Надо Знать

добавить знаний



Классическая механика



План:


Введение

Классическая механика - раздел физики, изучающий движение на основе законов Ньютона и принципа относительности Галилея. Поэтому ее часто называют "ньютонов механикой". Классическая механика подразделяется на:

  • статику, т.е. физику тел в покое (и изучает вопрос их равновесия)
  • кинематику, которая изучает движение тел, не считая силы
  • динамику, которая изучает движение тел под действием сил.

Объекты, которые изучаются механикой, называются механическими системами. Задачей механики является изучение свойств механических систем, в частности, их эволюции во времени.

Базовыми понятиями классической механики является понятие силы, массы и движения. Масса в классической механике определяется как мера инерции, или способности тела к сохранению состояния покоя или равномерного прямолинейного движения при отсутствии действия на него сил. С другой стороны, силы, действующие на тело, изменяют состояние его движения, вызывая ускорение. Взаимодействие этих двух эффектов и является главной темой механики Ньютона.

Другими важными понятиями этого раздела физики является энергия, импульс, момент импульса, которые могут передаваться между объектами в процессе взаимодействия. Энергия механической системы состоит из ее кинетической (энергии движения) и потенциальной (зависимой от положения тела относительно других тел) энергий. По этим физических величин действуют фундаментальные законы сохранения.


1. История

Основы классической механики были заложены Галилеем, а также Коперником и Кеплером при изучении закономерностей движения небесных тел, и долгое время механика и физика рассматривались в контексте описания астрономических событий.

В своих работах Коперник отмечал, что вычисление закономерностей движения небесных тел может быть значительно упрощена, если отойти от принципов, заложенных Аристотелем, и считать Солнце, а не Землю, отправной точкой для таких вычислений, т.е. осуществить переход от геоцентрической к гелиоцентрической систем.

Идеи гелиоцентрической системы далее были формализованы Кеплером в его трех законах движения небесных тел. В частности, второй закон Кеплера утверждает, что все планеты солнечной системы движутся эллиптическими орбитами, имеющие одним из своих фокусов Солнце.

Следующий важный вклад в основание классической механики был осуществлен Галилеем, который, исследуя фундаментальные закономерности механического движения тел, в частности под воздействием сил земного притяжения, сформулировал пять универсальных законов движения.

Но все же лавры основного основателя классической механики относятся Исааку Ньютону, который в своей работе "Математические начала натуральной философии" осуществил синтез тех понятий по физике механического движения, которые были сформулированы его предшественниками. Ньютон сформулировал три фундаментальных законы движения, которые были названы его именем, а также закон всемирного тяготения, который подводил черту под исследованиями Галилеем явления свободного падения тел. Таким образом, была создана новая, на замену устаревшей аристотелевского, картина мира и базовых его законов.


2. Ограничения классической механики

Physicsdomains uk.svg

Классическая механика дает точные результаты для систем, которые мы встречаем в повседневной жизни. Но они становятся некорректными для систем, скорость которых приближается к скорости света, где она заменяется релятивистской механикой, или для очень малых систем, где действуют законы квантовой механики. Для систем, которые объединяют оба эти свойства, вместо классической механики применяется релятивистская квантовая теория поля. Для систем с очень большим количеством составляющих, или степеней свободы, классическая механика также может быть адекватной, зато используются методы статистической механики

Классическая механика является широко применяемой, потому что она, во-первых, гораздо проще и легче в применении, чем перечисленные выше теории, и, во-вторых, имеет большие возможности для аппроксимации и применения для очень широкого класса физических объектов, начиная с привычных, таких как волчок или мяч, в великих астрономических объектов ( планеты, галактики) и совсем микроскопических (органические молекулы).

Хотя классическая механика является в целом совместима с другими ?классическими? теориями, такими как классическая электродинамика и термодинамика, имеются некоторые несоответствия между этими теориями, которые были найдены в конце 19 века. Они могут быть решены методами более современной физики. В частности, уравнения классической электродинамики неинвариантны относительно преобразований Галилея. Скорость света входит в них как константа, что означает, что классическая электродинамика и классическая механика могли бы быть совместимы только в одной выбранной системе отсчета, повьязнаний с эфиром. Однако, экспериментальная проверка не выявила существование эфира, что привело к созданию специальной теории относительности, в рамках которой уравнения механики были модифицированы. Принципы классической механики также несовместимы с некоторыми утверждениями классической термодинамики, что приводит к парадокса Гиббса, согласно которому невозможно точно установить энтропию, и в ультрафиолетовой катастрофы, в которой абсолютно черное тело должно излучать бесконечное количество энергии. Для преодоления этих несовместимости была создана квантовая механика.


3. Математический аппарат

Базовый математический аппарат классической механики - дифференциальное и интегральное исчисление, разработанное специально для этого Ньютоном и Лейбницем. В классическом формулировке механика строится на трех законах Ньютона.

4. Изложение основ теории

Далее дается изложение базовых концепций классической механики. Для простоты будем использовать понятие материальной точки как объекта, размерами которого можно пренебречь. Движение материальной точки определяется небольшим количеством параметров: положением, массой и приложенными к нему силами.

В реальности, размеры каждого объекта, с которым имеет дело классическая механика, является ненулевыми. Материальная точка зато такая как электрон, подчиняется законам квантовой механики. Объекты с ненулевыми размерами имеют гораздо более сложную поведение, ведь их внутреннее состояние может меняться - например, мяч в движении может еще и вращаться. Тем не менее, в таких тел могут быть применены результаты, полученные для материальных точек, если рассматривать их как совокупности из множества взаимодействующих материальных точек. Такие сложные объекты могут вести себя как материальные точки, если их размеры несущественные в масштабах конкретной физической задачи.


4.1. Положение, радиус-вектор и его производные

Положение объекта (материальной точки) определяется относительно фиксированной точки в пространстве, которая называется началом координат. Оно может быть задано координатами этой точки (например, в Декартовой системе координат) или радиус-вектором r, проведенным из начала координат в эту точку. В реальности, материальная точка может двигаться с течением времени, поэтому радиус- вектор в общем случае является функцией времени. В классической механике, в отличие от релятивистской, считается, что течение времени одинаков во всех системах отсчета.


4.1.1. Траектория

Траекторией называется совокупность всех положений материальной точки, движущейся - в общем случае она является кривой линией, вид которой зависит от характера движения точки и выбранной системы отсчета.

4.1.2. Перемещение

Перемещение - это вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки.

4.1.3. Скорость

Скорость, или отношение перемещения времени, в течение которого оно происходит, определяется как первая производная от перемещения ко времени:

\ Mathbf {v} = {d \ mathbf {r} \ over dt} .

В классической механике, скорости можно прибавлять и отнимать. Например, если одна машина едет на запад со скоростью 60 км / ч, и догоняет другую, движется в том же направлении со скоростью 50 км / ч, то относительно второй машины первого движется на запад со скоростью 60-50 = 10 км / ч . Зато на перспективу быстрые машины, медленнее движется со скоростью 10 км / ч на восток.

Для определения относительной скорости в любом случае применяются правила векторной алгебры для составления векторов скорости.


4.1.4. Ускорение

Ускорение, или скорость изменения скорости - это производная от скорости до времени или вторая производная от перемещения ко времени:

\ Mathbf {a} = {d \ mathbf {v} \ over dt} .

Вектор ускорения может изменяться как по величине, так и по направлению. В частности, если скорость уменьшается, то такое ускорение можно назвать замедлением, но в физике принято любое изменение скорости называть ускорением.


4.2. Силы. Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона утверждает, что ускорение материальной точки прямо пропорциональна силе, на нее действует, а вектор ускорения направлен по линии действия этой силы. Другими словами, этот закон связывает силу, которая действует на тело с его массой и ускорением. Математически, второй закон Ньютона записывается так:

\ Mathbf {F} = {d (m \ mathbf {v}) \ over dt} .

Величина m v называется импульсом. Обычно масса m является неизменной во времени, и закон может быть переписан в более простой форме:

\ Mathbf {F} = m \ mathbf {a}

где а - ускорение, которое было определено выше. Масса тела m не всегда постоянна с течением времени. Например, масса ракеты уменьшается с использованием топлива. При таких обстоятельствах, предыдущее уравнение некорректно, и должна быть применена общая форма второго закона Ньютона.

Второго закона Ньютона самого по себе недостаточно для полного описания движения материальной точки. Он требует определения той силы, которая на нее действует. Например, типичное выражение для силы трения при движении тела в газе или жидкости определяется следующим образом:

\ Mathbf {F} _ {\ rm R} = - \ lambda \ mathbf {v}

где \ Lambda - Некоторая константа, которая называется коэффициентом трения.

После того, как определены все силы, на базе второго закона Ньютона может быть записано дифференциальное уравнение, которое называется уравнением движения. В нашем примере с лишь одной силой, которая действует на частицу, получим:

- \ Lambda \ mathbf {v} = m \ mathbf {a} = m {d \ mathbf {v} \ over dt} .

Проинтегрировав, получим:

\ Mathbf {v} = \ mathbf {v} _0 e ^ {- \ lambda t / m}

где \ Mathbf {v} _0 - Начальная скорость. Это означает, что скорость движения нашего объекта уменьшается экспоненциально к нулю. Это выражение в свою очередь может быть вновь проинтегрований для получения выражения для радиус-вектора (положение) точки в зависимости от времени.

Если на частицу действуют несколько сил, все они добавляются по правилам сложения векторов.


4.3. Энергия

Если сила F действует на частицу, которая в результате этого меняет свое положение на δ r, то при этом выполняется работа, равная:

\ Delta W = \ mathbf {F} \ cdot \ delta \ mathbf {r} .

Если масса частицы стала, то тоскуя работы, выполненные всеми силами, из второго закона Ньютона получим:

\ Delta W_ {\ rm total} = \ delta T \, ,

Где Т - кинетическая энергия. Для материальной точки она определяется как

T = {m | \ mathbf {v} | ^ 2 \ over 2} .

Для сложных объектов из многих частиц, кинетическая энергия системы является суммой кинетических энергий всех частиц.

Особый класс консервативных сил может быть выражен градиентом скалярной функции, известной как потенциальная энергия V:

\ Mathbf {F} = - \ nabla V .

Если все силы, действующие на частицу, консервативные, а V - полная потенциальная энергия, полученная добавлением потенциальных энергий всех сил, то

\ Mathbf {F} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = - \ nabla V \ cdot \ delta \ mathbf {r} = - \ delta V\, \! \ Rightarrow - \ delta V = \ delta T
\, \! \ Rightarrow \ delta (T + V) = 0 .

Т.е. полная энергия E = T + V сохраняется во времени. Это проявление одного из фундаментальных физических законов сохранения. В классической механике он может быть полезным практически, ведь много разновидностей сил в природе являются консервативными.


5. Дополнительные сведения

Законы Ньютона имеют несколько важных последствий для твердых тел (см. момент импульса)

Существуют также два важных альтернативные формулировки классической механики: механика Лагранжа и Гамильтоновых механика. Они эквивалентные механике Ньютона, но иногда оказываются полезными для анализа некоторых проблем. Они, как и другие современные формулировки, не используют понятие силы, вместо обращаясь к других физических величин, таких как энергия.


См.. также


Стандартные единицы измерения в механике (СИ)

ред.

Название Символ Размерность Физическая величина
секунда (базовая единица СИ) с Время
метр (базовая единица СИ) м Расстояние
квадратный метр м 2 Площадь
Кубический метр м 3 Объем
Метр в секунду м / с Скорость
Метр в секунду в квадрате м / с 2 Ускорение
килограмм (базовая единица СИ) кг Масса
килограмм метр в секунду кг м / с Импульс
ньютон Н кг м / с 2 Сила
паскаль Па Н / м 2 = кг / (м с 2) Давление
джоуль Дж Н ? м = кг м 2 / с 2 Энергия, Момент силы
ватт Вт Вт = Дж / ​​с = кг м 2 / с 3 Мощность
герц Гц 1 / с Частота
радиан в секунду рад / с Угловая скорость
радиан в секунду в квадрате рад / с 2 Угловое ускорение
килограмм на метр в квадрате кг м 2 Момент инерции
килограмм на квадратный метр в секунду кг м 2 / с Угловой момент



Литература

  • Ежов С. М., Макарец М.В., Романенко В. Классическая механика. - К. : ИПЦ "Киевский университет", 2008. - 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретическая механика. - К. : Высшая школа, 1975. - 516 с.
  • Голдстейн Г. Классическая механика. - М. : Наука, 1975. - 416 с.
  • Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Механика / / Теоретическая физика. - М. : Физматлит, 2007. - Т. 1. - 224 с.
  • Леви-Чивита Т., Амальды В. Курс теоретической механики (в 2-х томах, 4-х частях). - М. : ИЛ, 1951-1952. - 1702 с.
  • Лич Дж. У. Классическая механика. - М. : ИЛ, 1961. - 174 с.
п ? в ? р Главные разделы физики


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам