Корреляция

В теории вероятностей и математической статистике, корреляция является зависимостью двух случайных величин. При этом, изменение одной или нескольких этих величин приводит к систематической изменения другого или других величин. Математической степени корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Корреляция может быть положительной и отрицательной (возможна также ситуация отсутствия статистической связи - например, для независимых случайных величин). Отрицательная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой, при этом коэффициент корреляции отрицательный. Положительная корреляция - корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой, при этом коэффициент корреляции положительный.


1. Коэффициент корреляции

Пусть \ Mathbf {X} и \ Mathbf {Y} - случайные величины с математическим ожиданием μ X и μ Y. Их коэффициент корреляции обозначается как \ Rho (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) и равна: [1]

\ Rho (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) = \ frac {\ mathrm {Cov} (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y})} {\ sigma_X, \ sigma_Y} = {E (( X-\ mu_X) (Y-\ mu_Y)) \ over \ sigma_X \ sigma_Y}

где

\ Mathrm {Cov} (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) - ковариация величин \ Mathbf {X} и \ Mathbf {Y} ,
\ Sigma_X, \ sigma_Y - стандартное отклонение величин \ Mathbf {X} и \ Mathbf {Y} ,
E - оператор математического ожидания.

2. Свойства

Если X и Y - независимые, то коэффициент корреляции \ Rho (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) равен 0. Обратное утверждение неверно. Коэффициент корреляции может равняться 0 даже если Y является функцией от X. [1]

Всегда выполняется неравенство: [1]

| \ Rho (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) | \ le 1 .

Причем, \ Rho (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) = \ pm 1 тогда и только тогда, когда \ Mathbf {Y} = a \ mathbf {X} + b , Где a и b - постоянные.