Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия - это математическая дисциплина которая применяет методы математического анализа для изучения гладких кривых, поверхностей и, в самом общем виде, их n-мерных аналогов, которые называются многообразия. К почвенным понятий дифференциальной геометрии относятся касательная прямая и плоскость, длина, площадь, а также кривизна линий и поверхностей.


1. Координаты

Можно рассматривать Многообразие размерности n извне, как подмножество в евклидовом пространстве большей размерности N . Зададим декартову систему координат x ^ 1 , x ^ 2 , ... x ^ N в охватывающий евклидовом пространстве, а сам Многообразие параметризуемо переменными u ^ 1 , u ^ 1 , ... u ^ n . На примере таких многообразия как круг или сфера, видим, что не всегда можно выбрать такую ​​параметризацию, чтобы взаимно однозначно покрыть ею весь Многообразие. Для единичного круга на плоскости имеем:

x ^ 1 = \ cos \, u
x ^ 2 = \ sin \, u

и при увеличении u на 2 \ pi мы повторно параметризуемо ту же точку многообразия.

Эту проблему можно обойти, разбив Многообразие на куски частично перекрываются подобно атласа карт Земли. В каждом из кусков вводим свою параметризацию (которую будем также называть системой координат). В областях, перекрывающихся мы одновременно две или более систем координат. Основным требованием к формулам дифференциальной геометрии является их инвариантность относительно замены координат на многообразия.

Обозначим радиус-вектор в охватывающий пространстве : \ Mathbf {r} = \ {x ^ 1, x ^ 2, ... x ^ N \}
Для точек многообразия этот радиус-вектор зависит от локальных параметров: \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (u ^ 1, u ^ 2, ... u ^ n)

Производные радиус-вектора по параметрам: \ Mathbf {r} _i = {{\ partial \ mathbf {r}} \ over {\ partial u ^ i}} образуют базис в аффинном пространстве, касательном к многообразия в данной точке. При переходе к другой параметризации \ Hat u ^ i (Изменения локальной системы координат), есть новый базис, который выражается через старый за тензорными правилами:

(1) \ qquad \ hat \ mathbf {r} _i = {{\ partial u ^ j} \ over {\ partial \ hat u_i}} \ mathbf {r} _j

В этой формуле и в дальнейшем по одинаковым индексам, один из которых находится вверху, а второй внизу, проводится добавления (правило Эйнштейна, этот процесс называется сверткой по индексам).


2. Метрический тензор

Найдем квадрат расстояния ds между двумя близкими точками многообразия:

(2) \ qquad ds ^ 2 = (d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r}) = (\ mathbf {r} _i \ cdot \ mathbf {r} _j) du ^ i du ^ j = g_ {ij} du ^ i du ^ j

Величины g_ {ij} = (\ mathbf {r} _i \ cdot \ mathbf {r} _j) называются компонентами метрического тензора (с нижними индексами). Совокупность этих величин можно рассматривать как матрицу с детерминантом g = \ det (g_ {ij}) . Матрица g_ {ij} симметричная и невырожденная, и g \ ne 0 во всех точках многообразия. Обратная матрица к метрического тензора сказывается той же буквой g ^ {ij} , Но с верхними индексами. Из свойств обратных матриц имеем такие равенства:

(3) \ qquad g_ {ik} g ^ {kj} = \ delta_i ^ j
(3a) \ qquad {{\ partial g} \ over {\ partial g_ {ij}}} = g \, g ^ {ij}

Сам метрический тензор и все величины, которые выражаются через его компоненты и их производные, относятся к внутренней геометрии многообразия, ибо для их определения не нужно выходить в охватывающий евклидово пространство. С помощью метрического тензора можно поднимать и опускать индексы векторов и тензоров. Например, можно ввести дуальный базис в касательном аффинном пространстве:

(4) \ qquad \ mathbf {r} ^ i = g ^ {ik} \ mathbf {r} _k

Для скалярных произведений векторов основного и дуального базисов имеем:

(5) \ qquad (\ mathbf {r} ^ i \ cdot \ mathbf {r} _j) = g ^ {ik} (\ mathbf {r} _k \ cdot \ mathbf {r} _j) = g ^ {ik} g_ {kj} = \ delta_j ^ i

Можно розлядаты произвольный касательный к многообразия вектор \ Mathbf {a} и разложить его по базису \ Mathbf {r} _i и по дуальным базисом \ Mathbf {r} ^ i :

(5) \ qquad \ mathbf {a} = a ^ i \ mathbf {r} _i = a_i \ mathbf {r} ^ i

Коэффициенты a_i = (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {r} _i) называются ковариантными координатами вектора, потому что они при изменении системы координат изменяются аналогично базисных векторов в формуле (1):

(6) \ qquad \ hat a_i = {{\ partial u ^ j} \ over {\ partial \ hat u_i}} a_j

Аналогичные коэффициенты a ^ i называются контравариантнимы координатами вектора, потому что они превращаются через обратную матрицу перехода, аналогично векторам \ Mathbf {r} ^ i дуального базиса:

(7) \ qquad \ hat a ^ i = {{\ partial \ hat u ^ i} \ over {\ partial u_j}} a ^ j

3. Символы Кристофеля

Информацию о кривизну многообразия может быть получена из вторых производных радиус-вектора, поскольку при переходе к соседней точки касательные векторы \ Mathbf {r} _i кривого многообразия возвращаются вместе с поворотом касательной аффинной пространства. Разложим вектор охватывающего пространства \ Mathbf {r} _ {ij} на две части, параллельную и ортогональную к многообразия:

(8) \ qquad \ mathbf {r} _ {ij} = {{\ partial ^ 2 \ mathbf {r}} \ over {\ partial u ^ i \ partial u ^ j}} = \ Gamma_ {ij} ^ k \ mathbf {r} _k + \ mathbf {b} _ {ij}

В этой формуле параллельная часть разложена по базису \ Mathbf {r} _i . Коэффициенты разложения \ Gamma_ {ij} ^ k называются символами Кристофеля. Из симметрии второй производной следует, что как символы Кристофеля \ Gamma_ {ij} ^ k так и векторы \ Mathbf {b} _ {ij} симметричные по индексам i, j:

(9) \ qquad \ Gamma_ {ij} ^ k = \ Gamma_ {ji} ^ k
(9a) \ qquad \ mathbf {b} _ {ij} = \ mathbf {b} _ {ji}

Можно найти символы Кристофеля, рассматривая производные от компонентов метрического тензора:

(10) \ qquad g_ {ij, k} = {{\ partial g_ {ij}} \ over {\ partial u ^ k}} = {\ partial \ over {\ partial u ^ k}} (\ mathbf {r } _i \ cdot \ mathbf {r} _j)) = (\ mathbf {r} _ {ik} \ cdot \ mathbf {r} _j) + (\ mathbf {r} _i \ cdot \ mathbf {r} _ {jk }) = \ Gamma_ {ik, j} + \ Gamma_ {jk, i}

В последней формуле введено обозначение символов Кристофеля с опущенными верхними индескамы:

(11) \ qquad \ Gamma_ {ik, j} = (\ mathbf {r} _ {ik} \ cdot \ mathbf {r} _j) = ((\ Gamma_ {ik} ^ s \ mathbf {r} _s + \ mathbf {b} _ {ik}) \ cdot \ mathbf {r} _j) = \ Gamma_ {ik} ^ s (\ mathbf {r} _s \ cdot \ mathbf {r} _j) = g_ {js} \ Gamma_ { ik} ^ s

Из формулы (10) можно найти символы Кристофеля через производные метрического тензора. Для этого запишем формулу (10) еще дважды, переставляя сначала индексы ik а затем jk :

(10a) \ qquad g_ {kj, i} = \ Gamma_ {ki, j} + \ Gamma_ {ji, k}
(10b) \ qquad g_ {ik, j} = \ Gamma_ {ij, k} + \ Gamma_ {kj, i}

Добавляя (10a) i (10b), и вычитая (10) с учетом симметрии символов Кристофеля по первым двум индексам, получаем:

(12) \ qquad \ Gamma_ {ij, k} = {1 \ over 2} (g_ {jk, i} + g_ {ik, j} - g_ {ij, k})

Итак символы Кристофеля рядом с метрическим тензором являются объектами внутренней геометрии многообразия:

(13) \ qquad \ Gamma_ {ij} ^ k = {1 \ over 2} g ^ {ks} (g_ {js, i} + g_ {is, j} - g_ {ij, s})

Найдем, как преображается формула (8) при переходе к другой системе координат: \ Qquad \ hat \ Gamma_ {ij} ^ k \ hat \ mathbf {r} _k + \ hat \ mathbf {b} _ {ij} = \ hat \ mathbf {r} _ {ij} = {\ partial \ over \ partial \ hat u ^ i} \ hat \ mathbf {r} _j = {\ partial \ over \ partial \ hat u ^ i} ({\ partial u ^ k \ over \ partial \ hat u ^ j} \ mathbf {r } _k) = {{\ partial ^ 2 u ^ k} \ over \ partial \ hat u ^ i \ partial \ hat u ^ j} \ mathbf {r} _k + {\ partial u ^ k \ over \ partial \ hat u ^ j} {\ partial u ^ s \ over \ partial \ hat u ^ i} \ mathbf {r} _ {ks} =

\ Qquad = ({{\ partial ^ 2 u ^ k} \ over \ partial \ hat u ^ i \ partial \ hat u ^ j} + {\ partial u ^ p \ over \ partial \ hat u ^ j} {\ partial u ^ s \ over \ partial \ hat u ^ i} \ Gamma_ {ps} ^ k) \ mathbf {r} _k + {\ partial u ^ k \ over \ partial \ hat u ^ j} {\ partial u ^ s \ over \ partial \ hat u ^ i} \ mathbf {b} _ {ks}

Отсюда имеем для символов Кристофеля:

(14) \ qquad \ hat \ Gamma_ {ij} ^ k = {\ partial \ hat u ^ k \ over \ partial u ^ l} ​​({{\ partial ^ 2 u ^ l} ​​\ over \ partial \ hat u ^ i \ partial \ hat u ^ j} + {\ partial u ^ p \ over \ partial \ hat u ^ j} {\ partial u ^ s \ over \ partial \ hat u ^ i} \ Gamma_ {ps} ^ l)

и для вектора \ Mathbf {b} _ {ij} :

(15) \ qquad \ hat \ mathbf {b} _ {ij} = {\ partial u ^ k \ over \ partial \ hat u ^ j} {\ partial u ^ s \ over \ partial \ hat u ^ i} \ mathbf {b} _ {ks}

Итак символы Кристофеля превращаются не за тензорными правилами (из-за наличия формуле (14) в слагаемом второй производной), для любой точки многообразия можно выбрать такую ​​систему координат, чтобы в данной точке символы Кристофеля превращались в ноль.


4. Ковариантная производная

Формулу (8) можно переписать в таком виде:

(16) \ qquad \ nabla_j \ mathbf {r} _i = \ partial_j \ mathbf {r} _i - \ Gamma_ {ij} ^ k \ mathbf {r} _k = \ mathbf {b} _ {ij}

В этой формуле выражение в левой части называется ковариантный производной (от ковариантного вектора \ Mathbf {r} _i ), А сам значок \ Nabla называется "Набла". Также в этой формуле введено сокращенное обозначение для частных производных по координатам многообразия:

\ Qquad \ partial_j = {\ partial \ over \ partial u ^ j}

Из формулы (15) видно, что результатом действия ковариантного производной на вектор \ Mathbf {r} _i есть тензор второго ранга, поскольку эта величина ( \ Mathbf {b} _ {ij} ) Изменяется по тензорными правилами при переходе к другой системе координат. Для произвольного ковариантного вектора a_i мы получим аналогичный результат:

(17) \ qquad \ nabla_j a_i = \ partial_j a_i - \ Gamma_ {ij} ^ k a_k

теж перетворюється за тензорними правилами. Цей результат очевидний з огляду на те, що як a_i так і \mathbf{r}_i змінюються через одну й ту ж матрицю переходу при заміні координат. Символи Крістофеля в означенні коваріантної похідної компенсують деякою мірою кривину заданої (довільної кривої!) системи координат. Поняття коваріантної похідної можна поширити на довільні тензори так, щоб результатом дії коваріантної похідної був тензор на одиничку вищого рангу (одним нижнім індексом більше), і для похідної добутку тензорів T_{i_1i_2...}^{j_1j_2...} и U_{k_1k_2...}^{l_1l_2...} виконувалось звичайне для похідних правило:

(18)\qquad \nabla_s (T_{i_1i_2...}^{j_1j_2...}U_{k_1k_2...}^{l_1l_2...}) = (\nabla_s T_{i_1i_2...}^{j_1j_2...})U_{k_1k_2...}^{l_1l_2...} + T_{i_1i_2...}^{j_1j_2...}(\nabla_s U_{k_1k_2...}^{l_1l_2...})

Начнем с скаляра \ Phi (Скалярного поля \ Phi (u ^ 1, u ^ 2, ... u ^ n) ). Градиент \ Phi уже превращается по правилам ковариантного вектора при замене координат:

\ Qquad {\ partial \ phi \ over \ partial \ hat u ^ i} = {\ partial u ^ j \ over \ partial \ hat u ^ i} {\ partial \ phi \ over \ partial u ^ j}

Поэтому мы берем его за определение ковариантного производной скаляра: \ Nabla_i \ phi = \ partial_i \ phi . Теперь вычислим ковариантного производную контравариантного вектора (с верхним индексом) v ^ i . Для этого продифференцируем скалярное произведение нашего вектора v ^ i с произвольным ковариантного вектором a_i (Это произведение является скалярным полем). С одной стороны:

\ Qquad \ nabla_j (v ^ i a_i) = \ partial_j (v ^ i a_i) = (\ partial_j v ^ i) a_i + v ^ i (\ partial_j a_i)

С другой стороны:

\ Qquad \ nabla_j (v ^ i a_i) = (\ nabla_j v ^ i) a_i + v ^ i (\ nabla_j a_i) = (\ nabla_j v ^ i) a_i + v ^ i (\ partial_j a_i - \ Gamma_ {ij } ^ k a_k)

Отняв от второго выражение прежде имеем:

\ Qquad 0 = (\ nabla_j v ^ i) a_i - \ Gamma_ {ij} ^ kv ^ i a_k - (\ partial_j v ^ i) a_i = (\ nabla_j v ^ i - \ Gamma_ {kj} ^ iv ^ k - \ partial_j v ^ i) a_i

В последнем преобразовании мы сделали нехитрую операцию - переставили местами буквы индексов i и k . Это возможно потому, что содержание свертки за двумя одинаковыми индексами как суммы, не зависит от того, какой буквой обозначен индекс свертки. Учитывая, что вектор a_i произвольный (ниприклад может быть параллельным одной из координатных осей a = {0, 0, .. 1, 0, .. 0} ), Последняя равенство может выполняться только при таком ознаненни ковариантного производной от контравариантного вектора:

(19) \ qquad \ nabla_j v ^ i = \ partial_j v ^ i + \ Gamma_ {kj} ^ iv ^ k

Теперь перейдем к дифференцировке тензоров высшего ранга. Начнем к примеру с смешанного тензора второго ранга T_j ^ i (С одним верхним и одним нижним индексом). Этот тензор перетворюется при замене координат аналогично произведения двух векторов v ^ i a_j . Для произведения векторов имеем:

\ Qquad \ nabla_k (v ^ i a_j) = (\ nabla_k v ^ i) a_j + v ^ i (\ nabla_k a_j) = (\ partial_k v ^ i + \ Gamma_ {sk} ^ iv ^ s) a_j + v ^ i (\ partial_k a_j - \ Gamma_ {jk} ^ s a_s) = \ partial_k (v ^ i a_j) + \ Gamma_ {sk} ^ iv ^ s a_j - \ Gamma_ {jk} ^ sv ^ i a_s

Следовательно и для тензора T_j ^ i имеем аналогично:

\ Qquad \ nabla_k T_j ^ i = \ partial_k T_j ^ i + \ Gamma_ {sk} ^ i T_j ^ s - \ Gamma_ {jk} ^ s T_s ^ i

Таким же образом можно получить общую (и немного громоздкий) формулу для дифференцирования тензоров с любым количеством верхних и нижних индексов:

(20) \ qquad \ nabla_k T_ {j_1 j_2 ...} ^ {i_1 i_2 ...} = \ partial_k T_ {j_1 j_2 ...} ^ {i_1 i_2 ...} + \ Gamma_ {sk} ^ { i_1} T_ {j_1 j_2 ...} ^ {s i_2 ...} + \ Gamma_ {sk} ^ {i_2} T_ {j_1 j_2 ...} ^ {i_2 s ...} + ... - \ Gamma_ {j_1 k} ^ s T_ {s j_2 ...} ^ {i_1 i_2 ...} - \ Gamma_ {j_2 k} ^ s T_ {j_1 s ...} ^ {i_1 i_2 ...} - ...

В этой формуле слагаемые с символами Кристофеля встречаются со знаком плюс для каждого верхнего индекса тензора, и со знаком минус для каждого нижнего индекса тензора.

Теперь, имея общую формулу, найдем ковариантного производную метрического тензора g_ {ij} :

\ Qquad \ nabla_k g_ {ij} = \ partial_k g_ {ij} - \ Gamma_ {ik} ^ s g_ {sj} - \ Gamma_ {jk} ^ s g_ {is} = \ partial_k g_ {ij} - \ Gamma_ { ik, j} - \ Gamma_ {jk, i} = 0

Последнее равенство мы записали, воспользовавшись формулой (10). Таким образом, метрический тензор ведет себя как константа относительно ковариантного производной - в формулах его можно переставлять с наблю (выносить за знак производной)


5. Свойства кривой на многообразия

Рассмотрим кривую линию, лежащую в многообразия. Точки кривой параметризуемо натуральным пораметром s . Мы можем смотреть на эту кривую с двух точек зрения. Если взглянуть с многообразия, то каждому значению параметра s соответствует точка многообразия, которая имеет координаты u ^ 1, u ^ 2, ... u ^ n , То есть:

(21) \ qquad u ^ i = u ^ i (s)

Если же смотреть с охватывающего евклидова пространства, то точки кривой задаются радиус-вектором \ Mathbf {r} = \ mathbf {r} (s) , И мы можем записать единичный касательный вектор к кривой \ Mathbf {\ tau} = {d \ mathbf {r} \ over ds} , А также вектор кривизны кривой \ Mathbf {k} = {d ^ 2 \ mathbf {r} \ over ds ^ 2} .

Очевидный н "между этими двумя точками зрения

\ Qquad \ mathbf {r} (s) = \ mathbf {r} (u ^ 1 (s), u ^ 2 (s), ... u ^ n (s))

Найдем касательный вектор кривой:

\ Qquad \ mathbf {\ tau} = {d \ mathbf {r} \ over ds} = {\ partial \ mathbf {r} \ over \ partial u ^ i} {du ^ i \ over ds} = {du ^ i \ over ds} \ mathbf {r} _i

Итак, как это и очевидно, единичный касательный вектор кривой лежит в касательном аффинном пространстве многообразия (раскладывается по его базисом \ Mathbf {r} _i ), И имеет такие контравариантни координаты:

\ Qquad \ tau ^ i = {d u ^ i \ over ds}

Теперь Займемся кривин. Имеем:

\ Qquad \ mathbf {k} = {d ^ 2 \ mathbf {r} \ over ds ^ 2} = {d \ over ds} (\ tau ^ i \ mathbf {r} _i) = {d \ tau ^ i \ over ds} \ mathbf {r} _i + \ tau ^ i {d \ mathbf {r} _i \ over ds}

Вычислим отдельно производную во втором слагаемом:

\ Qquad {d \ mathbf {r} _i \ over ds} = \ mathbf {r} _ {ij} {du ^ j \ over ds} = (\ Gamma_ {ij} ^ k \ mathbf {r} _k + \ mathbf {b} _ {ij}) \ tau ^ j

Итак, снова переименовав индексы, по которым проводится свертка, получаем такое выражение:

\ Qquad \ mathbf {k} = ({d \ tau ^ i \ over ds} + \ Gamma_ {sk} ^ i \ tau ^ s \ tau ^ k) \ mathbf {r} _i + \ mathbf {b} _ { ij} \ tau ^ i \ tau ^ j = \ mathbf {k_ {\ |}} + \ mathbf {k_ {\ perp}}

Итак вектор кривизны кривой раскладывается на две ортогональные между собой векторы: вектор \ Mathbf {k_ {\ |}} называется геодезической кривин, он причастен к многообразия, а вектор \ Mathbf {k_ {\ perp}} = \ mathbf {b} _ {ij} \ tau ^ i \ tau ^ j ортогональный к многообразия и зависит только от направления касательной \ Mathbf {\ tau} а не того, как кривая искривляется внутри многообразия. Легко показать, что вектор геодизичнои кривизны также ортогональный к касательной вектора кривой:

\ Qquad (\ mathbf {\ tau} \ cdot \ mathbf {k_ {\ |}}) = (\ mathbf {\ tau} \ cdot \ mathbf {k}) - (\ mathbf {\ tau} \ cdot \ mathbf { k_ {\ perp}}) = 0

Его контравариантни координаты равны:

(22) \ qquad k_ {\ |} ^ i = {d \ tau ^ i \ over ds} + \ Gamma_ {sk} ^ i \ tau ^ s \ tau ^ k

6. Геодезическая линия

Теперь мы можем задаться вопросом, какая линия на многообразия "ровные", т.е. имеет наименьшую кривизну. Имеем:

\ Qquad k = \ sqrt {\ mathbf {k} _ {\ |} ^ 2 + \ mathbf {k} _ {\ perp} ^ 2} \ ge k_ {\ perp}

Есть кривизна линии не может быть меньше кривизну многообразия в данном направлении. Равенство достигается тогда, когда кривая имеет нулевую геодезическую кривизну:

(23) \ qquad {d \ tau ^ i \ over ds} + \ Gamma_ {jk} ^ i \ tau ^ j \ tau ^ k = 0

Считая метрику заданной (т.е. известными функции координат g_ {ij} = g_ {ij} (u) , А следовательно и \ Gamma_ {ij} ^ k = \ Gamma_ {ij} ^ k (u) ), Мы получаем из (23) систему n обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно n неизвестных функций u ^ 1 (s), u ^ 2 (s), ... u ^ n (s) :

(24) \ qquad {d ^ 2 u ^ i \ over ds ^ 2} + \ Gamma_ {jk} ^ i (u) {du ^ j \ over ds} {du ^ k \ over ds} = 0

Это уравнение можно решать как задачу Коши, задав начальную точку u ^ i_ {(0)} и единичный вектор направления \ Tau ^ i_ {(0)} в этой точке. Это решение всегда существует, если символы Кристофеля ограничены непрерывными функциями. Решение этого уравнения примем за определение геодезической линии. Мы уже видели два свойства геодезической линии - эта линия имеет нулевую геодезическую кривизну, а также наименьшую кривизну в охватывающий евклидовом пространстве среди всех кривых, лежащих на многообразия и имеют общую касательную. Геодезическая линия имеет еще два важных свойства: во-первых, касательный вектор переносится параллельно вдоль кривой, а во-вторых, для двух достаточно близких точек на многообразия, найкорошою кривой на многообразия, соединяющей эти точки, является отрезок геодезической линии. О последней свойство следует отметить две оговорки - 1. в псевдо-евклидовом пространстве (скалярное квадрат вектора может быть и положительным и отрицательное) это возможно не так, но даже в евклидовом пространстве я не знаю доказательства положительной определенности квадратичной формы второй вариации 2. первая вариация длины кривой равен нулю на геодезической, как в евклидовом, так и в псевдоевклидовому пространствах. Далее, последнее свойство допускает обобщение на подмноговидов размерности p = 2 ... n-1 . А именно мы можем задать "рамку", или край размерности p-1 , И искать многообразие с этим краем, который имеет минимальную "площадь" (подобно мыльной пленке в рамке).


7. Кривизна многообразия по касательной прямой

Для кривой на многообразия мы имели:

(25) \ qquad \ mathbf {k} _ {\ perp} = \ mathbf {b} _ {ij} \ tau ^ i \ tau ^ j

Как видим, эта величина зависит только от направления единичного вектора \ Tau ^ i , Причем она одинакова для противоположных векторов \ Tau ^ i и - \ Tau ^ i , (Т.е. зависит только от прямой, на которой лежат эти векторы). Можно рассматривать и не только единичные векторы, в этом случае формула (25) изменится на:

(26) \ qquad \ mathbf {k} _ {\ perp} = {{\ mathbf {b} _ {ij} v ^ iv ^ j} \ over {g_ {ij} v ^ iv ^ j}}

Квадратичную форму {\ Mathbf {b} _ {ij} v ^ i v ^ j} называют первой, а g_ {ij} v ^ i v ^ j второй.

Как видим, вся информация о кривизну многообразия содержится в векторах \ Mathbf {b} _ {ij} .


8. Тензор внутренней кривизны (тензор Римана)

Кривизну многообразия можно заметить изнутри. Очевидно, что внутренняя кривизна должна быть тензорной величиной, чтобы не зависеть от системы координат. Мы имеем два тензорных объекта внутренней геометрии - метрический тензор g_ {ij} и ковариантного производную \ Nabla_i . Ограничиваясь только ими, мы ничего нового не получим, поскольку ковариантная производная метрического тензора равна нулю ( \ Nabla_k g {ij} = 0 ). Поэтому рассмотрим еще один объект - (произвольное) тензорное поле, и будем повторно применять к нему ковариантного производную. В случае евклидова пространства производные по разным координатах коммутируют между собой: \ Partial_i \ partial_j T = \ partial_j \ partial_i T . Для кривого многообразия это свойство неверна. Обозначим с помощью квадратных скобок коммутатор ковариантного производных (разность между произведением и перставленим произведением):

\ Qquad [\ nabla_i \ nabla_j] = \ nabla_i \ nabla_j - \ nabla_j \ nabla_i

Будем двигаться от простого. Рассмотрим скалярное поле \ Phi (Тензор нулевого ранга).

\ Qquad \ nabla_i (\ nabla_j \ phi) = \ partial_i (\ nabla_j \ phi) - \ Gamma_ {ij} ^ k \ nabla_k \ phi = \ partial_i \ partial_j \ phi - \ Gamma_ {ij} ^ k \ nabla_k \ phi

Как видим, оба слагаемые в последней сумме симметричные по индексам i, j . Поэтому:

\ Qquad [\ nabla_i \ nabla_j] \ phi = 0

Теперь рассмотрим ковариантный вектор a_i (Тензор первого ранга). Распишем второй ковариантный производную:

\ Qquad \ nabla_j (\ nabla_k a_i) = \ partial_j (\ nabla_k a_i) - \ Gamma_ {jk} ^ s \ nabla_s a_i - \ Gamma_ {ij} ^ s \ nabla_k a_s = \ partial_j (\ partial_k a_i - \ Gamma_ { ik} ^ s a_s) - \ Gamma_ {jk} ^ s \ nabla_s a_i - \ Gamma_ {ij} ^ s (\ partial_k a_s - \ Gamma_ {sk} ^ p a_p) =
\ Qquad = (\ partial_j \ partial_k a_i - \ Gamma_ {jk} ^ s \ nabla_s a_i) - (\ Gamma_ {ik} ^ s \ partial_j a_s + \ Gamma_ {ij} ^ s \ partial_k a_s) - (\ partial_j \ Gamma_ {ik} ^ s) a_s + \ Gamma_ {ij} ^ s \ Gamma_ {sk} ^ p a_p

В последний сумме мы выделили в начале суммы двух слагаемых (каждый из них взяты в скобки), которые симметричны по индексам j, k . В последнем слагаемом этой же суммы можно переставить местами индексы s, p по которым проходит свертка. Окончательно имеем для коммутатора:

(27) \ qquad [\ nabla_j \ nabla_k] a_i =-R ^ s_ {\, ijk} a_s

где введено обозначение:

(28) \ qquad R ^ s_ {\, ijk} = \ partial_j \ Gamma_ {ik} ^ s - \ partial_k \ Gamma_ {ij} ^ s + \ Gamma_ {ik} ^ p \ Gamma_ {pj} ^ s - \ Gamma_ {ij} ^ p \ Gamma_ {pk} ^ s

Поскольку в левой части формулы (27) стоит тензорная величина, и вектор a_s является тензором первого ранга, то отсюда следует, что и только введена величина R ^ s_ {\, ijk} является тензором. Этот тензор впервые открыл немецкий математик Бернгард Риман ( 1854).