Надо Знать

добавить знаний



Кватернионы



План:


Введение

Кватернионов - Гиперкомплексные числа, которое реализуется в 4-мерном пространстве. Впервые описанное У. Р. Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы используются как в теоретической, так и в прикладной математике, в частности для расчета поворотов в пространстве в трехмерной графике и машинном зрении.

Кватернионов имеет вид a + bi + cj + dk, \, где

a, b, c, d \, - действительные числа;

i, j, k \, - Мнимые единицы, удовлетворяющих соотношениям

i ^ 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1, \! из которых вытекают еще следующие соотношения: \ Begin {matrix} ij & = &-ji & = & k, \ \ jk & = &-kj & = & i, \ \ ki & = &-ik & = & j. \ End {matrix}

Часто вместо i, j, k \, используют обозначение для мнимых единиц соответственно i_1, i_2, i_3, \, а также возлагают i_0: = 1. \,

Еще один, изредка используемый, вариант обозначений e_0, e_1, e_2, e_3. \,

Кватернионы можно определить через комплексные числа, используя процедуру удвоения Кэли-Диксона.


1. Связанные определения

  • Для кватернионов \, Q = a + bi + cj + dk ,
действительное число \ A называется скалярной частью кватернионов, \ Vec {v} = bi + cj + dk \, - Его векторной частью.
Если \ Vec {v} = 0 , То кватернионы называется чисто скалярным, при \, A = 0 - Чисто векторным.
  • \ Overline {q_1 q_2} = \ bar {q_2} \, \ bar {q_1}
  • Как и для комплексных чисел, норма кватернионов определяется как | Q | = \ sqrt {q \ bar {q}} = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2}.
  • q ^ {-1} = \ frac {\ bar {q}} {| q | ^ 2}

Если \, | Q | = 1, то \, Q называется единичным кватернионов. Легко проверить, что | P \ cdot q | = | p | \ cdot | q | , Т.е. кватернионы имеют мультипликативную норму, с этого соотношения следует так называемая тождество четырех квадратов.


2. Алгебраические свойства

Исходя из вышеприведенных свойств мнимых единиц, нетрудно получить следующие свойства:

С некомутативности умножения следует, что система кватернионов не является полем. Однако она является телом и, таким образом, не содержит делителей нуля. Тело кватернионов обычно обозначается \ Mathbb H . Сказанное выше свидетельствует о осуществимость деления в системе кватернионов, но следует различать левое и правое деление.


3. Векторное представление

Кватернионов \ \ Mathbf {q} = a + bi + cj + dk можно представить в виде пары скаляра и 3-мерного вектора:

\ \ Mathbf {q} = (s, \ vec {v}), \ quad s = a, \ quad \ vec {v} = (b, c, d) .

Оказывается, что умножение кватернионов можно записать через скалярное и векторный произведения соответствующих 3-мерных векторов:

\ \ Mathbf {q_1 q_2} = (s_1, \ vec {v_1}) (s_2, \ vec {v_2}) = (s_1 s_2 - \ vec {v_1} \ cdot \ vec {v_2} \; \; s_1 \ vec {v_2} + s_2 \ vec {v_1} + \ vec {v_1} \ times \ vec {v_2}).

При таком подходе чисто векторные кватернионы можно отождествить с 3-мерными векторами. Тогда произведение двух таких кватернионов можно получить, отняв от их векторного произведения их скалярное произведение :

\ (0, \ vec {v_1}) (0, \ vec {v_2}) = (- \ vec {v_1} \ cdot \ vec {v_2} \; \; \ vec {v_1} \ times \ vec {v_2 }).

4. Матричное представление

Кватернионов может быть представлен в виде матрицы 2 ? 2 из комплексных чисел:

\ Begin {pmatrix} a + bi & c + di \ \-c + di & a-bi \ end {pmatrix}

5. Возведение в степень

Равенство

e ^ {\ vec {v} \ varphi} = \ cos \ varphi + \ vec {v} \ cdot \ sin \ varphi

приходится подобно формулы Эйлера сопоставлением рядов Тейлора с обеих сторон.

Запишем кватернионов в векторной (тригонометрической) форме

q = | q | (\ cos \ varphi + \ vec {v} \ cdot \ sin \ varphi) = | q | e ^ {\ vec {v} \ varphi} \ qquad | \ vec {v} | = 1 .
  • Натуральный степень:
q 2 = | q | ^ 2 (\ cos ^ 2 \ varphi - \ sin ^ 2 \ varphi + 2 \ vec {v} \ cos \ varphi \ sin \ varphi) = | q | ^ 2 (\ cos 2 \ varphi + \ vec {v} \ sin 2 \ varphi).

Использовав математическую индукцию получим:

q ^ n = | q | ^ n (\ cos n \ varphi + \ vec {v} \ sin n \ varphi), \ qquad n \ in \ N.
  • Действительно степень:
\ Ln (q) = \ ln (| q | e ^ {\ vec {v} \ varphi}) = \ ln | q | + \ vec {v} \ varphi.
q ^ a = \ left (e ^ {\ ln (q)} \ right) ^ a = \ left (e ^ {\ ln | q | + \ vec {v} \ varphi} \ right) ^ a = \ left (| q | e ^ {\ vec {v} \ varphi} \ right) ^ a = | q | ^ a \, e ^ {\ vec {v} \ varphi \ cdot a} = | q | ^ a (\ cos a \ varphi + \ vec {v} \ sin a \ varphi).

Подъем кватернионов к настоящему степени используется для интерполяции поворотов с постоянной угловой скоростью.


6. Кватернионы и повороты пространства

Основная статья Кватернионы и повороты пространства

7. Комплексные кватернионы

Иногда указанные в этой статье кватернионы называют действительными кватернионов, рассматривая также комплексные кватернионы, определение которых отличается от приведенного тем, что a, \,b, \,c, \,d \, - комплексные числа. При этом комплексная единица i \, не отождествляется с кватернионною единицей i, \, так что их приходится обозначать по-разному (например, с использованием приведенных выше альтернативных обозначений или выделяя кватернионни единицы жирным шрифтом).


Источники

  • Математический энциклопедический словарь. Москва, 1988.

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | кватернионов | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам