Добавление

При сложении двух яблок трех получаем пять яблок

Добавление - двухместная математическая операция, суть которой заключается в объединении математических объектов.

Операция добавления обозначается обычно знаком + ( плюс). В отдельных разделах математики добавления сказывается также другими специфическими для данной области символами ( \ Or, \ bigcup, \ sum и т.д.).

Операнды операции сложения называются слагаемыми, результат - суммой. Обратная к добавлению операция называется вычитанием.


1. Общие свойства операции сложения

Независимо от природы математических объектов, которые можно добавить, добавление характеризуется

От перестановки слагаемых сумма не меняется.

Любое бинарную операцию, которая удовлетворяет указанным условиям в математике можно назвать добавлением.


2. Определения конкретных множеств

2.1. Добавление натуральных чисел

Чтобы к натурального числа \ M добавить натуральное число \ N нужно увеличить число \ M на единицу \ N раз.

Например,

5 + 4 = 5 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 + 1 + 1 + 1 = 7 + 1 + 1 = 8 + 1 = 9

В аксиоматике Пеано вся арифметика построена на добавлении единицы.


2.2. Добавление целых чисел

Добавление положительных целых чисел аналогичное добавлению натуральных чисел. Если второе приложение отрицательный, то для получения суммы нужно уменьшить первое слагаемое на соответствующее количество единиц.

Например,

5 + (-4) = 5 + (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = 4 + (-1) + (-1) + (-1) = 3 + (- 1) + (-1) = 2 + (-1) = 1

В множестве целых чисел существует число 0 ( ноль) добавление которого к любому другому целому числу не изменяет его. Например,

5 0 = 5

2.3. Сложение рациональных чисел

Для добавления рациональных чисел необходимо привести их к общему знаменателю, а затем добавить числительные, взяв общий знаменатель по знаменатель суммы.

Например,

\ Frac {1} {3} + \ frac {1} {2} = \ frac {2} {6} + \ frac {3} {6} = \ frac {5} {6}

2.4. Добавление иррациональных чисел

Каждое иррациональное число является границей некоторой последовательности рациональных приближений. Если иррациональное число a = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_n , А иррациональное число b = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} b_n , То

\ A + b = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (a_n + b_n)

2.5. Добавление комплексных чисел

При добавлении комплексных чисел отдельно прилагаются настоящие и мнимые части

z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2).

2.6. Сложение векторов

Для добавления векторов, определенных в векторном пространстве с базисом нужно добавить их компоненты

\ (A_1, a_2, \ ldots, a_n) + (b_1, b_2, \ ldots, b_n) = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2, \ ldots, a_n + b_n)

2.7. Добавление матриц

Добавлять можно матрицы, которые имеют одинаковое число строк и столбцов. Сумма таких матриц имеет тоже самое число строк и столбцов, а каждый элемент матрицы суммы является суммой элементов матриц-слагаемых. Например,

\ Begin {bmatrix} 1 & 3 & 2 \ \ 1 & 0 & 0 \ \ 1 & 2 & 2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 & 0 & 5 \ \ 7 & 5 & 0 \ \ 2 & 1 & 1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 +0 & 3 +0 & 2 +5 \ \ 1 +7 & 0 +5 & 0 +0 \ \ 1 +2 & 2 +1 & 2 +1 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & 3 & 7 \ \ 8 & 5 & 0 \ \ 3 & 3 & 3 \ end {bmatrix}

2.8. Добавление множеств

Для множеств операция объединения задовольнае требованиям коммутативности и ассоциативности, а потому является аналогом добавления.

2.9. Добавление элементов групп

В общем случае групповые операции не имеют свойства коммутативности. Группы, для которых групповая операция коммутативна, называются абелева. Если групповую операцию абелевой группы обозначают плюсом, то такую ​​группу называют аддитивной.

2.10. Добавление в математической логике

Подробнее в статье Булева алгебра

В математической логике добавлению соответствует операция ИЛИ. Результат этой операции ИСТИНА если хотя бы один из операндов имеет значение ИСТИНА.

Операция добавления в булевой алгебре обозначается символом \ Or .

3. Логика

В логике добавлением называют корректную, простую форма аргументации:

A, следовательно, A или B.

или в логико-операторной нотации:

A \ vdash A \ or B .

Аргумент имеет одно исходное предположение A. С истинности A следует что A или B истинно.

Пример аргумента в форме добавления:

Демократия является наилучшей формой управления.
Итак, демократия является наилучшей формой управления, или каждый должен голосовать.

См.. также