52! ( 52 факториал), т.е. 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 или примерно 8,0658 ? 10 67. При игре в кости бросаются две кости, и выпали очки складываются; сколько существует комбинаций, таких, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати? Решение: Каждый возможный результат соответствует функции (Аргумент функции - это номер кости, значение - очки на верхней грани). Очевидно, что только 6 +6 дает нам нужен результат 12 . Таким образом, существует лишь одна функция, которая ставит в соответствие 1 число 6 , И 2 число 6 . Или, другими словами, существует только одна комбинация, такая, что сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.


7. Теория графов

Граф с шестью вершинами и семью ребрами

Теория графов "- раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В общем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединенных ребрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств G = (V, E), где V есть подмножество любого счетного множества, а E - подмножество V V.

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или проектируемые здания, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. - как ребра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут.

Теория графов содержит большое количество нерешенных проблем и пока не доказанных гипотез:


1) История возникновения теории графов

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи Кенигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

2) Терминология теории графов

Терминология теории графов поныне не определена строго. В частности, в монографии Гудман, Хидетниеми, 1981 сказано: "В программистской мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов" граф "или" сеть ". Мы выбрали термин" сеть ", так как он, пожалуй, чаще встречается в прикладных областях". Аналогичная ситуация для "вершина / точка"


3) Изображение графов на плоскости

При изображении графов чаще всего используется следующая система обозначений: каждой вершине сопоставляется точка на плоскости, и если между вершинами существует ребро, то соответствующие точки соединяются отрезком. В случае ориентированного графа отрезки заменяют стрелками.

Не следует путать изображение графа с собственно графом (абстрактной структурой), поскольку одному графу можно сопоставить одно графическое представление. Изображение призвано лишь показать, какие пары вершин соединены ребрами, а какие - нет. Часто на практике бывает трудно ответить на вопрос, есть два изображения моделями одного и того же графа или нет. В зависимости от задачи, одни изображения могут давать более наглядную картину, чем другие.


8. Вероятности

Вероятность ( лат. probabilitas , англ. probability ) - Числовая характеристика возможности того, что случайное событие пройдет в условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное количество раз. Вероятность является основным понятием раздела математики, который называется теория вероятностей.

Случайным событием называется событие, результат которого не может быть известен заранее. Даже в том случае, когда на самом деле событие детерминирована своими предпосылками, влияние этих предпосылок может быть настолько сложным, что вывести из них следствие логично и последовательно, невозможно. Например, при пидкидуванни монеты, сторона на которую монета упадет определяется положением руки и монеты в руке, скоростью, крутящим моментом и т.д., однако отследить все эти факторы невозможно, поэтому результат можно считать случайным.

Существуют два подхода к определению вероятности: математико-аксиоматический и Байеса. Аксиоматический подход, строго сформулирован Колмогоровым, строится на предположении, что вероятности элементарных случайных событий заданы, и сосредоточивается на определении вероятностей сложных событий, является совокупностью элементарных. Так, например, при пидкидуванни шестигранного кубика игорной кости, вероятности выпадения любого числа, считаются одинаковыми и равными 1/6. Исходя из этой аксиомы, теория вероятности может рассчитать вероятность того, что сумма чисел на двух костях будет, например, 8.

Байеса подход не делает предположений о вероятности элементарных событий, а пытается получить их из анализа предыдущего опыта, опираясь на теорему Байеса и на предыдущие гипотезы. Байеса подход ближе к тому, как определяются вероятности случайных событий в естествознании. Поскольку эти вероятности заранее неизвестны, результаты серии опытов разбиваются на благоприятные и неблагоприятные, и экспериментально определена вероятность равна отношению числа благоприятных событий в число опытов, т.е. частоте событий.

В дальнейшем в этой статье используется аксиоматический математический подход.


9. Определение

Пусть Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n} - пространство элементарных событий. Предположим, что каждому элементарной события ω k можно поставить в соответствие неотрицательное число p k (вероятность события ω k), причем \ Sum_ {k = 1} ^ n p_k = 1 .

Если A \, - случайное событие и A \ subset \ Omega , То

p (A) = \ sum_ {\ omega_k \ in A} p_k ,

где p (A) \, называется вероятностью события A \, .


10. Определение терминов

  • Условная вероятность P_A (B) - Вероятность события B, рассчитанная в предположении, что событие А уже произошло
  • Несовместимые события - две случайные события, если они не могут произойти одновременно. Если события А и В несовместны, то A \ cap B = \ empty
  • Полная группа событий - система случайных событий такова, что в результате проведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.

11. Свойства

  • Вероятность достоверного события равна 1.
  • Вероятность невозможного события равна 0.
  • Вероятность случайной величины является положительным числом, что находится между нулем и единицей
0 \ le P (A) \ le 1

12. Теория чисел

Теория чисел или выше арифметика - раздел математики, изучающий целые числа и подобные объекты. Зависимости от используемых методов теорию чисел подразделяют на несколько пидтеорий.

1) Элементарная теория чисел В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Такие вопросы, как делимость целых чисел, алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, разложение числа на простые множители, построение магических квадратов, совершенные числа, числа Фибоначчи, малая теорема Ферма, теорема Эйлера, задача о четырех кубах относятся к этому раздела.

2) Аналитическая теория чисел В аналитической теории чисел для вывода и доказательства утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат математического анализа. Большую роль в аналитической теории чисел играет метод тригонометрических сумм, что позволяет оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах. Основы метода тригонометрических сумм разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов. Первым успехом аналитической теории чисел было применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел. Наиболее известной до сих пор не решенной проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нуле дзета-функции, которая утверждает, что все нетривиальные корни уравнения ζ (s) = 0 лежат на так называемой критической прямой, где Re1 / 2 ζ (s) - дзета-функция Римана.

3) Алгебраическая теория чисел В алгебраической теории чисел понятия числа расширяется, как алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают цели алгебраические числа, т.е. корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториального, т.е. единственности разложения на простые множители. Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как теорию дивизоров, теорию Галуа, теорию полей классов, дзета-и L-функции Дирихле, когомологий групп и многое другое. Одним из основных приемов является вложение поля алгебраических чисел своего пополнения в какой-то из метрик - архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).


13. Алгебра

Алгебраические структуры происходят как дискретные примеры, так и непрерывные примеры. Дискретная алгебры включают в себя: Булева алгебра используется в логических вентилей и программирование; реляционной алгебры, используемые в базах данных дискретной и конечной версии группы, кольца и поля играют важную роль в алгебраической теории кодирования; дискретных полугрупп и моноидов появляются в теории формальных языков.

14. Дискретный анализ

Дискретный анализ - это совокупность математических дисциплин, которые могут изучаться и развиваться как самостоятельные, независимые теории (хотя в любом случае эти дисциплины являются взаимопроникающих и тесно переплетаются даже при отдельном изучении каждой из них). Несмотря на это, их объединяет исследования явлений, имеют дискретный характер, или таких, которые могут быть приведены к дискретного вида для упрощения вычислений без потери актуальности и надлежащей степени точности. Необходимость изучения дискретного анализа становится более понятной, если учесть, что практически все социально-экономические процессы являются дискретными. Даже если такой процесс развивается непрерывно, то информация попадает к исследователю дискретно. В данном курсе рассматриваются следующие дисциплины: теория множеств, математическая логика, комбинаторный анализ, теория графов, теория нечетких подмножеств и численные методы. 'Вычисление конечных разностей.' - Конечной разницей функции от одной или нескольких переменных называется приращение функции при данных конечных приросты переменных независимых . Во И. конечных разностей понимают совокупность правил: 1) для определения изменений, которым подвергаются функции при конечных приросты входящих в них переменных, и 2) для определения первоначальных функций, когда изменены их виды известны (прямой и обратный способы). При первом появлении дифференциального исчисления приращение переменных рассматривались как бесконечно малые величины, вторыми и высшими степенями которых пренебрегали, в результате чего у многих из математиков появилось сомнение в строгости самого способа и верности результатов, получаемых дифференциальным исчислением. Чтобы доказать справедливость нового способа, английский математик Тейлор, в своем сочинении "Methodus incrementorum Directa и др. Inversa", изданном в 1715 году, предложил способ И. конечных разностей, в котором приращение переменных рассматривались как конечные величины, высшими степенями которых уже нельзя пренебрегать . Однако И. конечных разностей, представляющей по сути И. рядов, имеет, как заметил Лагранж, мало общего с дифференциальным исчислением, предмет которого является вычисление производных функций. Первые следы И. конечных разностей видно в некоторых приемах Фермата, Баррова и Лейбница, но основателем способа, как самостоятельного вычисления, следует считать Тейлора. Позже тем исследователями были Николь, Кондорсе, Эмерсон, Эйлер, Лагранж и Лаплас. Они усовершенствовали эту важную отрасль чистого анализа и показали различные ее приложения к интерполяции и суммирования рядов, теории соединений и особенно теории вероятностей.


15. Геометрия

Вычислительная геометрия

Вычислительная геометрия ( англ. computational geometry ) - Область компьютерных наук посвящена изучению алгоритмов что описуюються в терминах геометрии.

Основным стимулом развития вычислительной геометрии как дисциплины был прогресс в компьютерной графике и системах автоматизированного проектирования и автоматизированных систем технологической подготовки производства, однако многие задачи вычислительной геометрии являются классическими по своей природе, и могут появляться при математической визуализации.

Другим важным применением вычислительной геометрии является робототехника (планирование движения и задачи распознавания образов), геоинформационные системы (геометрический поиск, планирование маршрута), дизайн микросхем, программирования станков с числовым программным управлением.

Основными разделами вычислительной геометрии являются:

  • 1) Комбинаторная вычислительная геометрия, или также названа алгоритмическая геометрия, которая рассматривает геометрические объекты как дискретные сущности.
  • 2) Численное вычислительная геометрия, также названа машинная геометрия или геометрическое моделирование, которое имеет дело в основном с представлением объектов реального мира в форме, пригодной для дальнейшей компьютерной обработки.

16. Топология

Хотя топологии область математики, формализует и обобщает интуитивное понятие "непрерывного деформации" объектов, она дает начало многим дискретным темам, это может быть приписано частности в центр на топологических инвариантах, непосредственно обычно берут дискретные значения. Посмотрите: комбинаторная топология, топологическая теория графов, топологическая комбинаторика, вычислительная топология, дискретный топологическое пространство, ограниченное топологическое пространство, топология (химия).


17. Исследование операций

Исследование операций (ДО) - это дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения оптимальных решений на основе математического моделирования в различных областях человеческой деятельности. К тесно связано с системным анализом, математическим программированием, теорией оптимальных решений.

К - применение математических, количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. К начинается тогда, когда для обоснования решений используется тот или иной математический аппарат. [3]


18. Теория игр, теория решений, теория полезности, теория общественного выбора

Теория игр

Теория игр - раздел прикладной математики, который используется в социальных науках (всего в экономике), биологии, политических науках, компьютерных науках (главным образом для искусственного интеллекта) и философии. Теория игр пытается математически зафиксировать поведение в стратегических ситуациях, в которых успех субъекта, делающего выбор зависит от выбора других участников.

Математический аппарат Теория игр широко использует различные математические методы и результаты теории вероятностей, классического анализа, функционального анализа (особенно важны теоремы о неподвижные точки), комбинаторной топологии, теории Недавно и интегральных уравнений, и другие. Специфика теории игр способствует разработке разнообразных математических направлений (например, теория выпуклых множеств, линейное программирование, и т.д.).


Теория решений

Теория решений - область исследований, математическими методами исследует закономерности выбора людьми выгодных из возможных альтернатив и имеет применение в экономике, менеджменте, когнитивной психологии, информатике и вычислительной технике.

Различают нормативную теорию, которая описывает рациональный процесс выбора и дескриптивная теорию, что касается практики виришування.

Основные положения

Теория решений базируется на шести аксиомах. Лотереей называется игра с двумя выходами: х с вероятностью р и выходом в с вероятностью 1 - р; символьный запись лотереи: ~ (X, p, y) .

Аксиома 1. Выходы х, у, z принадлежат множестве выходов.

Аксиома 2. Пусть ~ R означает отношение нестрогой преимущества, а ~ I - Отношение равнодушия (эквивалентности). Выполняются два условия:

1) связности: xRy \ cup yRx ;

2) транзитивности: с xRy \ cap yRz следует ~ XRz .

Аксиома 3. Лотереи ~ ((X, p, y) q, y) и ~ (X, pq, y) находятся в отношении равнодушия.

Аксиома 4. Если ~ XIy , То ~ (X, p, z) I (y, p, z) .


18.3. Теория полезности

Теория полезности - составная часть экономической теории, которая стремится объяснить экономическое поведение рационального индивида через использование понятий "Полезность" и "Максимизация полезности".

18.4. Теория общественного выбора

Теория общественного выбора - один из разделов экономики, изучающая различные способы и методы, с помощью которых люди используют правительственные учреждения в своих собственных интересах.

19. Дискретизация

Иллюстрация дискретизации сигнала. Непрерывная функция нарисована зеленым цветом, а дискретная последовательность - голубым.

Дискретизация - преобразование функций непрерывных переменных в функции дискретных переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Роль отсчетов выполняют квантованные значения функций. Во квантованием понимают преобразование непрерывной по значениям величины в величину с дискретной шкале значений с конечного множества разрешенных, которые называют уровнями квантования. Если уровни квантования нумерованные, то результатом преобразования является число, которое может быть выражено в любой системе счисления.



20. Дискретные аналоги непрерывной математики

Есть много концепций в непрерывной математики, которые имеют дискретные версии, таких как дискретные вычисления, дискретный распределение вероятности, дискретные преобразования, дискретная геометрия, дискретные логарифмы, Дискрет дифференциальная геометрия, дискретное внешнее вычисления, дискретные динамические системы, и дискретных векторных мер.

Примечания

  1. Wilson, Robin Four Colors Suffice. - Penguin Books, 2002. ISBN 0-691-11533-8.
  2. Символ \ In (От греч. εστι - "Быть") введен итальянским математиком Джузеппе Пеано.
  3. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.