Надо Знать

добавить знаний



Леонард Эйлер


Leonhard Euler 2.jpg

План:


Введение

Леонард Эйлер
Leonhard Euler 2.jpg
Портрет Иоганна Георга Брюкера
Родился 15 апреля 1707
Базель, Швейцария
Умер 18 сентября 1783
Санкт-Петербург, Россия
Место жительства Королевство Пруссия, Россия
Швейцария
Национальность Швейцарец
Alma mater Базельский университет
Известен благодаря: уравнения Эйлера и другие

Леонард Эйлер ( нем. Leonhard Euler МФА : [Ɔʏlɐ] ) [1] [2]; 15 апреля 1707, Базель, Швейцария - 18 сентября 1783, Санкт-Петербург, Россия) - швейцарский математик и физик, который провел большую часть своей жизни в России и Германии. Традиционное написание "Эйлер" происходит от рус. Леонард Эйлер .

Эйлер совершил важные открытия в таких различных областях математики, как математический анализ и теория графов. Он также ввел большую часть современной математической терминологии и обозначений, в частности в математическом анализе, как, например, понятие математической функции [3]. Эйлер известный также благодаря своим работам в механике, динамике жидкости, оптике и астрономии, других прикладных науках.

Эйлер считается выдающимся математиком 18-го века, а, возможно, даже всех времен. Он также является одним из самых плодотворных - сборник всех его произведений заняла бы 60-80 томов [4]. Влияние Эйлера на математику описывает выражения "Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он метром всех нас", которое приписывается Лапласу ( фр. Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre ma?tre ? tous ) [5].

Эйлер увековечен в шестой серии швейцарских 10 франков и на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В его честь названа астероид 2002 Эйлер. Он также отмечен лютеранской церковью в церковном календаре (24 мая) - Эйлер был набожным христианином, верил в библейскую непогрешимость, решительно выступал против видных атеистов своего времени.



1. Жизнь

Швейцарские 10 франков с портретом молодого Эйлера

1707 в немецкоязычной части Швейцарии в семье священника Пауля Эйлера (Paul Euler) и Маргареты Брукнер (Margarethe Bruckner) родился первый сын - Леонард Эйлер. В родном Базеле он посещает гимназию и одновременно берет частные уроки у математика Иоганнеса Буркгардтом (Johannes Burckhardt).

С 1720 года учится в университете Базеля и слушает лекции Иоганна Бернулли. В 1723 получает научное звание магистра по сравнению латыни философий Ньютона и Декарта. От своего замысла изучать также и теологию отказывается в 1725. А 17 мая 1727 года по приглашению Даниэля Бернулли принимает профессуру в университете Санкт-Петербурга, которая принадлежала к тому Николаусу II Бернулли, умершему 1726 года. Здесь он знакомится с Кристианом Гольдбаха (Christian Goldbach). 1730 Эйлер получает профессуру физики, а 1733 получает место профессора математики, которое до этого принадлежало Даниэлю Бернулли.

В последующие годы Эйлер постепенно теряет зрение, в 1740 году он ослеп на один глаз.

Мемориальная доска на доме в Берлине, где проживал Эйлер

В 1741 принимает приглашение короля Пруссии Фридриха Великого возглавить Берлинскую академию и восстановить ее репутацию, которая находилась в упадке после предыдущего руководителя - придворного шута. Эйлер продолжает переписываться с Кристианом Гольдбаха. После 25 лет в Берлине Эйлер возвращается 1766 в Санкт-Петербург. Причиной этого была также неприязнисть и унижения со стороны деспотического короля.

1771 Эйлер окончательно слепнет, несмотря на это почти половина его работ возникла во время второго пребывания в Санкт-Петербурге. В этом ему помогают оба сына Иоганн Альбрехт (Johann Albrecht) и Кристоф (Christoph).

1783 Эйлер умирает вследствие кровоизлияния в мозг.


2. Вклад в науку

портрет Леонарда Эйлера, выполнен Эмануэлем Гандманном в 1753 г. (Находится в музее искусства г. Базель)

Эйлер является автором 866 научных публикаций, в том числе в отраслях математического анализа, дифференциальной геометрии, теории чисел, теории графов, приближенных вычислениях, небесной механики, математической физики, оптики, баллистики, кораблестроении, теории музыки, имевших значительное влияние на развитие науки. Именно он ввел большинство математических понятий и символов в современную математику, например: f (x), e, π (пи), мнимая единица i, символ суммы Σ и многие другие.


2.1. Математические обозначения

Эйлер ввел и спопуляризував в своих широко распространенных в то время учебниках несколько обозначений. В частности, он представил концепцию функции [3] и впервые написал f (x), чтобы обозначить функцию f примененную к аргументу x. Он также ввел современные обозначения тригонометрических функций, букву e как основу натурального логарифма (сейчас известная как число Эйлера), греческую букву Σ для суммы и букву i, чтобы обозначить мнимую единицу [6]. Использование греческой буквы π, чтобы обозначить отношение длины окружности к ее диаметру было также спопуляризоване Эйлером, хотя не было им придумано [7].


2.2. Анализ

В 18-ом веке происходил значительный прогресс анализа бесконечно малых. Благодаря влиянию Бернулли (друзей семьи Эйлера), исследования в этом направлении стали основными в работах Эйлера. Хотя некоторые из доказательств Эйлера не являются приемлемыми по современным стандартам математической строгости [8], его идеи привели к значительному прогрессу.

Эйлер хорошо известен в анализе с частого использования и развития степенных рядов, выражающие функцию в виде суммы бесконечного множества степенных функций, например

e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty {x ^ n \ over n!} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {0!} + \ frac {x } {1!} + \ frac {x ^ 2} {2!} + \ cdots + \ frac {x ^ n} {n!} \ right).

Именно Эйлер прямо доказал расклад в ряд экспоненты и арктангенса (косвенное доказательство через обратные степенные ряды было дано Ньютоном и Лейбницем между 1670 и 1680 годами). Использования им степенных рядов позволило решить в 1735 году знаменитую Базельскую проблему [8] (строго доказательства было им совершено в 1741 году)

\ Sum_ {n = 1} ^ \ infty {1 \ over n ^ 2} = \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {1} {1 ^ 2} + \ frac {1} {2 ^ 2} + \ frac {1} {3 ^ 2} + \ cdots + \ frac {1} {n ^ 2} \ right) = \ frac {\ pi ^ 2} {6}.
Геометрическая интерпретация формулы Эйлера

Эйлер начал использование в аналитических доказательствах экспоненты и логарифмов. Ему удалось разложить в степенной ряд логарифмическую функцию и, с помощью этого расписания, определить логарифмы для отрицательных и комплексных чисел [6]. Он также расширил множество определения экспоненциальной функции на комплексные числа, и обнаружил связь экспоненты из тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа x выполняется равенство:

~ E ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x .

Частным случаем формулы Эйлера при x = \ pi есть тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

e ^ {i \ pi} +1 = 0 ,

названной Ричардом Фейнманом "замечательной математической формулой". [9]. В 1988 году читатели журнала Mathematical Intelligencer в голосовании назвали ее "самой красивой математической формулой всех времен" [10].

Следствием Формулы Эйлера является формула Муавра.

Кроме того, Эйлер разработал теорию специальных трансцендентных функций, введя гамма-функцию и представил новые методы решения уравнения четвертой степени. Он также нашел способ вычисления интегралов с комплексными пределами, опережали развитие современного комплексного анализа, и начал вариационное исчисление, в том числе получил его известный результат, уравнение Эйлера-Лагранжа.

Эйлер также был пионером в использовании аналитических методов решения задач теории чисел. Таким образом, он объединил две разрозненные области математики и внедрил новую область исследований, аналитическую теорию чисел. Началом было созданием Эйлером теории гипергеометрических рядов, Q-Series, гиперболических тригонометрических функций и аналитической теории обобщенных дробей. Например, он доказал бесконечность простых чисел с помощью разногласия гармоничного ряда, использовал методы анализа, чтобы узнать о распределении простых чисел. Эйлеру работы в этой области привели к появлению теоремы о распределении простых чисел [11].


2.3. Теория чисел

Интерес Эйлера теорией чисел можно объяснить влиянием Христиана Гольдбаха, вторая из Санкт-Петербургской Академии. Многие ранних работ Эйлера по теории чисел базировалось на работах Пьера Ферма. Эйлер разработал некоторые идеи Ферма, и опроверг некоторые из его предположений.

Эйлер связал характер распределения простых чисел с идеями из анализа. Он доказал, что сумма обратных к простых чисел расходится. В этот способ он обнаружил связь между дзета-функции Римана и простыми числами, результат известен как ?тождество Эйлера в теории чисел".

Эйлер доказал тождества Ньютона, малую теорему Ферма, теорему Ферма о суммах двух квадратов, внес значительный вклад в теорему Лагранжа о четырех квадраты. Он также изобрел функцию Эйлера φ (N), равное числу положительных чисел, не превышающих натурального N и которые взаимно просты с N. Используя свойства этой функции, он обобщил малую теорему Ферма к тому, что сейчас называется теоремой Эйлера. Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел, которой математики были очарованы со времен Евклида. Эйлер также достиг прогресса в направлении теоремы о распределении простых чисел и выдвинул гипотезу квадратичной взаимности. Эти два понятия рассматриваются в качестве основных теорем теории чисел, а его идеи подготовили почву для работ Гаусса [12].

До 1772 года Эйлер доказал, что 2 31 - 1 = 2147483647 является числом Мерсенна. Правдоподобно, это число было самым известным простым до 1867 года [13].


2.4. Теория графов

Карта Кенигсберга со времен Эйлера, показано фактическое расположение семи мостов через реку Преголя.

В 1736 году, Эйлер решил проблему, известную как Семь мостов Кенигсберга [14]. Город Кенигсберг (сегодня Калининград) в Пруссии расположен на реке Преголя и включает два больших острова, которые были связаны друг с другом и с материком семью мостами. Проблема заключается в том, можно ли найти путь, который проходит каждым мостом ровно один раз и возвращается к исходной точке. Ответ отрицательный: нет цикла Эйлера. Это утверждение считается первой теоремой теории графов, в частности, в теории планарных графов [14].

Эйлер также доказал формулу V - E + F = 2, связывает число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника [15], а следовательно, и планарных графов (для планарных графов V - E + F = 1). Левая сторона формулы, известная теперь как эйлерова характеристика графа (или иного математического объекта), связана с понятием рода поверхности [16].

Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши [17] и L'Huillier, [18] были началами топологии.


2.5. Прикладная математика

Среди наибольших успехов Эйлера были аналитические решения практических задач, описание многочисленных приложений чисел Бернулли, рядов Фурье, диаграмм Венна (также круги Эйлера), чисел Эйлера, констант е и π, цепных дробей и интегралов.

Он соединил дифференциальное исчисление Лейбница с Ньютоновской методом флюксий, и создал инструменты, которые сделали применение анализа к физическим проблемам проще. Он добился больших успехов в совершенствовании численного приближения интегралов, изобрел то, что в наше время [ Когда? ] известное как метод Эйлера и формула Эйлера-Маклорена. Он также способствовал использованию дифференциальных уравнений, в частности, вводя постоянную Эйлера-Маскерони :

\ Gamma = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} + \ frac {1} {4} + \ cdots + \ frac { 1} {n} - \ ln (n) \ right).

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке. В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae, надеясь в конце концов включить музыкальную теорию к математике. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и была однажды названа "слишком математической для музыкантов и очень музыкальным для математиков" [19].


2.6. Физика

Леонард Эйлер внес значительный вклад в развитие механики, в частности в решение задачи о вращении абсолютно твердого тела. Подход Эйлера связан с понятиями Эйлерова углов и кинематических уравнений Эйлера. В 1757 Эйлер опубликовал мемуар "Principes generaux du mouvement des fluides" (Общие принципы движения флюидов), в котором записал уравнения движения несжимаемой идеальной жидкости, получившие название уравнений Эйлера. Результатом работы над задачей о деформацию бруса при нагрузке стали уравнения Эйлера-Бернулли, которые впоследствии нашли применение в инженерной науке, в частности при проектировании мостов.

Эйлер работал над общими проблемами механики, развивая принцип Мопертюи. Основные уравнения лагранжевой механики часто называют уравнениями Эйлера-Лагранжа.

Эйлер применял разработаны математические методы для решения проблем небесной механики. Его труды в этой области получили несколько наград Парижской академии наук. Среди его достижений определения с большой точностью орбит комет и других небесных тел, объяснения природы комет, расчет параллакса Солнца. Расчеты Эйлера стали значительным вкладом в разработку точных таблиц широт [20].

Важное значение для своего времени имел вклад Эйлера в оптику. Он отрицал господствующую тогда корпускулярную теорию света Ньютона. Труды Эйлера протяжении 1740-х годов помогли утвердиться волновой теории света Христиана Гюйгенса [21].


2.7. Астрономия

Большая часть астрономических сочинений Эйлера посвящена актуальным в то время вопросам небесной механики, а также сферической, практической и мореходной астрономии, теории приливов, теории астрономического климата, рефракции света в земной атмосфере, параллакса и аберрации, вращению Земли. В области небесной механики Эйлер внес существенный вклад в теорию возбужденного движения. Еще в 1746 он вычислил возмущения Месяца и опубликовал лунные таблицы. Одновременно с А.К.Клеро и Ж.Л.Д "Аламбером и независимо от них Эйлер разрабатывал общие теории движения Луны, в которых он исследовался с весьма высокой точностью. Первая теория, в которой применен метод разложения искомых координат в ряды по степеням малых параметров и данная частичная разработка аналитического метода вариации элементов орбиты, была опубликована в 1753. Эта теория была использована Т.Й.Маером при составлении высокоточных таблиц движения Луны. Совершенная аналитическая теория, в которой дано численный развитие метода и вычислены таблицы, изложена в работе, изданной в Петербурге в 1772 латинском языке. Ее сокращенный перевод на русский язык под названием "Новая теория движения Луны" был выполнен О.М.Криловим и издан в 1934. Вычислительные методы, предложенные Эйлером для получения точных эфемерид Луны и планет, в частности введенные им прямоугольные равномерно вращаются оси координат, были широко использованы впоследствии Дж.В.Гиллом. По выражению М.Ф.Суботина, они стали одним из важнейших источников дальнейшего прогресса всей небесной механики. Широкие возможности для применения этих методов возникли с появлением ЭВМ. Современная точная и полная теория движения Луны была создана в 1895-1908 Е.В.Брауном. Работы Эйлера и Гилла дали начало общей теории нелинейных колебаний, играет большую роль в современных науке и технике.

Важное значение для астрономии имела работа Эйлера "Об улучшении объективного стекла зрительных труб" (1747), в которой он показал, что, комбинируя две линзы из стекла с различной преломляющей способностью, можно создать ахроматический объектив. Под влиянием работы Эйлера первый объектив такого рода был изготовлен английском оптиком Дж. Доллонд в 1758.


3. Его именем назван


4. Сноски

  1. "Euler", Oxford English Dictionary, second edition, Oxford University Press, 1989.
  2. "Euler", Merriam-Webster's Online Dictionary, 2009.
  3. а б Dunham, William Euler: The Master of Us All. - The Mathematical Association of America, 1999.
  4. Finkel BF Biography-Leonard Euler / / The American Mathematical Monthly. - 4. - (1897) (12). DOI : 10.2307/2968971.
  5. Dunham, William Euler: The Master of Us All. - С. xiii. - The Mathematical Association of America, 1999 "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre ma?tre ? tous.".
  6. а б Boyer, Carl B. A History of Mathematics. - С. 439-445. - John Wiley & Sons, 1991. ISBN 0-471-54397-7.
  7. Wolfram, Stephen. "Mathematical Notation: Past and Future" . http://www.stephenwolfram.com/publications/talks/mathml/mathml2.html . Проверено August 2006 .
  8. а б Wanner, Gerhard Analysis by its history 1st. - Springer, 2005.
  9. Feynman, Richard "Chapter 22: Algebra", The Feynman Lectures on Physics: Volume I, 1970.
  10. Wells David Are these the most beautiful? / / Mathematical Intelligencer. - 12. - (1990) (3): 37-41. DOI : 10.1007/BF03024015.
    Wells David Which is the most beautiful? / / Mathematical Intelligencer. - 10. - (1988) (4): 30-31. DOI : 10.1007/BF03023741.
    см.. также: Peterson, Ivars. "The Mathematical Tourist" . http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_03_12_07.html . Проверено March 2008 .
  11. Dunham, William "3,4", Euler: The Master of Us All. - The Mathematical Association of America, 1999.
  12. Dunham, William "1,4", Euler: The Master of Us All. - The Mathematical Association of America, 1999.
  13. Caldwell, Chris. The largest known prime by year
  14. а б Alexanderson Gerald Euler and K?nigsberg's bridges: a historical view / / Bulletin of the American Mathematical Society. - 43. - (July 2006). DOI : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X.
  15. Peter R. Cromwell Polyhedra. - С. 189-190. - Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
  16. Alan Gibbons Algorithmic Graph Theory. - Cambridge: Cambridge University Press, 1985.
  17. Cauchy, AL Recherche sur les poly?dres-premier m?moire / / Journal de l'Ecole Polytechnique. - 9 (Cahier 16). - (1813): 66-86.
  18. L'Huillier, S.-A.-J. M?moire sur la poly?drom?trie / / Annales de Math?matiques. - 3. - (1861): 169-189.
  19. Calinger, Ronald Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727-1741) / / Historia Mathematica. - 23. - (1996) (2): 144-145. DOI : 10.1006/hmat.1996.0015.
  20. Youschkevitch, AP; Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970-1990).
  21. Home, RW Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light / / Annals of Science. - 45. - (1988) (5): 521-533. DOI : 10.1080/00033798800200371.


код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам