Дифференциальное исчисление

График функции, обозначены черным цветом, и касательная к нему (красный цвет). Значение тангенса угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке, является значение производной в этой точке (коричневый цвет)

Дифференциальное исчисление - раздел математики, в котором изучаются производные, дифференциалы и их применение в исследовании свойств функций. Формирование дифференциального исчисления связано с именами Исаака Ньютона и Готфрида Лейбница. Именно они четко сформировали основные положения и указали на взаимообратных характер диференцюювання и интегрирования. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развитии математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики. Очень распространилась область применения математики в естественных науках и технике.

Дифференциальное исчисление базируется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование которых и составляют предмет введения в математического анализа: действительные числа (числовая прямая), функция, граница, непрерывность. Все эти понятия получили современную трактовку в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений.

Основная идея дифференциального исчисления состоит в изучении функции в малом. Точнее дифференциальное исчисление дает аппарат для исследования функций, поведение которых в достаточно малом окрестности каждой точки близка к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия дифференциального исчисления: производная и дифференциал.


1. Производная

Понятие производной возникло из большого количества задач естественных наук и математики, которые сводились к вычислению границ одного и того же типа. Главные среди них - вычисление скорости прямолинейного движения точки и побудува касательной к графику функции.

1.1. Вычисления скорости

Если движение точки прямолинеен равномерным, то скорость не меняется с время и определяется как отношение пройденного пути на время, которое было потрачено на это. Однако, если движение является неравномерным, то скорость есть функция времени, поскольку за равные промежутки времени пройденный путь будет разным. Например, свободное падение тел. Закон движения такого тела задается формулой s (t) = \ frac {gt ^ 2} {2} , Где s - пройденный путь с начала падения (в метрах), t - время падения (в секундах), g - постоянная величина, которая называется ускорением свободного падения, g \ approx 9,8 м / с 2. Таким образом за первую секунду падения тело пролетит (примерно) 4,9 м, за вторую - 14,7 м, а за десятую - 93,2 м, то есть падение происходит неравномерно. Поэтому вычисления скорости как отношение пути ко времени здесь не может быть использован. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за некоторый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t . Она (скорость) определяется как отношение длины пути, который пройден за этот промежуток времени, к его продолжительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t , Но и от выбора промежутка времени. Для нашего примера средняя скорость падения за промежуток времени от t к t + \ Delta t равна:

\ Frac {s (t + \ Delta t)-s (t)} {\ Delta t} = gt + \ frac {g} {2} \ Delta t \ qquad (1)

При неограниченном уменьшении промежутка \ Delta t , Выражение (1) постепенно приближается к gt . Эту величину называют скоростью движения в момент времени t . Таким образом, скорость движения в любой момент движения определяется как граница средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.

В общем случае эти расчеты необходимо проводить для любого момента времени t , Промежутка времени от t к t + \ Delta t и закона движения, виржаеться формуле s = f (t) . Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t к t + \ Delta t задается формулой \ Frac {\ Delta s} {\ Delta t} , Где \ Delta s = f (t + \ Delta t)-f (t) , А скорость движения в момент времени t равна:

v (t) = \ lim_ {\ Delta t \ to 0} \ frac {\ Delta s} {\ Delta t} = \ lim_ {\ Delta t \ to 0} \ frac {f (t + \ Delta t) - f (t)} {\ Delta t} \ qquad (2)

Основные преимущества скорости в данный момент, или мгновенной скорости, перед средней в том, что она является функцией времени как закон движения, а не функцией интервала ( t , t + \ Delta t ). Однако, мгновенная скорость является некоторой абстракцией, поскольку непосредственному измерению подлежит только средняя скорость, а не мгновенная.


1.2. Построение касательной

Построение касательной к графику функции

Выражению типа (2) сводится задача построения касательной плоскости кривой в некоторой точке M . Пусть кривая Г является графиком функции y = f (x) . Положение касательной можно найти если знать ее угловой коэффициент, т.е. тангенс угла \ Alpha , Который касательная образует с положительным направлением оси Ox .

Обозначим через x_0 абсциссу точки M , А через x_1 = x_0 + \ Delta x - Абсциссу точки M_1 . Угловой коэффициент секущей MM_1 равна:

\ Tan \ beta = \ frac {M_1 N} {MN} = \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ frac {f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0)} {\ Delta x} ,

где \ Delta y = M_1 N = f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0) - Прирост функции на промежутке [X_0, x_1] . Если определять касательную в точке M как предельное положение секущей MM_1 при x_1 стремится к нулю, то получим:

\ Tan \ alpha = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0)} {\ Delta x} .


1.3. Понятие производной

Основная статья Производная

Итак, если не считать механический и геометрический смысл предыдущих задач, а выделить совместных метод их решения приходим к понятию производной. Производной функции y = f (x) в точке x называется предел (если эта граница существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, стремится к нулю так что:

y '= f' (x) = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Delta y} {\ Delta x} = \ lim_ {\ Delta x \ to 0} \ frac {f (x + \ Delta x) - f (x)} {\ Delta x} .

С помощью производной можно определить силу тока, как предел \ Lim_ {\ Delta t \ to 0} \ frac {\ Delta q} {\ Delta t} , Где \ Delta q - Положительный электрический заряд, проходящий через проводник за время \ Delta t , А также много других задач физики и химии.

Производную функции y = f (x) обозначают f '(x), y', \ frac {dy} {dx} \ frac {df} {dx} Df (x) .

Если функция y = f (x) имеет производную в точке x_0 , То она определена как в самой точке x_0 , Так и в некоторой окрестности этой точки и непрерывна в точке x_0 . Однако, обратное утверждение смысла не имеет. Например, непрерывная в каждой точке функция y = | x | = + \ sqrt {x ^ 2} , Графиком которой является биссектрисы первого и второго координатных углов, при x = 0 не имеет производной, поскольку отношение \ Frac {\ Delta y} {\ Delta x} не имеет предела при \ Delta x \ to 0 : Если \ Delta x> 0 это отношение равно +1 , А если \ Delta x <0 , То оно равно -1 . Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной во всех точках.

Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.

Если функция составленной, т.е. y = f (u) и u = \ phi (x) , Или равно что y = f [\ phi (x)] , То \ Frac {dy} {dx} = \ frac {dy} {du} \ cdot \ frac {du} {dx} = f '(u) \ phi' (x)

Если производная f '(x) имеет производную, то ее называют второй производной функции y = f (x) и обозначают y'', f'' (x), \ frac {d ^ 2 x} {dx ^ 2}, \ frac {d ^ 2 f} {dx ^ 2}, D ^ 2 f (x) . С механической точки зрения вторая производная - это ускорение.

Аналогичным образом дается определение производной высшего порядка. Производная порядка n обозначается: y ^ n, f ^ n (x), \ frac {d ^ nx} {dx ^ n}, \ frac {d ^ nf} {dx ^ n}, D ^ nf (x) .


1.4. Таблица производных

Основная статья Таблица производных

1.4.1. Основные производные

  • Производная от постоянной: (C) '= 0 \,
  • Производная от степенной функции: (X ^ n) '= nx ^ {n-1} \,
  • Производная от показательной функции: (A ^ x) '= a ^ x \ ln a \,
  • Производная от экспоненты: (E ^ x) '= e ^ x \,
  • Производная от логарифмической функции: (\ Log_ {a} x) '= \ frac {1} {x \ ln a}
  • Производная от натурального логарифма: (\ Ln x) '= \ frac {1} {x}
  • Производная от синуса: (\ Sin x) '= \ cos x \,
  • Производная от косинуса: (\ Cos x) '= - \ sin x \,
  • Производная от тангенса: (\ Tan x) '= \ frac {1} {\ cos ^ 2 x}
  • Производная от котангенса: (\ Cot x) '= - \ frac {1} {\ sin ^ 2 x}
  • Производная от арксинуса: (\ Arcsin x) '= \ frac {1} {\ sqrt {1 - x ^ 2}}
  • Производная от арккосинуса: (\ Arccos x) '= \ frac {-1} {\ sqrt {1 - x ^ 2}}

1.4.2. Правила дифференцирования

  • Постоянную можно выносить за знак производной: [Cf (x)] '= Cf
  • Сумма и разность производных: [F (x) \ pm g (x)] '= f' (x) \ pm g '(x)
  • Произведение производных: [F (x) g (x)] '= f' (x) g (x) + f (x) g '(x) \,
  • Доля производных: \ Left [\ frac {f (x)} {g (x)} \ right] '= \ frac {f' (x) g (x)-f (x) g '(x)} {g ^ 2 ( x)}

Здесь C, n, a (a> 0) - Стали величины. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от любой элементарной функции также элементарная функция.


2. Дифференциал

Понятие дифференциала является математическим выражением, которое в очень малой окрестности точки определяет кривую как линейную функцию. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другом и на отражение произвольных линейных нормированных пространств и является одним из основных понятий современного нелинейного функционального анализа.

Дифференциалом функции y = f (x) называется выражение dy = y'dx , Где dx = \ Delta x прирост аргумента x.


Литература

  • С. Т. Завала Элементы анализа. Алгебра многочленов.. - М.: Просвещение, 1972.