Конус

Прямой и наклонный конусы

Конус - геометрическое тело, полученное путем объединения всех лучей, исходящих из одной точки - вершины конуса, и таких проходящих через произвольную плоскую поверхность.

По ГОСТ: конус - обобщенный термин, под которым в зависимости от конкретных условий понимают коническую поверхность, коническую деталь или конический элемент [1]

Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (которую в таком случае называют основанием конуса, а конус называют таким, опирающегося на эту поверхность). В дальнейшем будет рассматриваться именно этот случай, если не сказано о другом.

Отрезок, опущенный перпендикулярно с вершины на плоскость основания (а также его длина), называется высотой конуса. Если площадь основания имеет конечное значение, то объем конуса также конечное значение и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом все конусы, опирающиеся на эту основу, и имеют вершину в плоскости, параллельной этой основе, имеют равный объем, поскольку их высоты равны. Если основой конуса является многоугольник, тогда конус становится пирамидой. Таким образом пирамиды является подмножеством конусов.

Отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой его основания называется образующей конуса. Множество всех образующих конуса называется боковой поверхностью конуса.

Если основание конуса имеет центр симметрии (например, есть эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на его основание совпадает с этим центром, то конус называется прямым. При этом прямая, соединяющая вершину конуса с центром его основания называется осью конуса. Если же ортогональная проекция вершины не совпадает с центром основания, то такой конус называется косым.


1. Конус вращения

Если основой конуса является круг, то конус называют круговым. Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов, который таким образом станет осью конуса. Конус вращения в прямоугольной системе координат описывается системой неравенств:

\ Left \ {{{x ^ 2 + y ^ 2 \ le \ left (\ frac {zr} {h} \ right) ^ 2} \ atop {0 \ le z \ le h}} \ right.
где r> 0, \ h> 0

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от расположения секущей плоскости).

Часть конуса, лежащей между основанием и плоскостью, параллельной к основанию и находится между вершиной и основанием, называется срезанным конусом.

Конус, опирающийся на эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).


2. Площадь поверхности конуса

Прямой конус

Полная площадь прямого кругового конуса

S = \ pi r (r + l) ,

где r и l - радиус окружности основания и длина образующей боковой поверхности соответственно.

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса

S_b = \ pi r l ,

где r и l - радиус окружности основания и длина образующей боковой поверхности соответственно.


3. Объем конуса

В общем случае:

V = \ frac {1} {3} Sh ,

где S - площадь основания, h - высота конуса.

Объем кругового конуса, соответственно:

V = \ frac {1} {3} \ pi r ^ 2h ,

4. Угол конуса

Этот термин означает угол \ Alpha при вершине в осевом сечении конуса.

\ Alpha = 2 \ operatorname {arctg} \ frac {r} {h}

4.1. Объем шара, описанной вокруг прямого кругового конуса

V_k = {1 \ over 6} \ pi \ frac {l ^ 6} {(l ^ 2-r ^ 2) \ sqrt {l ^ 2-r ^ 2}}
где l - Образующая конуса;

r - Радиус основания конуса.

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Примечания

  1. ДСТУ 2499-94 Конусы и конические соединения. Термины и определения.

Источники

  • Геометрия. 10-11 классы [Текст]: пробный учебник / Афанасьева О. М. [и др.].. - М.: Учебная книга-Богдан, 2003. - 264 с. - ISBN 966-692-161-8