График функции f (x) = (x 2 -1) (x -2 - i) 2 / (x 2 +2 +2 i). Аргумент отражает тон изображения, а величину функции насыщенность рисунка.

Комплексный анализ, или теория функции комплексной переменной (ТФКЗ) - раздел математики, изучающий функции, которые зависят от комплексной переменной. Используется во многих разделах математики, в частности в теории чисел, прикладной математике и физике. Сочетает в себе математический анализ функций действительных переменных, дифференциальные уравнения и многие других разделов математики.

Главной задачей ТФКЗ является изучение аналитических функций, которые зависят от комплексной переменной (или мероморфних функции). Поскольку действительно и мнимая часть любой аналитической функции должна подчиняться уравнению Лапласа, комплексный анализ имеет широкое применение в поверхностных задачах физики.


1. История

Множество Мандельброта.

Комплексный анализ, как классический раздел математики, начал зарождаться в середине 19 века. Его развитие связано с именами Эйлера, Гаусса, Римана, Коши, Вейерштрасса и многих других математиков. Принято считать, что ТФКЗ является частью теории конформного отображения, и имеет много приложений в физике и аналитической теории чисел. В современности особого развития получила комплексная динамика и изображения фракталов, которые являются результатом интегрирования голоморфных функций, известным из которых является множество Мандельброта. Другие важные современные применения ТФКЗ встречаются в теории струн и квантовии теории поля.


2. Комплексная функция

Комплексной называется функция, в которой аргумент и зависимая переменная является комплексными числами. Или точнее, комплексная функция - это функция, область определения которой D является подмножеством комплексной плоскости, и область значений функции E также подмножество комплексной плоскости.

Для любой комплексной функции, аргумент и зависимая переменная должны иметь действительную и мнимую части:

z = x + iy \, и
f (z) = U (x, y) + iV (x, y) \,
где x, y \ in \ mathbb {R} \, и U (x, y), V (x, y) \, - Это функции, определенные на множестве действительных чисел.

Иными словами, компоненты функции f (z),

U = V (x, y) \, и
V = V (x, y), \,

могут быть представленными как функции, определенные в множества действительных чисел, но зависимые от двух переменных х и у.

Таким образом, на комплексной множестве можно использовать обычные действительные функции: тригонометрические и обращены им, гиперболические, логарифмические и т.д. Кроме этого эти функции можно распространить на комплексными множество и вычислять их значение для комплесных чисел.


Литература

  • Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного. - Москва: Физматгиз, 1973. (Рус.)
  • Долженко Е. П., Ермаков А. И. Теория функции комплексной переменной и некоторые ее применения: Учебное пособие. - М.: Изд-во ВНУ им. В. Даля, 2003.

См.. также


Сигма Это незавершенная статья по математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.