Длина кривой

Полигональное приближения кривой

Длиной кривой в метрическом пространстве (X, \ rho) называется вариация отображения, задающего кривую, то есть длина кривой \ Gamma: [a, b] \ to X - Это величина, равная

\ Sup \ sum \ limits_ {k = 0} ^ m \ rho (\ gamma (x_ {k +1}), \ gamma (x_k)),

где точная верхняя грань берется по всем разбивкой a = x_0 <x_1 <\ dots <x_m = b отрезка [A, b] .

Для евклидова пространства это означает, что длина кривой определяется как точная верхняя граница для вписанных в кривую ломаных.


1. Связанные определения

Если длина конечна, то говорят, что кривая спрямна, иначе - неспрямна.

2. Формулы

Если кривая класса C ^ 1 в \ R ^ n , Тогда ее длина равна:

  • В общем случае \ R ^ n - \ Int \ limits_a ^ b \ sqrt {\ sum \ limits_ {k = 1} ^ n {f'_k} ^ 2 (t)} \, dt .
  • В \ R ^ 3 - \ Int \ limits_a ^ b \ sqrt {{x '} ^ 2 (t) + {y'} ^ 2 (t) + {z '} ^ 2 (t)} \, dt .
  • Если кривая задана в \ R ^ 2 как f (x) , То ее длина равна \ Int \ limits_a ^ b \ sqrt {1 + {f '} ^ 2 (x)} \, dx .
  • В полярных координатах для плоской кривой:
s = \ int_a ^ b \ limits \! \ Sqrt {\ rho ^ 2 + (\ tfrac {d \ rho} {d \ varphi}) ^ 2} \, d \ varphi.

3. История

Исторически вычисления длины дуги называлось спрямляння кривой. Задача спрямляння оказалась намного сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для круга. Декарт даже высказывал мнение, что "отношения между прямым и кривым неизвестно, и даже, думаю, не может быть познано людьми". Первым достижением стало спрямления параболы Нейла ( 1657), выполнено Ферма и самим Нейлом. Вскоре было найдено длину дуги циклоиды ( Рен, Гюйгенс). Грегори (еще до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.


См.. также

Литература