Надо Знать

добавить знаний



Комплексное число



План:


Введение

Комплексные числа, - расширение поля действительных чисел, обычно обозначается \ C . Любое комплексное число может быть представлено, как формальная сумма x + iy , Где x и y - Действительные числа, i - мнимая единица [1].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле - это значит, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней ( основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать много математических моделей, применяемых в математической физике и естественных науках - электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.


1. Определение

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля действительных чисел, в котором многочлен z ^ 2 +1 имеет корень. Следующая модель показывает возможность построения такой системы чисел. Все представления комплексных чисел являются изоморфными расширениями поля действительных чисел \ R , Как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z ^ 2 +1 .


1.1. Стандартная модель

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару действительных чисел (X, y) . Введем операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

  • (X, \; y) + (x ', \; y') = (x + x ', \; y + y');
  • (X, \; y) \ cdot (x ', \; y') = (xx'-yy ', \; xy' + yx ').

Действительные числа есть в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида (X, \; 0) , Причем операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением действительных чисел. Ноль представляется парой 0 = (0, \; 0), , Единица - 1 = (1, \; 0), , А мнимая единица - i = (0, \, 1). . На множестве комплексных чисел ноль и единица имеют те же свойства, что и на множестве действительных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен (-1, \; 0) , Т.е. -1.

Несложно показать, что определенные выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с числами. Исключением является только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа и при этом сохранив обычные свойства порядке, невозможно.


2. Арифметические действия и другие операции

Арифметические действия выполняются аналогично действий с многочленами, но с учетом равенства i ^ 2 = -1 \, . Пусть z_1 = a + bi \, и z_2 = c + di \, - Комплексные числа. Тогда:

  1. z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i \,
  2. z_1-z_2 = (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i \,
  3. z_1 z_2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci-bd = (ac-bd) + (ad + bc) i \,
  4. \ Frac {z_1} {z_2} = \ frac {a + ib} {c + id} = \ frac {(a + ib) (c-id)} {(c + id) (c-id)} = \ frac {ac + bd} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {bc-ad} {c ^ 2 + d ^ 2} i

Для комплексных чисел определенным образом определяют также другие операции, например, подъем к произвольному комплексного степени, логарифмирования, нахождения синуса, косинуса т.д.. Некоторые из этих операций не являются однозначными и ведут к рассмотрению многозначных функций, которые вообще часто возникают при изучении функций комплексной переменной. Теорию о функции комплексной переменной часто называют комплексным анализом). Одним из способов определения элементарных функций комплексной переменной является задание такой функции как суммы степенного ряда, в который можно разложить аналогичную функцию действительной переменной (см. Ряд Тейлора).


2.1. Связанные определения

Пусть ~ X и ~ Y - действительные числа, такие, что комплексное число ~ Z = x + iy (Обычные обозначения). Тогда

  • Числа \ Operatorname {Re} (z) и \ Operatorname {Im} (z) называются соответственно действительной (Re al) и мнимой (Im aginary) частями ~ Z .
    • Если ~ X = 0 , То ~ Z называется мнимым или чисто мнимым.
  • Число | Z | = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} называется модулем числа ~ Z . Для действительного числа модуль совпадает с его абсолютной величине. Некоторые свойства модуля:
    | Z | \ geqslant 0 \, , Причем | Z | = 0 \, тогда и только тогда, когда z = 0 \,
    | Z_1 + z_2 | \ leqslant | z_1 | + | z_2 | \, ( неравенство треугольника)
    | Z_1 \ cdot z_2 | = | z_1 | \ cdot | z_2 | \,
    | Z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,
  • Угол \ Varphi такой, что: \ Cos \ varphi = \ frac {x} {| z |} и \ Sin \ varphi = \ frac {y} {| z |} ~ , Называется аргументом ~ Z . Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа ~ Z аргумент определяется с точностью до 2 k \ pi , Где k - Любое целое число.

2.2. Сопряженные числа

Если комплексное число ~ Z = x + iy , То число ~ \ Bar z = x-iy называется сопряженным (или комплексно сопряженным) к ~ Z .

Переход к сопряженного числа можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим ее свойства.

  • \ Bar {\ bar z} = z (Сопряженное к сопряженного является начальное)
  • z \ cdot \ bar z = | z | ^ 2
  • \ Overline {z_1 \ pm z_2} = \ bar {z_1} \ pm \ bar {z_2}
  • \ Overline {z_1 \ cdot z_2} = \ bar z_1 \ cdot \ bar z_2
  • \ Overline {z_1 / z_2} = \ bar z_1 / \ bar z_2

Обобщение: \ Overline {p (z)} = p (\ bar z) , Где p (z) - Произвольный комплексный многочлен.

  • | \ Bar {z} | = | z | (Модуль сопряженного числа такой же, как у исходного)
  • \ Operatorname {Re} \ z = \ frac {z + \ bar z} {2}; \ quad \ operatorname {Im} \ z = \ frac {z-\ bar z} {2i}

3. Представление комплексных чисел

3.1. Геометрическое представление

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Комплексное число можно отождествить с точкой плоскости:

Для перехода от одной формы записи комплексного числа к другой пользуются формулой:

z = r (\ cos \ varphi + i \ cdot \ sin \ varphi) ,

где r \, и \ Varphi - Действительные числа, причем r \, положительное. В такой форме можно подать произвольное комплексное число, отличное от 0.

r \, (Называется модулем числа z \, ) - Это расстояние между точкой (A, b) \, и началом координат.
\ Varphi (Называется аргументом числа z \, ) - угол (выраженный в радианах) между правой полуосью оси абсцисс и вышеупомянутым вектором, причем угол отсчитывается против часовой стрелки (а в случае движения по часовой стрелке берется со знаком "минус").
a = r \ cos \ varphi ,
b = r \ sin \ varphi ,
r = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} \, ,
\ Cos \ varphi = \ frac {a} {r}, \ qquad \ sin \ varphi = \ frac {b} {r}, \ qquad \ text {tg} \; \ varphi = \ frac {b} {a} .

Представление числа в тригонометрической форме единственное с точностью до целого числа полных оборотов, которые можно добавлять к аргументу.

С использованием формулы формулы Эйлера можно переписать тригонометрическую форму так:

z = r e ^ {i \ varphi} .

Геометрическое представление удобное для интерпретации операций над комплексными числами. Так, сложение и вычитание комплексных чисел равносильно соответствии Сложение и вычитание соответствующих векторов. При умножении комплексных чисел их модули множатся, а аргументы прилагаются (так что поворот вокруг начала координат можно интерпретировать как умножение на определенное комплексное число с единичным модулем). При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. При подъеме комплексного числа к целому степени его модуль возвышается по этому же степени, а аргумент умножается на показатель степени, это правило называется формулой Муавра и значительно упрощает выполнение подъема комплексных чисел к большим степеней.


3.2. Матричное представление комплексных чисел

Каждому комплексному числу a + ib \, (С действительными a \, и b \, ) Можно поставить в соответствие квадратную матрицу 2-го порядка вида \ Begin {pmatrix} a &-b \ \ b & a \ end {pmatrix} . Такое соответствие задает изоморфизм между системой комплексных чисел и системой матриц такого вида, если сложению, вычитанию и умножению комплексных чисел поставить в соответствие обычные сложения, вычитания и умножения матриц. Легко видеть, что в этом представлены операции комплексного сопряжения соответствует транспонирования матрицы. Настоящая единица представляется как единичная матрица \ Begin {pmatrix} 1 & 0 \ \ 0 & 1 \ end {pmatrix} , А мнимая единица - как \ Begin {pmatrix} 0 & -1 \ \ 1 & 0 \ end {pmatrix} .

Нетрудно проследить, что действительно вышеуказанные арифметические действия дают соответствующие результаты при выполнении их над числами и над соответствующими матрицами (что и доказывает изоморфность этих структур):

  1. \ Begin {pmatrix} a &-b \ \ b & a \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} c &-d \ \ d & c \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a + c & - (b + d) \ \ b + d & a + c \ end {pmatrix} , Что соответствует действия (A + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i \, .
  2. \ Begin {pmatrix} a &-b \ \ b & a \ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix} c &-d \ \ d & c \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} ac-bd & - (ad + bc) \ \ ad + bc & ac-bd \ end {pmatrix} , Что соответствует действия (A + bi) (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i \, .

4. История

Впервые, пожалуй, мнимые величины появились в известном труде "Великое искусство, или о правилах" алгебры Кардано ( 1545), который однако, признал их непригодными к употреблению. Польза мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом случае, когда действительно корни многочлена выражается через кубическое корни из мнимых величин, не приводится, впервые оценил Бомбелли ( 1572). Выражения вида a + b \ sqrt {-1} , Появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть "мнимыми" в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Лейбниц, например, писал: "Дух божий нашел тончайшую отдушину в этом чуде анализа, урод из мира идей, двойной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы".

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексных результатов, или, например, извлечение корня может привести к открытию какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корня степени n из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса ( 1722).

Символ i = \ sqrt {-1} предложил Эйлер ( 1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius . Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мнению о замкнутости алгебры поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел д'Аламбер (1747), но первый строгий доказательство этого факта принадлежит Хаус ( 1799). Гаусс и ввел во всеобщее употребление термин "комплексное число" в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Каспара Весселя ( 1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Современное геометрическое представление, иногда называемое "диаграммой Аргана", вошло в обиход после публикации в 1806-м и 1814-м годах работы Аргана, повторяющая независимо выводы Весселя.

Арифметическая модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном ( 1837), это доказало непротиворечивость их свойств. Гамильтон предложил и обобщение комплексных чисел - кватернионы, алгебра которых некоммутативных.


Примечания

  1. В теории электрических цепей, символ \ Scriptstyle {i} иногда заменяют \ Scriptstyle {j} , Чтобы не путать со стандартным обозначением электрического тока ( \ Scriptstyle {i} ).

Статьи по математики, связанные с числами

Число | Натуральные числа | Целые числа | Рациональные числа | Иррациональные числа | Constructible numbers | Алгебраические числа | Трансцендентные числа | Computable numbers | Действительные числа | Комплексные числа | Двойные числа | Дуальные числа | Бикомплексни числа | Гиперкомплексные числа | Кватернионы | Октонионы | Седенионы | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальни числа | Кардинальные числа | P-адични числа | последовательности натуральных чисел | Математические константы | Большие числа | Бесконечность


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам