Надо Знать

добавить знаний



Интегральное уравнение



План:


Введение

Интегральное уравнение - уравнения, содержащего неизвестную функцию под знаком интеграла, например,

\ Varphi (t) = f (t) + \ lambda \ int_a ^ b K (t, s) \, \ varphi (s) \, ds \ (t \ in [a, b])

или

\ Varphi (t) = f (t) + \ lambda \ int_a ^ t K (t, s) \, \ varphi (s) \, ds \ (t \ in [a, b]) .

Здесь K (t, s) и f (t) - Заданные функции, а \ Varphi (t) - Искомая. Функцию K (t, s) называют ядром интегрального уравнения, а f (t) - Свободным членом; \ Lambda - Параметр (с \ Mathbb {R} или \ Mathbb {C} ). Между интегральными уравнениями и дифференциальными уравнениями существует тесная связь, некоторые задачи могут быть сформулированы обоими способами. Например, уравнения Максвелла


1. Основные виды интегральных уравнений

1.1. Линейные уравнения

Простейшим типом уравнений является уравнение Фредгольма первого рода:

f (x) = \ int_a ^ b K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt.

где φ является неизвестной функцией, f является некоторой данной функцией, K является известной функцией двух переменных, называется ядром уравнения.

Если неизвестная функция находится как под знаком интеграла так и за его пределами, то такое уравнение называется уравнений Фредгольма второго рода :

\ Varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int_a ^ b K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt.

Где параметр λ неизвестен и играет ту же роль, что собственное значение в линейной алгебре.

Если пределы интегрирования сами являются переменными то такое интегральное уравнение называется уравнением Вольтерра. Согласно уравнения Вольтерра первого и второго рода имеют вид:

f (x) = \ int_a ^ x K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt
\ Varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int_a ^ x K (x, t) \, \ varphi (t) \, dt.

Во всех представленных выше уравнениях если функция f всюду равна нулю то уравнение называется однородным. В противном случае - неоднородным.


1.2. Нелинейные уравнения

1.2.1. Уравнение Урысон

\ Varphi (x) = \ int \ limits_a ^ b K (x, \; s, \; \ varphi (s)) \, ds, \ qquad K (x, \; s, \; \ varphi) \ in C (a \ leqslant x, \; s \ leqslant b; \;-M \ leqslant \ varphi \ leqslant M).

Стала M - Некоторое положительное число, не всегда заранее можно определить.

1.2.2. Уравнения Гаммерштейна

Уравнения Гаммерштейна является частным случаем уравнений Урысон:

\ Varphi (x) = \ int \ limits_a ^ b K (x, \; s) F (s, \; \ varphi (s)) \, ds,

где K (x, \; s) - Ядро Фредгольма.

1.2.3. Уравнения Ляпунова - Лихтенштейна

Уравнения Ляпунова - Лихтенштейна - уравнение с существенно нелинейными операторами, например:

\ Varphi (x) = f (x) + \ lambda \ int \ limits_a ^ b K_ {[1]} (x, \; s) \ varphi (s) \, ds + \ mu \ int \ limits_a ^ b \ int \ limits_a ^ b K_ {[1, \, 1]} (x, \; s, \; z) \ varphi (x) \ varphi (z) \, ds \, dz + \ ldots

1.2.4. Нелинейное Уравнение Вольтерра

\ Varphi (x) = \ int \ limits_a ^ x F (x, \; s, \; \ varphi (s)) \, ds,

где функция F (x, \; s, \; \ varphi) непрерывная по всем своим переменными.

Литература

  • М. Л. Краснов. Интегральные уравнения: введение в теорию. - М.: Наука, 1975.
  • В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. Уравнения математической физики. - М.: Физматлит, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5
  • Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам