Надо Знать

добавить знаний



Карл Фридрих Гаусс


Carl Friedrich Gauss.jpg

План:


Введение

Иоганн Карл Фридрих Гаусс
Johann Carl Friedrich Gau
Carl Friedrich Gauss.jpg
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), портрет Кристиана Альбрехта Иенсена
Родился 30 апреля 1777 ( 17770430 )
Брауншвейг, Священная Римская империя
Умер 23 февраля 1855
Геттинген, Королевство Ганновер
Место жительства Королевство Ганновер
Национальность немец
Область научных интересов математик и физик
Заведение Геттингенский университет
Alma mater Университет Гельмштедта
Научный руководитель Иоганн Кристиан Мартин Бартельс
Известные ученики Мебиус, Лежен-Дирихле, Кирхгофф и др..
Награды медаль Копли (1838)

Иоганн Карл Фридрих Гаусс или Гаусс ( нем. Johann Carl Friedrich Gau , лат. Carolus Fridericus Gauss ; 30 апреля 1777, Брауншвейг - 23 февраля 1855, Геттинген) - немецкий математик, астроном, геодезист и физик.


1. Биография

1.1. Детство

Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 г. в Брауншвейге - одном из немецких княжеств, в то время еще не были объединены в единое централизованное государство. Отец Карла сначала работал слесарем, а потом стал садовником, совмещая это занятие с обязанностями счетовода в торговой конторе некоего купца. Он был человеком суровым, даже грубой. Мать Карла была дочерью каменщика, от природы она была женщиной умной, рассудительной, доброй и веселой. Карл был ее единственным ребенком, и она бесконечно и искренне любила его. Сын отвечал ей такой же горячей любовью. От матери он унаследовал рассудительность и мягкую натуру.

Читать и писать Карл научился сам: ему достаточно было знать лишь несколько букв, подсказанных матерью, чтобы полностью овладеть техникой чтения. Уже в раннем детстве у мальчика оказались особые способности к математике. Позже он сам в шутку говорил: "Я научился считать раньше, чем разговаривать". Рассказывают такой случай. Однажды к отцу Карла собрались сослуживцы, чтобы распределить заработанные за неделю деньги. Здесь же был и трехлетний Карл. Когда отец закончил расчеты, которые он проводил вслух, чтобы все слышали их, и объявил последствия, Карл воскликнул: "Папа, ты ошибся!" Присутствующие были поражены заявлением маленького ребенка, но отец подсчитал все сначала. Когда он назвал новую цифру (а раньше он действительно совершил ошибку), Карл воскликнул: "Теперь правильно!"


1.2. Образование

В 1784 г. Карла отдали в народной школы. Первые два года учебы он ничем не отличался среди товарищей, его исключительные способности к арифметике оказались в третьем классе. Однажды учитель дал ученикам достаточно сложная задача по арифметике: отыскать сумму некоторого количества натуральных последовательных чисел. Учитель считал, что ученики довольно долго искать ответ. Но через несколько минут Карл решил задачу. Когда учитель просмотрел решения, то увидел, что малый Гаусс изобрел способ сокращенного нахождения суммы членов арифметической прогрессии. Счастливый случай свел Гаусса с первым в учебе учащимся этой самой школы - Бартельс, они подружились, потому что оба были влюблены в математику. По совету товарища Карл начал изучать произведения великих математиков, ознакомился с теорией бинома, свойствами некоторых рядов и тому подобное.

После четырехлетнего обучения в школе Гаусс перешел в гимназию сразу во второй класс. Здесь, в гимназии, ярко проявились другие его способности - с удивительной скоростью и успешностью он овладел древними языками - греческим и латинским. Талантливого юношу представили герцога Брауншвейгского, который в дальнейшем заботился о его воспитании.

По окончании гимназии Гаусс в 1792 г. поступил в так называемой Каролинского коллегии. Здесь он продолжал успешно изучать древние языки, а вместе с тем систематически и углубленно изучал математические дисциплины. На этот период приходится его знакомство с произведениями таких выдающихся математиков, как Леонард Эйлер, Жозеф-Луи Лагранж и особенно Исаак Ньютон. Эпохальный произведение Ньютона "Математические начала натуральной философии" произвел на Гаусса глубокое впечатление и зажег в нем тот неугасимый влечение к математических исследований, который продолжался всю его жизнь.


1.3. Геттингенский университет

С 1795 г. Гаусс - студент Геттингенского университета. Он охотно посещает лекции по философии и математики. В это время он начинает свои математические исследования. На этот ранний период его творческой деятельности (ему было всего 18 лет) произошли такие открытия и работы: в 1795 г. он изобрел так называемый "Метод наименьших квадратов", у 1796 г. решил классическую задачу о разделении круга, из которого вытекала построение правильного 17-угольника, и написал большую и важную работу "Арифметические исследования", которая была напечатана в 1801 г.

Как известно, еще со времен Евклида (III в. до н. э) задача о разделении круга была предметом исследований многих ученых, причем еще тогда было доказано, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильные многоугольники, число сторон которых равна: 3.2 n, 4.2 n, 5.2 n, 15.2 n,, где n - любое натуральное число. В 1796 Гаусс доказал возможность построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Более того, он решил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашел критерий возможности построения правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки: если n - простое число, то оно должно быть вида n = 2 ^ {2 ^ k} +1 ( числа Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на своей могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг.

С 1796 года Гаусс ведет краткий дневник своих открытий. Многое он, подобно Ньютона, не публиковал, хотя это были результаты исключительной важности ( эллиптические функции, неевклидова геометрия и др.). Своим друзьям он объяснял, что публикует только те результаты, которыми доволен и считает завершенными. Многие отложенных или брошенных им идей позже воскресли в трудах Абеля, Якоби, Коши, Лобачевского и других. Кватернионы он тоже открыл за 30 лет до Гамильтона (назвав их "мутациями").

Все многочисленные опубликованные работы Гаусса содержат значительные результаты, сырых и проходных работ не было никакой.

В 1798 закончен шедевр "Арифметические исследования ( лат. Disquisitiones Arithmeticae ), Напечатан только в 1801 году. В этой работе подробно излагается теория сравнений в современных (введенных им) обозначениях, решаются сравнения произвольного порядка, глубоко исследуются квадратичные формы, комплексные корни из единицы используются для построения правильных n-угольников, изложены свойства квадратичных вычетов, приведено доказательство квадратичного закона взаимности т.д.. Гаусс любил говорить, что математика - царица наук, а теория чисел - царица математики.


1.4. Возвращение в Брауншвейг

В 1798 году Гаусс вернулся в Брауншвейге и жил там до 1807 года. Герцог продолжал опекать молодого гения. Он оплатил печать его докторской диссертации (1799) и подарил неплохую стипендию. В своей докторской Гаусс впервые доказал основную теорему алгебры. До Гаусса было много попыток это доказать, ближе к цели подошел Д'Аламбер. Гаусс неоднократно возвращался к этой теореме и дал 4 различных доказательства ее.

С 1799 года Гаусс - приват-доцент Брауншвейгского университета. В 1801 избирается членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

После 1801 года Гаусс, не порывая с теорией чисел, расширил круг своих интересов, включив в него и естественные науки. Катализатором послужило открытие малой планеты Церера ( 1801), вскоре после наблюдений потерянной. 24-летний Гаусс выполнил (за несколько часов) сложные вычисления по новому, открытым им же методом, и указал место, где искать беглянку, там она и была вскоре обнаружена, к общему восторгу.

Слава Гаусса становится общеевропейской. Много научных обществ Европы выбирают Гаусса своим членом, герцог увеличивает помощь, а интерес Гаусса к астрономии еще более возрастает.

В 1805 Гаусс женился Иоганном Остгоф. У них было трое детей.


1.5. Профессор в Геттингене

1806 от раны, полученной на войне с Наполеоном, умирает его великодушный покровитель-герцог. Несколько стран наперебой приглашают Гаусса на службу (в частности в Петербург). По рекомендации Александра фон Гумбольдта Гаусса назначают профессором в Геттингене и директору Геттингенской обсерватории. Эту должность он занимал до самой смерти.

1807 наполеоновские войска занимают Геттинген. Все граждане облагаются контрибуцией, в частности огромную сумму - 2000 франков - требуется заплатить Гауссу. Генрих Ольберс и Пьер-Симон Лаплас тут же приходят ему на помощь, но Гаусс отклонил их деньги, тогда неизвестный с Франкфурта прислал ему 1000 гульденов, и этот дар пришлось принять. Только много позже узнали, что неизвестным был курфюрст майнцский, друг Гете.

1809 вышел новый шедевр, "Теория движения небесных тел". Изложенная каноническая теория учета возмущений орбит.

Раз в четвертую годовщину свадьбы умирает Иоганна, вскоре после рождения третьего ребенка. В Германии разруха и анархия. Это самые тяжелые годы для Гаусса.

1810 вновь женился, с Минной Вальдек, подругой Иоганны. Число детей Гаусса вскоре увеличивается до шести.

1810 пришли новые почести. Гаусс получает премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества.

1811 появляется новая комета. Гаусс быстро и очень точно рассчитывает ее орбиту. Начинает работу над комплексным анализом, открывает (но не публикует) теорему, позже переоткрыть Коши и Веерштрасом : интеграл от аналитической функции по замкнутому контуру равна нулю (см. Интегральная теорема Коши).

1812: исследование гипергеометрического ряда, обобщающего разложение практически всех известных тогда функций.

Знаменитую комету "пожара Москвы" (1812) всюду наблюдают, пользуясь вычислениями Гаусса.

1815 публикует первые строгое доказательство основной теоремы алгебры.

1821 в связи с работами по геодезии Гаусс начинает исторический цикл работ по теории поверхностей. В науку входит "Кривизна Гаусса". Положено начало дифференциальной геометрии. Именно результаты Гаусса вдохновили Римана на его классическую диссертацию о "риманову геометрию".

Итогом исследований Гаусса была работа "Исследования по кривых поверхностей" (1822). В ней свободно используются общие криволинейные координаты на поверхности. Гаусс далеко развил метод конформного отображения, которое в картографии сохраняет углы (но искажает расстояния), оно применяется также в аэро / гидродинамици и электростатике.

1824 избирается иностранным членом Петербургской академии наук.

1825 открывает гауссовские комплексные целые числа, строит для них теорию делимости и сравнений. Успешно применяет их для решения уравнений высоких степеней.

1831 умирает вторая жена, у Гаусса начинается тяжелейшая бессонница. В Геттинген приезжает приглашенный по инициативе Гаусса 27-летний талантливый физик Вильгельм Вебер, с которым Гаусс познакомился в 1828 году, в гостях у Гумбольдта. Оба энтузиаста науки сдружились, несмотря на разницу в возрасте, и начинают цикл исследований электромагнетизма.

1832 выходит "Теория биквадратичных вычислений". С помощью тех же целых комплексных гауссовых чисел доказываются важные арифметические теоремы не только для комплексных, но и для действительных чисел. Здесь же он приводит геометрическую интерпретацию комплексных чисел, которая с этого момента становится общепринятой.

1833 Гаусс изобретает электрический телеграф и (вместе с Вебером) строит его действующую модель.

В 1837 Вебера увольняют за отказ принести присягу новому королю Ганновера. Гаусс вновь остался один.

В 1839 62-летний Гаусс начал изучать русский язык и в письмах в Петербургскую академию просил прислать ему русские журналы и книги, в частности "Капитанскую дочку" Пушкина. Предполагают, что это связано с работами Лобачевского. В 1842 году по рекомендации Гаусса Лобачевский избирается иностранным членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества.


1.6. Последние годы жизни

16 июня 1849 научная общественность мира отметила 50-летний юбилей творческой деятельности "короля математиков". Все научные учреждения, общества разных стран мира считали своим долгом сердечно поздравить великого математика и выразить чувства высокого уважения. В настоящее время Гаусс написал свою последнюю работу "Материалы к теории алгебраических уравнений". Долгие годы напряженного труда сказывались. Гаусс начал заметно стареть, быстро уставать. В 1851 г. великих страданий причиняли ему бессонница, одышка и кашель. До этого он почти не болел за всю свою жизнь только дважды принимал лекарства. Но теперь, когда друзья пригласили к нему врача, установившего болезнь сердца и ряд других изменений в организме, Гаусс начал лечиться, часто совершал прогулки на свежем воздухе. Здоровье его будто улучшилось. Но 23 февраля 1855 великого математика не стало. 26 февраля тело перенесли в обсерваторию, а оттуда студенты университета сопровождали его на кладбище.


2. Исследования Гаусса

Характерными чертами исследований Гаусса чрезвычайная их разносторонность и органическая связь у них между теоретической и прикладной математикой. Труды Гаусса оказали большое влияние на весь дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, теоретической астрономии. Во многих областях математики Гаусс активно содействовал повышению требований к логической четкости доказательств. "Арифметические исследования" - первое крупное произведение Гаусса, посвященный отдельным вопросам теории чисел и высшей алгебры. Постановка и разработка этих вопросов Гауссом определили дальнейшее развитие этих дисциплин. Гаусс подробно развил здесь теорию квадратичных вычетов, впервые доказал квадратичный закон взаимности - одна из центральных теорем теории чисел. В этом произведении он по новому подробно разработал теорию квадратичных форм, ранее построил Лагранж, изложил теорию разделения круга, которая во многом была прообразом теории Галуа. Гаусс разработал общие методы решения уравнений вида х n -1 = 0, а также установил связь между этими уравнениями и построением правильных многоугольников, а именно: нашел все такие значения n, для которых. правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, в частности развязал в радикалах уравнения х 17 -1 = 0 и построил правильный 17-угольник с помощью циркуля и линейки. Это было первым после древнегреческих геометров значительным шагом вперед в этом вопросе. Одновременно Гаусс составил огромные таблицы простых чисел, квадратичных вычетов и нелишкив, значений всех дробей вида от р = 1 до р = 1000 в виде десятичных дробей, доводя вычисления до полного периода (иногда требовало вычисления нескольких сотен десятичных знаков).

К. Гаусс доказал, что с помощью циркуля и линейки можно построить такой правильный n-угольник, число сторон которого выражается формулой n = 2 ^ {2 ^ r} + 1 , Где r - произвольное целое или нуль. Если r = 0, то n = 3; r = 1, то n = 5, r = 2, то n = 17. Построения треугольника и пятиугольника были известны еще древним грекам, но Гаусс первым осуществил построение правильного 17-угольника.

Исследования Гаусса о разделении круги имели большое значение не только для решения этой сложной задачи. Пожалуй, еще важнее было то, что здесь он заложил основы общей теории так называемых уравнений, где коэффициенты уравнения - комплексные числа.


2.1. Основная теорема алгебры

Очень важное значение имеет доказана Гауссом в 1799 г. основная теорема алгебры о существовании корня алгебраического уравнения. На основе этой теоремы доказано такое свойство уравнений "Алгебраическое уравнение имеет столько корней действительных или комплексных, сколько единиц в показателе его степени". За труд, в которой доказано эти теоремы, Гаусс получил звание приват-доцента.

В первой части труда "Арифметические исследования" Гаусс глубоко проанализировал вопрос о так называемых "Квадратичные излишки" и впервые доказал важную теорему из теории чисел, которую он назвал "золотой теоремой о квадратичный закон взаимности". Можно без преувеличения сказать, что теория чисел, как наука, начала свое подлинное существование именно с исследований Гаусса. "Арифметические исследования" Гаусса в математической науке создали целую эпоху, а Гаусс был признан величайшим математиком мира.

В алгебре Гаусса интересовала прежде основная теорема. К ней он не раз возвращался и дал свыше шести различных ее доказательств. Все они были опубликованы в трудах ученого в 1808-1817. В этих работах были даны указания относительно кубических и биквадратичных излишков. Теоремы о биквадратичных излишки рассматриваются в работах 1825-1831. Эти работы значительно расширили теорию чисел благодаря введению так называемых целых Гауссовых чисел, т.е. чисел вида a + bi, где а и b - целые числа. В связи с астрономическими вычислениями, основанными на разложении интегралов соответствующих дифференциальных уравнений в бесконечные ряды. Гаусс исследовал вопрос о сходимости бесконечных рядов, которые он связал с изучением т. н. гипергеометрического ряда ("О гипергеометрический ряд", 1812). Главное значение этого ряда заключается в том, что он содержит как частные случаи многие из известных трансцендентных функций, имеющие широкое применение. Эти исследования Гаусса вместе с трудами Коши и Абеля, основанные на исследованиях Гаусса, способствовали значительному развитию общей теории рядов.

Хотя Гаусс плодотворно работал в различных областях науки, но он сам часто говорил: "Я весь отдан математике". Математику он считал царицей наук, а арифметику - царицей математики. В вычислениях в уме ему не было равных. Он знал наизусть первые десятичные цифры многих логарифмов и пользовался ими при приближенных вычислениях в уме. Решая сложные задачи, он ошибался редко, цифры писал четко. Последние десятичные знаки проверял, не полагаясь на таблицы. Открытие Гаусса не сделали такого переворота, как, например, открытие Архимеда и Ньютона, но из-за их глубину, разнообразие, раскрытие новых, неизвестных до того законов природы в области физики, геодезии, математики современники считали Гаусса лучшим математиком мира. На медали, изготовленной в 1855 г. в его честь, выгравировано надпись: "Король математиков".


2.2. Вклад в области астрономии

В 1807 г. ему было присвоено звание экстраординарного, а позже и ординарного профессора Геттингенского университета. В то же время был назначен директором Геттингенской обсерватории. В области астрономии Гаусс работал около 20 лет. В 1801 г. итальянский астроном Джузеппе Пиацци открыл между орбитами Марса и Юпитера маленькую планету, которую он назвал Церерой. Наблюдал он эту планету в течение 40 дней, но Церера быстро приближалась к Солнцу и исчезла в его ярких лучах. Попытки Пиацци отыскать ее снова оказались тщетными. Гаусс заинтересовался этим явлением и, изучив материалы наблюдений Пиацци, установил, что для определения орбиты Цереры достаточно трех ее наблюдений. После чего нужно было решить уравнение 8-й степени, с чем Гаусс блестяще справился: орбита планеты была вычислена и сама Церера найдена. Таким же способом Гаусс вычислил орбиту другой малой планеты - Паллады. В 1810 г. французский астрономический институт по решению задачи о движении Паллады присудил ему золотую медаль. В этот период ученый написал и свой фундаментальный труд "Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям" ( 1809 г.).


2.3. Вклад в области геометрии

Гаусс интересовался и геометрией. Отдельные вопросы, как, например, важнейшая проблема геометрии - проблема V постулата Евклида - привлекали его особое внимание. В своих рассуждениях он шел путями, похожими па те, которые проработал Лобачевский, но не опубликовал ни одной страницы. В письме математика Бесселя Гаусс писал: "Видимо, я еще не скоро смогу обработать свои исследования по этому поводу так, чтобы их можно было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это в течение всей моей жизни, потому что боюсь крика беотийцев, который поднимается , когда я выражаю свои взгляды ".

Гаусс ознакомился с результатами исследований Лобачевского за небольшой брошюрой "Геометрические исследования по теории параллельных линий", написанной на немецком языке и изданной в 1840 г. Он заинтересовался этой работой и в свои 62 года решил выучить русский язык, чтобы читать произведения Лобачевского в оригинале. В письмах к своим друзьям Гаусс с большой похвалой отзывался о достижениях Лобачевского. Он писал, что труд Лобачевского содержит основы той геометрии, которая могла бы быть и была бы вполне последовательной, если геометрия Евклида не была правильной. Он писал также, что уже 54 года (с 1792 г.) имеет такие же убеждения. Самому Лобачевскому Гаусс собственноручно написал письмо, в котором сообщил российского ученого, что его избрали членом-корреспондентом Геттингенского математического ученого общества.


2.4. Вклад в области физики

1830-1840 годы Гаусс посвятил теоретической физике. Его исследования в этой области в значительной степени были результатом тесного общения и совместной научной работы с Вильгельмом Вебером. Вместе с Вебером Гаусс создал абсолютную систему электромагнитных единиц и сконструировал в 1833 первый в Германии электромагнитный телеграф. Ему принадлежит создание общей теории магнетизма, основ теории потенциала и многое другое. Поэтому трудно указать такую ​​отрасль теоретической или прикладной математики, в которую Гаусс не внес существенного вклада.

Из-за чрезвычайно большой требовательности к себе много исследований выдающегося математика осталось за жизнь его неопубликованными (очерки, незаконченные работы, переписка с друзьями). Это научное наследие Гаусса очень тщательно прорабатывали в Геттингенском ученому обществе. В результате было издано 11 томов произведений Гаусса. Очень интересными из наследия ученого является его дневник и исследования по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. В частности, из опубликованных материалов видно, что Гаусс пришел к мысли о возможности существования рядом с евклидовой геометрией неевклидовой в 1818. Однако опасения, что идеи неевклидовой геометрии не поймут в математическом мире, и, возможно, недостаточное осознание их научной важности были причиной того, что Гаусс их дальше не разрабатывал и ничего при жизни из этих вопросов не опубликовал. Когда опубликовал неевклидову геометрию Н. И. Лобачевский, Гаусс отнесся к этому с большим вниманием и предложил избрать Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского ученого общества, но собственной оценки большого открытия Лобачевского по существу не дал.

В архивах Гаусса найдены материалы со своеобразной теорией эллиптических функций. Однако заслуга в ее разработке и опубликовании принадлежит Карлу Якоби и Нильсу Абелю. Следует отметить, что уже современники Гаусса понимали его величие, о чем свидетельствует надпись на медали, отчеканенные в честь Гаусса, - "Король математиков". В 1880 в Брауншвейге Гауссу поставили бронзовую статую. В 1827 г. Гаусс опубликовал большую работу "Общие исследования о кривых поверхностях", содержание которого касается дифференциальной геометрии.

Значительные открытия принадлежат Гауссу и в области физики. Он исследовал и установил ряд новых законов в теории жидкостей, теории, магнетизма и т.д.. Следствием важных разработок были такие труды: "О один важный закон механики" (1820), "Общие начала теории равновесия жидкостей" (1832), "Общая теория земного магнетизма" (1838). В 1832 г. Гаусс опубликовал важную статью "О абсолютное измерение магнитных величин". Он и конструировал прибор для измерения магнитных величин ( магнитометр), выполнил первое вычисления положения южного магнитного полюса Земли, которое дало очень малое отклонение от настоящего положения. Гаусс изобрел электромагнитный способ связи (1834).


2.5. Вклад в области геодезии

Не менее успешно работал и в области геодезии. В 1836 г. Гауссу предложили провести геодезические измерения территории Ганноверского королевства. После проведения подготовительных работ ученый лично начал измерения. Работал он над этим 14 лет. Он изготовил новый измерительный прибор - гелиотроп, действовавший с помощью солнечных лучей. Вместе с тем практика измерений побудила Гаусса к теоретическим исследованиям. Следствием их были важные теоретические работы [1], которые стали основой дальнейшего развития геодезии.


2.6. Рабочий кабинет Гаусса

Работал Гаусс сам в небольшом рабочем кабинете, там был стол, конторка, окрашенная в белый цвет, узенькая софа и единственное кресло. Одет он был всегда в теплый халат и шапочку, на удачу спокойный и веселый. После напряженного труда Гаусс любил отдыхать: совершал прогулки в литературного музея, читал художественную литературу на немецком, английском и русском языках. Гаусс высоко оценивал русскую культуру и уважал талантливый русский народ. В России образованные круги, в свою очередь, высоко ценили Гаусса как ученого. Петербургская академия наук первой в мире выбрала Гаусса своим членом-корреспондентом.


3. Список терминов, связанных с именем Гаусса


Примечания

  1. Гаусс К. Ф. Избранные геодезические сочинения. Под общей ред. С. Г. Судакова. Т.1. Способ наименьшим квадратов. Под ред., С введ. Г. В. Багратуни. Пер. с лат. и нем. Н. Ф. Булаевского. - М.: Издательство геодезической литературы, 1957.

Литература

  • БОРОДИН А. И., БУГАЙ А. С. биографический словарь деятелей в области математики / Пер. с укр. - М.: Просвещение, 1979. - С. 131-134.
  • Бюлер В.Гаусс: Биографическое исследование / Пер. с англ. - Москва: Наука, 1989. - 208 с.
  • СТРОЙКА Д. Я. Краткий очерк истории математики / Пер. с нем. и доп. И. Б. Погребысского. - Изд. 4-е. - Москва: Наука, 1984. - С. 6, 7, 11, 94, 136, 163, 165, 186, 190-196, 204, 205, 207-209, 213-215, 218, 221, 230-232, 236, 240, 246, 247 , 249, 251, 261-264.
  • Детские годы Карла описаны в книге "Ирина Хомин о Карла Гаусса, Астрид Линдгрен, Николо Паганини, Камилле Клодель, Ван Гога, Соломии Крушельницкой" / И. Хомин. - Киев: Грани-Т, 2008. - 135 с. - (Серия " Жизнь выдающихся детей" ). - ISBN 978-966-2923-77-3. - ISBN 978-966-465-165-0
  • Dunnington, G. Waldo. (2003). Carl Friedrich Gauss: Titan of Science. The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-547-X. OCLC 53933110.
  • Gauss, Carl Friedrich (1965). Disquisitiones Arithmeticae. tr. Arthur A. Clarke. Yale University Press. ISBN 0-300-09473-6.
  • Hall, Tord (1970). Carl Friedrich Gauss: A Biography. Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 0-262-08040-0. OCLC 185662235.
  • Kehlmann, Daniel (2005). Die Vermessung der Welt. Rowohlt. ISBN 3-498-03528-2. OCLC 144590801.
  • Sartorius von Waltershausen, Wolfgang (1966). Gauss: A Memorial.
  • Simmons, J. (1996). The Giant Book of Scientists: The 100 Greatest Minds of All Time. Sydney: The Book Company.
  • Tent, Margaret (2006). The Prince of Mathematics: Carl Friedrich Gauss. AK Peters. ISBN 1-56881-455-0.


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам