Линейное дифференциальное уравнение

Линейное дифференциальное уравнение - обыкновенное дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т.е. уравнение вида

y ^ {(n)} (x) + g_ {(n-1)} (x) y ^ {(n-1)} (x) + \ ldots + g_1 (x) y (x) = f (x )

где g_i (x) и f (x) - Функции, зависящие только от аргумента x.

Важный подкласс линейных дифференциальных уравнений составляют линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых g_i (x) = c_i .

Уравнение

y ^ {(n)} (x) + g_ {(n-1)} (x) y ^ {(n-1)} (x) + \ ldots + g_1 (x) y (x) = 0

называется однородным линейным дифференциальным уравнением.

Однородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет n линейно независимых решений.

Если известен хотя бы один частичный решение линейного дифференциального уравнения, то его общее решение является суммой частного решения и линейной комбинации n решений однородного дифференциального уравнения.


1. Операторный запись

Линейные дифференциальные уравнения имеют вид

Ly = f \,

где дифференциальный оператор L - линейный оператор, в - неизвестная функция (например, от времени y (t) ), А функция справа - ? является данной функцией такого же характера, как в. Для такой функции мы можем записать уравнение явно

L y (t) = f (t) \,

и даже точнее,

L [y (t)] = f (t) \,

Линейный оператор можно рассматривать в форме

L_n (y) \ equiv \ frac {d ^ ny} {dt ^ n} + A_1 (t) \ frac {d ^ {n-1} y} {dt ^ {n-1}} + \ cdots + A_ { n-1} (t) \ frac {dy} {dt} + A_n (t) y \,

Линейность условия на L исключает такие операции, как возведения в квадрат производной от у, но позволяет, например, брать вторую производную в. Удобно переписать это уравнение в операторной форме

L_n (y) \ equiv \ left [\, D ^ n + A_ {1} (t) D ^ {n-1} + \ cdots + A_ {n-1} (t) D + A_n (t) \ right ] y

где D является дифференциальным оператором д / д (т.е. Dy = у ', D 2 в = в ", ...), и я - заданные функции.

Такое уравнение имеет порядок п, индекс старшей производной в, в уравнении.

Типичным простым примером линейного дифференциального уравнения является, например, то, что используются для моделирования радиоактивного распада. Пусть N (т) обозначает число радиоактивных атомов в некотором образце материала в время t. Тогда для некоторой постоянной А> 0, количество радиоактивных атомов, распадается, может быть записана как

\ Frac {dN} {dt} =-k N \,

Если считается функцией только одной переменной, то говорят о обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе производные и их коэффициенты следует понимать как векторы, матрицы или тензоры, поэтому получим (линейное) уравнения в частных производных.

Случай, когда ? = 0, называется однородным уравнением. Оно особенно важно для решения в общего случая, так как его решения можно добавлять к решению неоднородного уравнения, чтобы получить другое решение (методом частичного и однородного решений). Когда я - это числа, уравнения, называется уравнением с постоянными коэффициентами.


2. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Исторически первый метод решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами связан с именем Эйлера, который понял, что решения имеют вид e ^ { z x}, где z , - (В общем случае)-комплексные значения z . Чтобы сумма нескольких производных функции равна нулю, производные должны уравновешивать друг друга, поэтому единственный способ достичь этого - производные должны иметь ту же форму, что и исходная функция. Рассуждая так, для решения

y ^ {(n)} + A_ {1} y ^ {(n-1)} + \ cdots + A_ {n} y = 0

положим y = e ^ {zx} , Что дает

z ^ ne ^ {zx} + A_1 z ^ {n-1} e ^ {zx} + \ cdots + A_n e ^ {zx} = 0.

Делением на e ^ {zx} многочлен n-го порядка

F (z) = z ^ {n} + A_ {1} z ^ {n-1} + \ cdots + A_n = 0. \,

Это алгебраическое уравнение F (t) = 0 , Характеристическое уравнение, был рассмотрен позже Гаспаром Монжем и Огюстеном-Луи Коши.

Формально члены

y ^ {(k)} \ quad \ quad (k = 1, 2, \ dots, n).

выходных дифференциальных уравнений заменяются z ^ k . Решение алгебраического уравнения дает n значений z_1, z_2 ... z_n . Подстановка любого из этих значений z в zx дает решение e ^ {zx} Поскольку однородные линейные дифференциальные уравнения подчинены принципу суперпозиции, любая линейная комбинация этих функций также удовлетворяет данное дифференциальное уравнение.

Когда все корни различны, мы n различных решений дифференциального уравнения. Применяя определитель Вандермонда, можно показать, что они линейно независимы и вместе образуют базис в пространстве всех решений дифференциального уравнения.

Вышесказанное дает решение в случае, когда все корни различны, то есть каждый из них имеет кратность 1. В общем случае, если z (возможно, комплексный) ноль (= корень) Р (x), что кратность m, то y = x ^ ke ^ {zx} \, являются решениями ЛОР (где k \ in \ {0,1, \ dots, m-1 \} \, ). Применение этого ко всем корней дает набор из n различных и линейно независимых функций, где n-степень F (x). Как и прежде, эти функции образуют базис пространства решений.

Если коэффициенты дифференциального уравнения действительны, то предпочтение отдаем дийснозначним решениям. Поскольку комплексные (не действительны) корни соединены в пары сопряженных, как и соответствующие базисные функции, x k e zx , То желаемый результат получим заменой каждой пары действительной линейной комбинацией с Re (y) и Im (y) , Где y - одна из функций пары.

Случаи, включающие комплексные корни, могут быть рассмотрены с помощью формулы Эйлера.


Пример

y''''-2y'' '+2 y''-2y' + y = 0 \,

имеет характеристическое уравнение

z ^ 4-2z ^ 3 +2 z ^ 2-2z +1 = 0. \,

Его корни i,-i, и 1 (кратности 2). Базис решений

e ^ {ix} \, e ^ {-ix} \, e ^ x, \, xe ^ x \,.

Соответствующий дийснозначний базис

\ Cos x, \, \ sin x, \, e ^ x, \, xe ^ x \,.

2.1. Примеры

Дано, y''-4y '+5 y = 0 \, . Характеристическое уравнение z ^ 2-4z +5 = 0 \, коренится 2 + и и второй. Таким образом, базис решений \ {Y_1, y_2 \} есть \ {E ^ {(2 + i) x}, e ^ {(2-i) x} \} \, . Теперь у является решением тогда и только тогда y = c_1y_1 + c_2y_2 \, для c_1, c_2 \ in \ mathbb C .

Поскольку коэффициенты действительны,

  • мы, вероятно, не заинтересованы в комплексных решениях
  • наши базисные элементы взаимно сопряженные

Линейные комбинации

u_1 = \ mbox {Re} (y_1) \ frac {y_1 + y_2} {2} = e ^ {2x} \ cos (x) \, и
u_2 = \ mbox {Im} (y_1) \ frac {y_1-y_2} {2i} = e ^ {2x} \ sin (x) \,

дают нам действительный базис \ {U_1, u_2 \} .


2.1.1. Простой гармоничный осциллятор

схематическое представление простого гармонического осциллятора

Дифференциальное уравнение второго порядка

D ^ 2 y =-k ^ 2 y,

описывающий простой гармоничный осциллятор, можно переформулировать

(D ^ 2 + k ^ 2) y = 0.

Выражение в скобках может быть факторизований, что дает

(D + i k) (D - i k) y = 0,

это уравнение имеет пару линейно независимых решений, один для

(D - i k) y = 0 \,

другой для

(D + i k) y = 0.

Решения, соответственно,

y_0 = A_0 e ^ {i k x}

и

y_1 = A_1 e ^ {-i k x}.

Эти решения являются базисом двумерного "Пространства решений" дифференциального уравнения второго порядка. Кроме того, для

y_ {0 '} = {A_0 e ^ {ikx} + A_1 e ^ {-ikx} \ over 2} = C_0 \ cos (kx)

и

y_ {1 '} = {A_0 e ^ {ikx} - A_1 e ^ {-ikx} \ over 2 i} = C_1 \ sin (kx).

-Последние тригонометрические решения линейно независимы, а потому могут служить другим базисом пространства решений, что дает такую ​​общую форму решения:

y_H = C_0 \ cos (k x) + C_1 \ sin (k x).

2.1.2. Затухающий гармоничный осциллятор

схематическое представление гармонического осциллятора с затуханием

Учитывая уравнение затухающего гармонического осциллятора:

\ Left (D ^ 2 + {b \ over m} D + \ omega_0 ^ 2 \ right) y = 0,

получим сначала характеристическое уравнение формальной заменой D на λ. Это уравнение должно выполняться для всех у, следующим образом:

\ Lambda ^ 2 + {b \ over m} \ lambda + \ omega_0 ^ 2 = 0.

Решим:

\ Lambda = {-b / m \ pm \ sqrt {b ^ 2 / m ^ 2 - 4 \ omega_0 ^ 2} \ over 2}.

Используем эти данные для расписания исходного дифференциального уравнения:

\ Left (D + {b \ over 2 m} - \ sqrt {{b ^ 2 \ over 4 m ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ right) \ left (D + {b \ over 2m} + \ sqrt {{b ^ 2 \ over 4 m ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ right) y = 0.

Это определяет пару решений, из которых одно соответствует

\ Left (D + {b \ over 2 m} - \ sqrt {{b ^ 2 \ over 4 m ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ right) y = 0

а другое

\ Left (D + {b \ over 2m} + \ sqrt {{b ^ 2 \ over 4 m ^ 2} - \ omega_0 ^ 2} \ right) y = 0

Решения, соответственно,

y_0 = A_0 e ^ {- \ omega x + \ sqrt {\ omega ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} x} = A_0 e ^ {- \ omega x} e ^ {\ sqrt {\ omega ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} x}

и

y_1 = A_1 e ^ {- \ omega x - \ sqrt {\ omega ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} x} = A_1 e ^ {- \ omega x} e ^ {- \ sqrt {\ omega ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} x}

где ω = B / 2. С этой пары линейно независимых решений можно построить другую линейно независимую пару, таким образом, служить базисом для двумерного пространства решений:

y_H (A_0, A_1) (x) = \ left (A_0 \ sinh \ sqrt {\ omega ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} x + A_1 \ cosh \ sqrt {\ omega ^ 2 - \ omega_0 ^ 2} x \ right ) e ^ {- \ omega x}.

Однако, если | ω | <| ω 0 |, то желательно избавиться мнимых частей, выражая общее решение как

y_H (A_0, A_1) (x) = \ left (A_0 \ sin \ sqrt {\ omega_0 ^ 2 - \ omega ^ 2} x + A_1 \ cos \ sqrt {\ omega_0 ^ 2 - \ omega ^ 2} x \ right ) e ^ {- \ omega x}.

Последний решение соответствует слабо затухающем случае, если в предыдущий соответствует сильно затухающем случае: решение для слабо заторможенного случае колебаться, а для решения сильно заторможенного случае это не так.


3. Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Чтобы получить решение неоднородного уравнения, следует найти частичный решение неоднородного уравнения или методом неопределенных коэффициентов, или методом вариации постоянных; общее решение линейного дифференциального уравнения является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения и частного интеграла. Если заданы начальные условия, можно применить преобразования Лапласа для получения конкретного решения непосредственно.

Допустим, нам дано

\ Frac {d ^ {n} y (x)} {dx ^ {n}} + A_ {1} \ frac {d ^ {n-1} y (x)} {dx ^ {n-1}} + \ cdots + A_ {n} y (x) = f (x).

Для дальнейших вычислений, выделим характеристический многочлен

P (v) = v ^ n + A_1v ^ {n-1} + \ cdots + A_n.

Мы найдем базис решений \ {Y_1 (x), y_2 (x), \ ldots, y_n (x) \} как и в однородном (F (X) = 0) случае. Фрагмент решение в р (х) получим методом вариации постоянных. Пусть коэффициенты линейной комбинации являются функциями от х:

y_p (x) = u_1 (x) y_1 (x) + u_2 (x) y_2 (x) + \ cdots + u_n (x) y_n (x).

Для удобства обозначений будем опускать зависимость от х (т.е. части привычного записи вида (х)). Используя операторный запись D = d / dx и свободно используя обозначения, данное уравнение примет вид P (D) y = f , Поэтому

f = P (D) y_p = P (D) (u_1y_1) + P (D) (u_2y_2) + \ cdots + P (D) (u_ny_n).

С ограничениями

0 = u'_1y_1 + u'_2y_2 + \ cdots + u'_ny_n
0 = u'_1y'_1 + u'_2y'_2 + \ cdots + u'_ny'_n
\ Cdots
0 = u'_1y ^ {(n-2)} _1 + u'_2y ^ {(n-2)} _2 + \ cdots + u'_ny ^ {(n-2)} _n

параметры выносятся, после чего остается несколько ?лишнее?:

f = u_1P (D) y_1 + u_2P (D) y_2 + \ cdots + u_nP (D) y_n + u'_1y ^ {(n-1)} _1 + u'_2y ^ {(n-1)} _2 + \ cdots + u'_ny ^ {(n-1)} _n.

Но P (D) y_j = 0 , Поэтому

f = u'_1y ^ {(n-1)} _1 + u'_2y ^ {(n-1)} _2 + \ cdots + u'_ny ^ {(n-1)} _n.

Это, с ограничениями, дает линейную система по u'_j . Ее на самом деле всегда можно решить сочетая методы Крамера и Вронского,

u'_j = (-1) ^ {n + j} \ frac {W (y_1, \ ldots, y_ {j-1}, y_ {j +1} \ ldots, y_n) _ {0 \ choose f}} {W (y_1, y_2, \ ldots, y_n)}.

Остальные сводится к интегрированию u'_j.

частичный решение не является единственным, y_p + c_1y_1 + \ cdots + c_ny_n также удовлетворяет уравнение для любого набора констант из основного поля.


3.1. Пример:

Положим, y''-4y '+5 y = sin (kx) . Мы возьмем базис решения, найденный выше \ {E ^ {(2 + i) x}, e ^ {(2-i) x} \} .

W \,= \ Begin {vmatrix} e ^ {(2 + i) x} & e ^ {(2-i) x} \ \ (2 + i) e ^ {(2 + i) x} & (2-i) e ^ {(2-i) x} \ end {vmatrix}
= E ^ {4x} \ begin {vmatrix} 1 & 1 \ \ 2 + i & 2-i \ end {vmatrix}
=-2ie ^ {4x} \,
u'_1 \,= \ Frac {1} {W} \ begin {vmatrix} 0 & e ^ {(2-i) x} \ \ \ sin (kx) & (2-i) e ^ {(2-i) x} \ end {vmatrix}
= - \ Frac {i} 2 \ sin (kx) e ^ {(-2-i) x}
u'_2 \,= \ Frac {1} {W} \ begin {vmatrix} e ^ {(2 + i) x} & 0 \ \ (2 + i) e ^ {(2 + i) x} & \ sin (kx) \ end {vmatrix}
= \ Frac {i} {2} \ sin (kx) e ^ {(-2 + i) x}.

Используя список интегралов от экспоненциальных функций,

u_1 \,= - \ Frac {i} {2} \ int \ sin (kx) e ^ {(-2-i) x} \, dx
= \ Frac {ie ^ {(-2-i) x}} {2 (3 +4 i + k ^ 2)} \ left ((2 + i) \ sin (kx) + k \ cos (kx) \ right )
u_2 \,= \ Frac i2 \ int \ sin (kx) e ^ {(-2 + i) x} \, dx
= \ Frac {ie ^ {(i-2) x}} {2 (3-4i + k ^ 2)} \ left ((i-2) \ sin (kx)-k \ cos (kx) \ right) .

И поэтому

y_p \,= \ Frac {i} {2 (3 +4 i + k ^ 2)} \ left ((2 + i) \ sin (kx) + k \ cos (kx) \ right) + \ frac {i} {2 ( 3-4i + k ^ 2)} \ left ((i-2) \ sin (kx)-k \ cos (kx) \ right)
= \ Frac {(5-k ^ 2) \ sin (kx) +4 k \ cos (kx)} {(3 + k ^ 2) ^ 2 +16}.

Для интереса отметим, это уравнение имеет физический смысл, описывает вынужден гармоничный осциллятор, с трением, у р представляет устойчивое состояние, а c_1y_1 + c_2y_2 является переходным состоянием.


4. Уравнение с переменными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение порядка n с переменными коэффициентами имеет общий вид

p_ {n} (x) y ^ {(n)} (x) + p_ {n-1} (x) y ^ {(n-1)} (x) + \ cdots + p_0 (x) y (x ) = r (x).

4.1. Примеры

Простым примером является уравнение Коши-Эйлера, часто используются в машиностроении

x ^ ny ^ {(n)} (x) + a_ {n-1} x ^ {n-1} y ^ {(n-1)} (x) + \ cdots + a_0 y (x) = 0.

5. Уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка с переменными коэффициентами имеет общий вид

Dy (x) + f (x) y (x) = g (x).

Здесь D - дифференциальный оператор. Уравнения такого вида может быть решен умножением на интегрирующий множитель

e ^ {\ int f (x) \, dx} ,

что дает

Dy (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} + f (x) y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} = g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx}

упрощая по правилу произведения, получим

D (y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx}) = g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx}

Отсюда интегрированием

y (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} = \ int g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} \, dx + c ~,
y (x) = {\ int g (x) e ^ {\ int f (x) \, dx} \, dx + c \ over e ^ {\ int f (x) \, dx}} ~.

Итак, решением линейного дифференциального уравнения первого порядка

y '(x) + f (x) y (x) = g (x),

с коэффициентами, которые могут зависеть от х, являются:

y = e ^ {-a (x)} \ left (\ int g (x) e ^ {a (x)} \, dx + \ kappa \ right)

Отметим, что \ Kappa - Постоянная интегрирования, и

a (x) = \ int {f (x) \, dx}.

Компактная форма общего решения

y (x) = \ int_a ^ x \! {[Y (a) \ delta (ta) + g (t)] e ^ {- \ int_t ^ x \! F (u) du} \, dt} \,.

\ Delta (x) - Обобщенная дельта-функция Дирака.


5.1. Примеры

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами:

\ Frac {dy} {dx} + b y = 1.

Это уравнение имеет особое значение для систем первого порядка типа RC-схем (емкость-сопротивление) и систем масса-демпфер.

В этом случае f (x) = b, g (x) = 1.

Поэтому решением является

y (x) = e ^ {-bx} \ left (e ^ {bx} / b + C \ right) = 1 / b + C e ^ {-bx}.

См.. также