Идеальный газ

Идеальный газ (рус. идеальный газ; англ. Ideal gas, нем. Ideales Gas n) - это газ, в котором молекулы можно считать материальными точками, а силами притяжения и отталкивания между молекулами можно пренебречь. В природе такого газа не существует, но близкими по свойствам к идеальному газу есть реальные разреженные газы, давление в которых не превышает 200 атмосфер и находящихся при не очень низкой температуре, поскольку при таких условиях расстояние между молекулами намного превышает их размеры.

Различают три типа идеального газа:


1. Термодинамика классического идеального газа

Термодинамические свойства идеального газа можно описать следующими двумя уравнениями:

Состояние классического идеального газа описывается уравнением состояния идеального газа :

PV = nRT = Nk_B T \,

Внутренняя энергия идеального газа описывается следующим уравнением:

U = \ hat {c} _V nRT = \ hat {c} _V Nk_B T

где \ Hat {c} _V есть константой (равной, например, 3/2 для одноатомного газа) и

Другие термодинамические величины для одноатомного идеального газа:

Свободная энергия :

F =-Nk_B T \ left (\ text {ln} \, \ left [\ frac {V} {N} \ left (\ frac {mk_B T} {2 \ pi \ hbar ^ 2} \ right) ^ {3 / 2} \ right] + 1 \ right) ,

где m - масса атома газа, \ Hbar - приведена постоянная Планка.

Химический потенциал

\ Mu = k_B T \ text {ln} \, \ left [\ frac {N} {V} \ left (\ frac {2 \ pi \ hbar ^ 2} {m k_B T} \ right) ^ {3/2 } \ right]

2. Термодинамика Ферми газа

Подробнее в статье Ферми-газ

Ферми-газ образован из фермионов - частиц, которые не могут находиться в состояниях с одинаковыми квантовыми числами. Фермионы подчиняются статистике Ферми-Дирака. Примером идеального Ферми-газа является электроны в металлах.

Уравнение состояния Ферми газа записывается в параметрическом виде

P = \ frac {g \ sqrt {2} m ^ {3/2} (k_B T) ^ {5/2}} {3 \ pi ^ 2 \ hbar ^ 3} \ int_0 ^ \ infty \ frac {z ^ {3/2} dz} {e ^ {z-\ mu / k_B T} +1} \, ,
N = \ frac {gVm ^ {3/2}} {\ sqrt {2} \ pi ^ 2 \ hbar ^ 3} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ sqrt {z} dz} {e ^ {z - \ mu / k_B T} +1} ,

где параметром является величина химического потенциала μ. Другие обозначения в этой формуле: g - фактор вырождения (2 для электронов, в которых спин 1/2), \ Hbar - возведена постоянная Планка. Меняя параметр μ и вычисляя интегралы, можно построить зависимость давления от объема для любой температуры и любого числа частиц.

При высоких температурах Ферми газ ведет себя аналогично классическому газа. Первая поправка к уравнению состояния имеет вид

PV = Nk_B T \ left (1 + \ frac {\ pi ^ {3/2}} {2g} \ frac {N \ hbar ^ 3} {V (m k_B T) ^ {3/2}} \ right) .

Таким образом, давление при том же объеме для Ферми-газа увеличивается благодаря обусловленном принципу Паули отталкиванию между частицами.

При низких температурах и высоких плотностях Ферми газ становится вырожденным, и теряет сходство с классическим идеальным газом. Условие вырождения задается неравенством

T \ ll T_F = \ frac {\ hbar ^ 2} {k_B m} \ left (\ frac {N} {V} \ right) ^ {2/3} .

Температура T_F называется температурой вырождения.

При выполнении этого условия уравнение состояния идеального электронного газа имеет вид:

P = \ frac {(3 \ pi ^ 2) ^ {2/3}} {5} \ frac {\ hbar ^ 2} {m} \ left (\ frac {N} {V} \ right) ^ {5 / 3} .

Это уравнение справедливо и для абсолютного нуля температуры. Давление вырожденного Ферми-газа не зависит от температуры.


3. Термодинамика Бозе-газа

Идеальный Бозе-газ стоит из бозонов. Отличие от классического газа в том, что бозоны невозможно никак отличить друг он друга и пронумеровать. Поведение бозонов описывается статистике Бозе-Эйнштейна. Примером системы, которая состоит из бозонов является свет.

Уравнение состояния идеального Бозе-газа записывается в параметрическом виде, который отличается от уравнения состояния Ферми газа только знаком перед единицей в знаменателе:

P = \ frac {g \ sqrt {2} m ^ {3/2} (k_B T) ^ {5/2}} {3 \ pi ^ 2 \ hbar ^ 3} \ int_0 ^ \ infty \ frac {z ^ {3/2} dz} {e ^ {z-\ mu / k_B T} -1} \, ,
N = \ frac {gVm ^ {3/2}} {\ sqrt {2} \ pi ^ 2 \ hbar ^ 3} \ int_0 ^ {\ infty} \ frac {\ sqrt {z} dz} {e ^ {z - \ mu / k_B T} -1} ,

где химический потенциал \ Mu \ le 0 .

При высоких температурах Бозе-газ ведет себя подобно классическому газа. Первая поправка к уравнению состояния

PV = Nk_B T \ left (1 - \ frac {\ pi ^ {3/2}} {2g} \ frac {N \ hbar ^ 3} {V (m k_B T) ^ {3/2}} \ right) .

Давление при том же объеме меньше давление классического газа, как между частицами Бозе-газа действует эффективное притяжение.

При низких температурах Бозе-газ вырождается, переходя в Бозе-конденсат.

Для Бозе-конденсата уравнение состояния записывается в виде:

P = 0,0851 g \ frac {m ^ {3/2} (k_B T) ^ {5/2}} {\ hbar ^ 3} .

Давление в нем не зависит от объема.


См.. также

Источники

  • Федорченко А.М. (1993). Теоретическая физика. Квантовая механика, термодинамика и статистическая физика. Т.2. Высшая школа. Проигнорирован неизвестный параметр |знаходження= (справка) , 415 с.
  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Наука. Проигнорирован неизвестный параметр |знаходження= (справка)