Кардинальное число

Кардинальным числом (кардиналом) в теории множеств называется объект, который характеризует мощность множества. Кардинальное число некоторого множества A обозначается как | A | или Card A

Георг Кантор давал такое определение кардинального числа: "мощностью данного множества А называется и общая идея, которая остается у нас, когда мы, мысля об этом множество, видволикаемся как от всех свойств его элементов, так и от их порядка".


Для конечного множества A кардинальным числом | A | является натуральное число, которым обозначается количество элементов этой множества.

Для бесконечных множеств кардинальное число является обобщением понятия числа элементов.

Хотя кардинальные числа бесконечных множеств не имеют отражения в натуральных числах, но их можно сравнивать:

Пусть A и B бесконечные множества, тогда логично возможны следующие четыре случая:

  1. Существует взаимно однозначное соответствие между A и B, т.е. A ~ B и | A | = | B |.
  2. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством A и некоторой собственной подмножеством B 'множества B. Тогда говорят, что мощность множества A не больше мощности множества B и записывают | A | ≤ | B |.
  3. Множество A равномощных некоторому подмножеству множества B и, наоборот, множество B равномощных некоторому подмножеству множества A, т.е. A ~ B '⊆ B и B ~ A'A. По теоремой Кантора-Бернштейна, в этом случае выполняется A ~ B, т.е. | A | = | B |.
  4. Не существует взаимно однозначного соответствия между множеством A и ни подмножеством множества B и, также, не существует взаимно однозначного соответствия между множеством B и ни подмножеством множества A. Из этой ситуации следовало бы, что мощности множеств A и B несопоставимы между собой.

Однако более глубокие исследования в теории множеств показали, что, опираясь на аксиому выбора, можно доказать невозможность четвертом случае.

Таким образом, мощности любых двух множеств A и B всегда сопоставимы между собой. Итак, для кардинальных чисел | A | и | B | произвольных множеств A и B выполняется одно из трех соотношений: | A | = | B |, | A | ≤ | B | или | B | ≤ | A |. Если | A | ≤ | B |, однако множество A неривнопотужна множестве B, то | A | <| B |.


1. Операции над кардинальными числами

Добавление

Пусть а и b два кардинальных числа. Их суммой a + b называется кардинальное число множества A ∪ B, где А и В - произвольные множества, не пересекаются такие, что: a = [A], b = [B]. Очевидно, что операция сложения коммутативна и ассоциативная.

Умножения

Произведением a \ cdot b двух кардинальных чисел а и b называется кардинальное число множества A \ times B , Где a = [A], b = [B], А и В-произвольные множества. Операция умножения коммутативна и ассоциативная.

Возведение в степень

Степенью a ^ b кардинального числа а с показателем b называется кардинальное число множества A ^ B , Где a = [A], b = [B].


2. Арифметика кардинальных чисел

Сложения и умножения кардинальных чисел являются операциями ассоциативными и коммутативными есть:

a + (b + c) = (a + b) + c

a + b = b + a

a \ cdot (b \ cdot c) = (a \ cdot b) \ cdot c

a \ cdot b = b \ cdot a

Умножение дистрибутивно относительно сложения, то есть:

a \ cdot (b + c) = a \ cdot b + a \ cdot c

Имеют место равенства:

1 ^ a = 1

a ^ 1 = a

0 \ cdot a = 0

a +0 = a


a ^ {b + k} = a ^ b \ cdot a ^ k

(A ^ b) ^ k = a ^ {b \ cdot k}

(A \ cdot b) ^ k = a ^ k \ cdot b ^ k

Истинные следующие утверждения:

1) если a \ le b и b \ le c , То a \ le c

2) если a \ le b , То a + c \ le b + c

3) если a \ le b , То a \ cdot c \ le b \ cdot c

4) если a \ le b , То a ^ k \ le b ^ k


Теорема 1.

[P (A)] = 2 ^ {[A]} для любой множества А.


Теорема 2. (Г.Кантор)

2 ^ a> a для любого кардинального числа а.


3. Числа алеф

Кардинальное число множества N всех натуральных чисел (в частности, и любой счетное множества) обозначают через \ Aleph_0 (Читается "алеф-нуль"). Кардинальное число континуальных множеств обозначают c или \ Aleph_1 ("Алеф-один"). Последующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначают \ Aleph_1, \ aleph_2, \ dots . Г. Кантор доказал, что не существует множества наибольшей мощности, то есть не существует наибольшего кардинального числа.


4. Гипотеза континуума

Континуум-гипотеза утверждает, что не существует множества, кардинальное число \ Aleph которой расположено между \ Aleph_0 (Кардиналом множества натуральных чисел) и \ Aleph_1 (Кардиналом множества действительных чисел), т.е. \ Aleph_0 < \ Aleph < \ Aleph_1 .


См.. также

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность