Надо Знать

добавить знаний



Дифференциальные уравнения



План:


Введение

Визуализация воздушного потока с уравнения Навье-Стокса

Дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обыкновенные дифференциальные) или нескольких аргументов (дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Теория дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках, особенно широко - в физике.

Проще говоря, дифференциальное уравнение - это уравнения, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. При этом, в самом уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные ее производные. Дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др..

Различают обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных. Сложнее обстоят интегро-дифференциальные уравнения.

Сначала дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемых в квадратурах, если задачу нахождения всех решений связям можно свести к вычислению конечного числа интегралов от известных функций и простых алгебраических операций.


1. История

Дифференциальные уравнения изобретены Ньютоном (1642-1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: "законы природы выражаются дифференциальными уравнениями".

Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинакового степени). Особое значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (1540-1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в "ряды Тейлора" все основные элементарные функции ( рациональные, радикалы, тригонометрические, экспоненту и логарифм). Это, вместе с составленной им таблице первобытных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур "за половину четверти часа".

Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, поскольку он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее проводить с помощью кратных дифференцировок, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными был скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория солнечной системы, изложенная в "Математических принципах натуральной философии" ("Principia") без помощи математического анализа. Обычно считают, что Ньютон открыл с помощью своего анализа закон всемирного тяготения. На самом деле Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле тяготения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Ньютону Гуком (1635-1703) и, пожалуй, угадывался еще несколькими учеными.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707-1783) и Лагранжа (1736-1813). В этих работах была прежде развита теория малых колебаний, а следовательно - теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно с такого уравнения определяются секулярные (возрастные, то есть медленные по сравнению с годичным движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777-1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Жозеф Лиувилль (1809-1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах. Позже Софус Ли (1842-1899), анализируя вопрос о интегрирования уравнений в квадратурах, пришел к необходимости детально исследовать группы диффеоморфизмов (получившие впоследствии имя групп Ли) - так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами ( алгебры Ли еще раньше рассматривали Симеон-Дени Пуассон (1781-1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804-1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854-1912), созданная им ?качественная теория дифференциальных уравнений" вместе с теорией функций комплексных переменных привела к учреждению современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается активно и имеет важнейшие применения теории дифференциальных уравнений в естествознании.


2. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения - это уравнения вида F (t, x, x ', x'', ..., x ^ {(n)}) = 0 , Где x = x (t) - Неизвестна функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависит от переменной времени t , Штрих означает дифференцирование по t . Число n называется порядком дифференциального уравнения.

Решением (или решением) дифференциального уравнения называется функция, дифференцируемая n раз, и удовлетворяет уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целая множество таких функций, и для выбора одной из развязок нужно наложить на нее дополнительные условия: например, требовать, чтобы решение принимало в определенной точке определенное значение.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы розьязання простых ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.


3. Дифференциальные уравнения в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных - это уравнения, содержащие неизвестные функции от нескольких переменных и их частных производных.

Общий вид таких уравнений можно представить в виде:

F \ left (x_1, x_2, \ dots, x_m, z, \ frac {\ partial z} {\ partial x_1} \ frac {\ partial z} {\ partial x_2} \ dots, \ frac {\ partial z } {\ partial x_m} \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ partial x_1 ^ 2}, \ frac {\ partial ^ 2 z} {\ partial x_1 \ partial x_2} \ frac {\ partial ^ 2 z } {\ partial x_2 ^ 2}, \ dots, \ frac {\ partial ^ nz} {\ partial x_m ^ n} \ right) = 0 ,

где x_1, x_2, \ dots, x_m - Независимые переменные, а z \! - Функция этих переменных.


4. Нелинейные дифференциальные уравнения

Нелинейные дифференциальные уравнения - раздел математики, изучающий теорию и способы решения нелинейных уравнений, содержащих искомую функцию и ее производные различных порядков одного аргумента (обычно нелинейные дифференциальные) или нескольких аргументов (нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных). Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов.

Теория нелинейных дифференциальных уравнений - раздел математики, занимающийся изучением дифференциальных уравнений и связанных с ними задач. Их результаты применяются во многих естественных науках: механике, физике, термоупругости, оптике.

Нелинейное дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестной величиной является некоторая функция. В самом дифференциальном уравнении участвует не только неизвестная функция, но и различные его производные в нелинейном виде. Нелинейным дифференциальным уравнением описывается связь между неизвестной функцией и ее производными. Такие связи отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др..

Различают обычные нелинейные дифференциальные уравнения и нелийни дифференциальные уравнения в частных производных.

Нелинейные дифференциальные уравнения возникли из задач нелинейной механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени.


5. Точные решения

Некоторые дифференциальные уравнения имеют решения, можно подать точной формулой. Такие классы уравнений представлены ниже.

В таблице, H (x), Z (x), H (y), Z (y) или H (x, y), Z (x, y) - произвольные интегрируемых функции от x или y (или от обоих параметров ), a A, B, C, I, L, N, M - константы. В общем A, B, C, I, L, являются действительными числами, а N, M, P тa Q могут быть комплексными. Дифференциальные уравнения представлены в альтернативной форме, что позволяет их решить методом интегрирования.

Дифференциальные уравнения Общее решение
1 \ Frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = F (x) \, \!

\ Mathrm {d} y = F (x) \, \ mathrm {d} x \, \!

y = \ int F (x) \, \ mathrm {d} x \, \!
2 \ Frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = F (y) \, \!

\ Mathrm {d} y = F (y) \, \ mathrm {d} x \, \!

x = \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {F (y)} \, \!
3 H (y) \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + Z (x) = 0 \, \!

H (y) \, \ mathrm {d} y + Z (x) \, \ mathrm {d} x = 0 \, \!

\ Int H (y) \, {\ mathrm {d} y} + \ int Z (x) \, {\ mathrm {d} x} = C \, \!
4 \ Frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + H (x) y + Z (x) = 0 \, \!

\ Mathrm {d} y + H (x) y \, \ mathrm {d} x + Z (x) \, \ mathrm {d} x = 0 \, \!

y = - e ^ {- \ int H (x) \, \ mathrm {d} x} \ int e ^ {\ int H (x) \ mathrm {d} x} Z (x) \, {\ mathrm { d} x} \, \!
5 \ Frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = F \ left (\ frac {y} {x} \ right) \, \!\ Ln Cx = \ int \ frac {\ mathrm {d} r} {F (r) - r} \, \!

решением может быть скрытая Свойство от x тa y, полученная вычислением следующих интеграла используя замену переменных r = y / x \, \!

6 \ Frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} = F (y) \, \!x = \ pm \ int \ frac {\ mathrm {d} y} {\ sqrt {2 \ int F (y) \, \ mathrm {d} y + C_1}} + C_2 \, \!
7 H (x, y) \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + Z (x, y) = 0 \, \!

H (x, y) \, {\ mathrm {d} y} + Z (x, y) \, {\ mathrm {d} x} = 0 \, \!

Если ДР является точным, т.е. \ Frac {\ partial H} {\ partial x} = \ frac {\ partial Z} {\ partial y} \, \!

тогда решение задается формулой:

F (x, y) = \ int \ left [H (x, y) \, \ mathrm {d} y + Z (x, y) \, \ mathrm {d} x \ right] + \ gamma (y) + \ chi (x) = C \, \!

дe \ Gamma (y) \, \! и \ Chi (x) \, \! - Определенные функции, зависящие от интегралов, позволяющие корректно определить функцию F (x, y) \, \! hold.

Если уравнение не является точным, из функций H (x, y) и Z (x, y) можно определить интегральный множитель, после умножения уравнения на который оно решается аналогично точного.

8 \ Frac {\ mathrm {d} ^ 2y} {\ mathrm {d} x ^ 2} + I \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} + Ly = 0 \, \!

Если I ^ 2> 4L \, \!

тогда y = Ne ^ {\ left (-I + \ sqrt {I ^ 2 - 4L} \ right) \ frac {x} {2}} + Me ^ {- \ left (I + \ sqrt {I ^ 2 - 4L} \ right) \ frac {x} {2}} \, \!


Если I 2 = 4L \, \!

тогда y = (Ax + B) e ^ {-Ix / 2} \, \!


Если I ^ 2 <4L \, \!

тогда y = e ^ {-I \ frac {x} {2}} \ left [P \ sin {\ left (\ sqrt {\ left | I ^ 2-4L \ right |} \ frac {x} {2} \ right)} + Q \ cos {\ left (\ sqrt {\ left | I ^ 2-4L \ right |} \ frac {x} {2} \ right)} \ right] \, \!

9 \ Sum_ {\ alpha = 1} ^ d I_ {\ alpha} \ frac {\ mathrm {d} ^ \ alpha y} {\ mathrm {d} x ^ \ alpha} = 0 \, \!

\ Sum_ {\ alpha = 1} ^ d A_ {\ alpha} e ^ {B_ {\ alpha} x} = 0 \, \!


дe B_ {\ alpha} \, \! - D розвьзкы многочлен степени d:


\ Prod_ {\ alpha = 1} ^ d \ left (B - B_ {\ alpha} \ right) = 0 \, \!


Заметьте, что 3 и 4 являются частными случаями 7, они довольно распространены и представлены для полноты.

Также 8 уравнение является частным случаем 9, но 8 достаточно распространенная форма уравнений, особенно в простых физических и инженерных задачах.


6. Примеры

m \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} = F (x, t) ,

где m - Масса тела, x - Его координата, F (x, t) - Сила, действующая на тело с координатой x в момент времени t . Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

  • Колебания струны задается уравнением
\ Frac {\ partial {} ^ 2 u} {\ partial t ^ 2} = a ^ 2 \ frac {\ partial ^ 2 u} {\ partial x ^ 2} ,

где u = u (x, t) - Отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t , Параметр a задает свойства струны.


Литература

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал
  1. Ф. С. Гудименко Дифференциальные уравнения. - Киев: Издательство Киевского государственного университета, 1958.
  2. В.И.Арнольд. Обыкновенные Дифференциальные уравнения, М. 2000



Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.
Основные разделы Математики
Алгебра ? Дискретная математика ? Дифференциальные уравнения ? Геометрия ? Комбинаторика ? Линейная алгебра ? Логика ? Математическая статистика ? Математический анализ ? Теория вероятностей ? Теория множеств ? Теория чисел ? Тригонометрия ? Математическая физика ? Топология ? Функциональный анализ

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам