Надо Знать

добавить знаний



Кривая



План:


Введение

Кривая - линия в евклидовом пространстве или в многообразия.

Уравнение кривой можно задавать в параметрической форме:

x ^ i = x ^ i (t) \,

где x ^ i \, - Координаты точек кривой в некоторой системе координат, заданной в Евклидовом пространстве или многообразия, а t - Скалярный параметр (его можно физически представлять моментом времени t = time, а саму кривую как траекторию движения точки)

Рассмотрим уравнение кривой в Декартовой системе координат n -Мерного евклидова пространства. Введем обозначения радиус-вектора точки кривой:

\ Mathbf {r} = \ {x ^ 1, x ^ 2, ... x ^ n \}

1. Касательный вектор

Производную по параметру обозначать точкой сверху:

\ Dot \ mathbf {r} = {d \ mathbf {r} \ over dt}
\ Dot x ^ i = {dx ^ i \ over dt}

Очевидно, что вектор \ Mathbf {v} = \ dot \ mathbf {r} (В физическом интерпретации скорость точки) является касательным к кривой.

2. Длина кривой

Квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками \ Mathbf {r} и \ Mathbf {r} + d \ mathbf {r} равна:

(1) \ qquad ds ^ 2 = (d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r}) = \ sum_i (dx ^ i) ^ 2 = \ sum_i (d \ dot x ^ i) ^ 2 \, (dt) ^ 2

Длина отрезка кривой, когда параметр t пробегает значения от t_1 к t_2 , Дается интегралом:

(2) \ qquad s = \ int_ {t_1} ^ {t_2} ds = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ sqrt {\ dot x ^ i \ dot x ^ i} \, dt

Если в интеграле (2) рассматривать верхний предел как переменный параметр, то есть функцию s = s (t) , Определенную с точностью до константы (точки отсчета, или нижней границы в интеграле (2)). Эта величина s также параметризуе точки нашей кривой; s называется натуральным параметром кривой.

Если вектор скорости \ Mathbf {v} = \ dot \ mathbf {r} нигде не превращается в ноль, то подынтегральная функция в (2) положительная, а значит функция s = s (t) везде монотонно возрастает и имеет обратную функцию t = t (s) .


3. Кривизна кривой

Из равенства ds ^ 2 = (d \ mathbf {r} \ cdot d \ mathbf {r}) следует, что производная радиус-вектора по натуральному параметру кривой:

\ Boldsymbol {\ tau} = {d \ mathbf {r} \ over ds}

является касательным вектором единичной длины.

(3) \ qquad \ boldsymbol {\ tau} ^ 2 = (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ boldsymbol {\ tau}) = 1

Дифференцируя (3) по натуральному параметру имеем:

{D \ over ds} (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ boldsymbol {\ tau}) = 2 (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot {d \ boldsymbol {\ tau} \ over ds}) = 0

Итак вектор \ Mathbf {k} = {d \ boldsymbol {\ tau} \ over ds} = {d ^ 2 \ mathbf {r} \ over ds ^ 2} ортогональный к кривой. Этот вектор принято раскладывать на произведение единичного вектора \ Mathbf {n} нормали к кривой, и скаляра k который называется кривин:

\ Mathbf {k} = k \ mathbf {n}

4. Геометрический смысл кривизны

Покажем (даже двумя способами), что кривизна равна обратной величине радиусу R касательной круга:

(4) \ qquad k = {1 \ over R}

Первый способ: через угол между касательными векторами единичной длины в соседних точках кривой. Пусть в точке с параметром s имеем касательный вектор \ Mathbf {\ tau} , А в точке с параметром s '= s + \ Delta s - Касательный вектор \ Mathbf {\ tau} '= \ mathbf {\ tau} + \ Delta \ mathbf {\ tau} . Эти два вектора имеют одинаковую длину (единицу), и если их начала свести в одну точку, образуют равнобедренный треугольник. Если угол между векторами обозначить \ Delta \ alpha , То длина третьей стороны будет равна:

| \ Delta \ boldsymbol {\ tau} | = 2 \ sin {{\ Delta \ alpha} \ over 2} \ approx \ Delta \ alpha

Поскольку для окружности радиуса R имеем \ Delta s = R \ Delta \ alpha , То есть для кривизны кривой:

k = | {{d \ boldsymbol {\ tau}} \ over ds} | \ approx {| \ Delta \ boldsymbol {\ tau} | \ over \ Delta s} = {{\ Delta \ alpha} \ over {R \ Delta \ alpha}} = {1 \ over R}

Второй способ: через уравнение круга. Для простоты формул, возьмем начало координат евклидова пространства в точке кривой, для которой мы будем искать ближайший круг, а также будем отчислять натуральные параметры кривой и круга от этой же точки. С точностью до членов второго порядка малости имеем для точек кривой:

(5) \ qquad \ mathbf {r} \ approx {d \ mathbf {r} \ over ds} s + {\ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix}} {d ^ 2 \ mathbf {r} \ over ds ^ 2} s ^ 2 = \ mathbf {\ tau} s + {\ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix}} \ mathbf {k} s ^ 2

Окружность радиуса R , Касательное к вектору \ Mathbf {\ tau} , Иметь центр в ортогональной к \ Mathbf {\ tau} гиперплоскости. Запишем координаты центра круга в виде \ Mathbf {r} _c = R \ mathbf {n} , Где \ Mathbf {n} является произвольным (пока) единичным вектором, лежащим в этой гиперплоскости. Есть ортогональность:

(\ Mathbf {n} \ cdot \ boldsymbol {\ tau}) = 0

Уравнение точки окружности в параметрической форме (параметром является центральный угол):

(6) \ qquad \ mathbf {r} '= R \ sin t \ boldsymbol {\ tau} + R (1 - \ cos t) \ mathbf {n}

Учтем, что длина дуги окружности равна s = Rt , И разложим последнее уравнение в ряд с точностью до слагаемых второго порядка малости:

(7) \ qquad \ mathbf {r} '\ approx Rt \ boldsymbol {\ tau} + {\ begin {matrix} \ frac {1} {2} \ end {matrix}} Rt ^ 2 \ mathbf {n} = \ boldsymbol {\ tau} s + {1 \ over {2R}} \ mathbf {n} s ^ 2

Сравнивая равенства (5) и (7), имеем что круг будет совпадать с кривой с точностью до членов второго порядка ( \ Mathbf {r} '\ approx \ mathbf {r} ), Если:

(8) \ qquad \ mathbf {k} = {1 \ over {R}} \ mathbf {n}

5. Типы кривых


5.1. Типы точек на кривой

6. Скрут

Если евклидово пространство имеет размерность n \ ge 3 , То можно поставить вопрос о смене ориентации касательной плоскости (в которой лежат касательный вектор \ Mathbf {\ tau} и вектор нормали \ Mathbf {n} ) При движении вдоль кривой. Рассмотрим бивектор (специальную антисимметрична матрицу, компоненты которой выражены через координаты векторов \ Mathbf {\ tau} и \ Mathbf {n} ) \ Mathbf {\ sigma} = \ mathbf {\ tau} \ wedge \ mathbf {n} :

\ Sigma_ {ij} = \ tau_i n_j - \ tau_j n_i

Величина этого бивектора равен единице (площади квадрата, построенного на векторах \ Mathbf {\ tau} и \ Mathbf {n} ):

\ Sum_ {i <j} (\ sigma_ {ij}) ^ 2 = {1 \ over 2} \ sum_ {i, j} (\ tau_i n_j - \ tau_j n_i) ^ 2 = {1 \ over 2} \ sum_ {i, j} (\ tau_i ^ 2 n_j ^ 2 + \ tau_j ^ 2 n_i ^ 2 - 2 (\ tau_i n_i) (\ tau_j n_j)) = (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ boldsymbol {\ tau} ) (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {n}) - (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ mathbf {n}) ^ 2 = 1

Производная бивектора по натуральному параметру равна:

\ Dot \ boldsymbol {\ sigma} = \ dot \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ mathbf {n} + \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} = k \ mathbf {n} \ wedge \ mathbf {n} + \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} = \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n}

Отсюда делаем вывод, что две плоскости \ Boldsymbol {\ sigma} и \ Boldsymbol {\ sigma} '= \ boldsymbol {\ sigma} + \ Delta \ boldsymbol {\ sigma} пересекаются по прямой, касательной к кривой (содержат вектор \ Boldsymbol {\ tau} ):

\ Boldsymbol {\ sigma} '= \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ mathbf {n} + \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} \ Delta s = \ boldsymbol {\ tau} \ wedge ( \ mathbf {n} + \ dot \ mathbf {n} \ Delta s)

Следовательно касательная плоскость при движении вдоль кривой вращается "вокруг" касательной прямой. Поворот в трехмерном пространстве имеет очевидный смысл, в пространствах большей размерности поворот означает угол между нормалями к общей прямой. Производная угла поворота по натуральному параметру называется свивкой:

\ Varkappa = {d \ phi \ over ds} = | \ boldsymbol {\ tau} \ wedge \ dot \ mathbf {n} |

7. Формулы Френе-Серре

Рассмотрим подробнее случай кривой в трехмерном пространстве. Два единичные вектора \ Boldsymbol {\ tau} и \ Mathbf {n} мы можем дополнить третьим их векторным произведением:

\ Mathbf {f} = \ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {n}

Эти три вектора образуют репер (переменный базис в трехмерном пространстве), и мы можем поставить вопрос, как производные по натуральному параметру от векторов репера ( \ Dot \ boldsymbol {\ tau} , \ Dot \ mathbf {n} i \ Dot \ mathbf {f} ) Разлагаются по этому же базису. Мы уже знаем, что \ Dot \ boldsymbol {\ tau} = k \ mathbf {n} . Остается найти производные еще двух единичных векторов. Начнем с единичного вектора нормали \ Mathbf {n} . С постоянства величины этого вектора находим:

0 = {d \ over ds} (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {n}) = 2 (\ mathbf {n} \ cdot \ dot \ mathbf {n})

Есть производная \ Dot \ mathbf {n} ортогональная до самого вектора нормали \ Mathbf {n} , А потому разлагается по двум другим векторам репера:

(9) \ qquad \ dot \ mathbf {n} = \ alpha \ boldsymbol {\ tau} + \ beta \ mathbf {f}

Пользуясь этим расписанию, можно найти и производную \ Dot \ mathbf {f} :

\ Dot \ mathbf {f} = {d \ over ds} (\ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {n}) = \ dot \ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {n} + \ mathbf {\ tau} \ times \ dot \ mathbf {n} = k \ mathbf {n} \ times \ mathbf {n} + \ mathbf {\ tau} \ times (\ alpha \ mathbf {\ tau} + \ beta \ mathbf {f }) = \ beta \ boldsymbol {\ tau} \ times \ mathbf {f} = - \ beta \ mathbf {n}

Найдем коэффициенты разложения \ Alpha и \ Beta . Из последней формулы видно, что \ Beta (С точнитю до знака) является скоростью поворота единичного вектора \ Mathbf {f} , А следовательно и касательной к кривой плоскости ( \ Mathbf {f} является вектором нормали к этой плоскости). Так этот коэффициент свивкой: \ Beta = \ varkappa . Коэффициент \ Alpha можно найти, скалярно умножив равенство (9) на \ Boldsymbol {\ tau} :

\ Alpha = (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ dot \ mathbf {n}) = {d \ over ds} (\ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ mathbf {n}) - (\ dot \ boldsymbol {\ tau} \ cdot \ mathbf {n}) = - (k \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {n}) =-k

В итоге получаем систему трех уравнений:

\ Dot \ boldsymbol {\ tau} = \ qquad k \ mathbf {n}
\ Dot \ mathbf {n} =-k \ boldsymbol {\ tau} \ qquad + \ varkappa \ mathbf {f}
\ Qquad \ dot \ mathbf {f} = \ qquad - \ varkappa \ mathbf {n}

Эти уравнения открыли два французских математика: Жан Фредерик Френе (1852) и Жозеф Альфред Серре (1851).

Коэффициент \ Varkappa в формулах Френе-Серре может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, правой или левой винтовой линии аппроксимируется наша кривая в окрестности данной точки.


8. Смотрите также


Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам