Интеграл

Определенный интеграл равен площади криволинейной фигуры, ограниченной кривой

Интеграл - центральное понятие интегрального исчисления, обобщение понятия суммы для функции, определенной на континууме. Существует несколько разновидностей определенных интегралов: интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Стилтьеса т.д..


1. Интеграл Римана

Интеграл Римана - простейший из определенных интегралов, является границей интегральной суммы. Для функции одной переменной f (x) , Определенной на отрезке [a, b] и определенного разбиения R этого отрезка на отрезки [X_i, x_ {i +1}] интегральная сумма признается как

S_R = \ sum_i f (\ xi_i) (x_ {i +1} - x_ {i}),

где x_i \ le \ xi_i \ le x_ {i +1} - Любая точка из отрезка.

Если существует предел таких сумм при следовании наибольшей длины отрезка [X_i, x_ {i +1}] к нулю, то функция f (x) называется интегрированной пределом интегральной суммы называется интегралом Римана функции на отрезке [A, b] и обозначается

I = \ int_a ^ b f (x) dx .

Интеграл Римана можно определить как границу сумм Дарбу.

Другие определения интеграла расширяют класс интегрированных функций, включая в них функциями, границы интегральных сумм не существует.


2. Главная теорема интегрального исчисления

Если в функции f (x) существует первоначальная F (x) , То

I = \ int_a ^ b f (x) dx = F (b) - F (a)

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница, или основной формулой интегрального исчисления.

См.. также