Логарифм

График функции log 2 (x) проходящей через точки с координатами (1, 0) ; (2, 1) ; (4, 2) ; (8, 3) .
log 2 (2) = 1, так что 2 1 = 2,
log 2 (4) = 2, т.к. 2 2 = 4,
log 2 (8) = 3, потому что 2 3 = 8

Логарифм (от греч. λόγος - "Слово", "отношение" и греч. ἀριθμός - "Число") - математическая операция обратная подъему в степень.

Число \ X называется логарифмом числа \ A по основанию \ B, если \ B ^ x = a.

Логарифмы были введены Джоном Непером в начале 17 века как средство упрощения расчетов. Они быстро начали применяться учеными и инженерами для ускорения выполнения вычислений используя логарифмические линейки и таблиц логарифмов. Например, можно значительно упростить вычисления произведения используя важное свойство: логарифм произведения является суммой логарифмов множителей:

\ Log_b (xy) \ log_b (x) + \ log_b (y). \,

Современное определение логарифмов введен Леонардом Эйлером, который в 18 веке связал их с показательной функцией.


1. Обозначение

Обозначения:

\ X = \ log _b a

Существуют особые обозначения для:

  • натуральных логарифмов (логарифмов по основанию e):
\ Log_ {e} a = \ ln a
  • десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10):
\ Log_ {10} a = \ lg a
  • двоичных логарифмов (логарифмов по основанию 2):
\ Log_ {2} a = \ operatorname {lb} a

Логарифмы были изобретены Джоном Непером в начале 17 века как средство для упрощения расчетов и с тех пор широко используются в науке, технике. До изобретения компьютеров логарифмическая линейка и таблицы логарифмов были повседневным инструментом инженера.


2. Свойства

\ Log_b (xy) \ log_b (x) + \ log_b (y) логарифм произведения двух чисел равна сумме логарифмов этих чисел
\ Log_b \ left (\ frac xy \ right) \ log_b (x) - \ log_b (y) логарифм доли двух чисел равна разницы логарифмов этих чисел
\ Log_b \ left (x ^ p \ right) = p \ cdot \ log_b (x) логарифм степени
\ Log_b \ sqrt [p] {x} = \ frac1p \ log_b (x) логарифм корня
Графики логарифмической функции по основам \ Mathbb {} e (Красный), 10 (зеленый) и 1,7 (фиолетовый). График асимптотически приближается к оси y.

Эти свойства сделали логарифм чрезвычайно полезной функцией. Сложение и вычитание намного проще операции чем умножение и деление, и, имея таблицу логарифмов, можно сильно упростить сложные вычисления.

Формула:

\ Log_a x = \ frac {\ log_b x} {\ log_b a}

позволяет переходить от одной основы к другой.

Другие тождества:

  • a ^ {log_a b} = b
  • a ^ {log_c b} = b ^ {log_c a}
  • \ Log_ {b ^ c} a = \ tfrac {1} {c} \ log_b a
  • \ Log_a b = \ frac {1} {\ log_b a}

3. Логарифмическая функция

Log4.svg

Логарифмическая функция \, \! y = \ log_b x ставит в соответствие каждому значению переменной ее логарифм по заранее выбранной основой \, \! b .

Свойства логарифмической функции:

\ Frac {d \ ln x} {dx} = \ frac {1} {x}, \ qquad \ frac {d \ log_b x} {dx} = \ frac {1} {x \ ln b}
\ Int \ ln x \, dx = x (\ ln x -1) + C )
\ Frac {d} {dx} \ ln (f (x)) = \ frac {f '(x)} {f (x)}.
{\ Rm li} (x) = \ int_0 ^ x \ frac {dt} {\ ln t} \ quad x \ ne 1
\ Ln (1 + x) = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {(-1) ^ {n +1}} {n} x ^ n = x - \ frac {x ^ 2} {2 } + \ frac {x ^ 3} {3} - \ cdots
\ Gamma = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left [\ left (\ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k} \ right) - \ ln (n) \ right]

4. Натуральные логарифмы

Связь с десятичным логарифмом: \ Ln x \ approx 2 {} 30259 \ \ lg x; \ \ \ lg x \ approx 0 {} 43429 \ \ ln x .

Как указано выше, для производной натурального логарифма справедливая простая формула:

(\ Ln x) '= \ frac {1} {x}

По этой причине в математических исследования очень часто используют именно натуральные логарифмы. Они часто появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических закономерностей (например, распределение простых чисел) и т.д..

Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

\ Int {\ ln x \, \ mathrm dx} = x \ ln x-x + C

Расписание в ряд Тейлора может быть представлен следующим образом:
при -1 <X \ leqslant 1 следующее равенство является справедливой

\ Ln (1 + x) = x - \ frac {x ^ 2} {2} + \ frac {x ^ 3} {3} - \ frac {x ^ 4} {4} + \ dots (1)

В частности,

\ Ln 2 = 1 - \ frac {1} {2} + \ frac {1} {3} - \ frac {1} {4} + \ dots

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничен в довольно узком диапазоне. Однако, не сложно получить из нее удобную формулу:

\ Ln \ left (\ frac {1 + x} {1-x} \ right) = 2 \ left (x + \ frac {x ^ 3} {3} + \ frac {x ^ 5} {5} + \ frac {x ^ 7} {7} + \ dots \ right) (2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме этого, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.


5. Двоичные логарифмы

Логарифмы по основанию 2 широко применяются в теории информации. Двоичный логарифм натурального числа N позволяет определить число цифр b (N) во внутреннем компьютерном ( битном) представлении этого числа:

B (N) \ lfloor \ operatorname {lb} N \ rfloor + 1 (Скобки обозначают целую часть числа).

Информационная энтропия - мера количества информации, также основана на двоичных логарифмах.

Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе "Разделяй и властвуй" - таких, как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье, двоичный поиск вионуеться с использованием двоичных логарифмов.

В теории музыки, чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, нужно отыскать рациональное приближение для \ Log_2 \ frac {3} {2} \ approx 0 {,} 585. Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое распределение октавы на 12 полутонов.


6. Десятичные логарифмы

Рисунок 2а. Логарифмическая шкала.
Рисунок. 2б. Логарифмическая шкала с обозначениями.

Логарифмы по основанию 10 (обозначаются как lg a) до изобретения калькуляторов широко использовались для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:

Логарифмическая шкала также широко используется для выявления показателя степени в показательных зависимостях и коэффициента в покзнику экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, является простой для исследования.


7. Логарифмическая функция комплексной переменной

7.1. Определение и свойства

Для комплексных чисел логарифм определяется так же как и для настоящих. На практике используется почти всегда натуральный комплексный логарифм, который обозначим как \ Mathrm {Ln} \, w и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e ^ z = w . Комплексный логарифм существует для любого w \ ne 0 , И его действительная часть визначаетсья однозначно, тогда как мнимая часть имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:

w = r \ cdot e ^ {i \ varphi} ,

то логарифм \ Mathrm {Ln} \, w находится по формуле:

\ Mathrm {Ln} \, w = \ {\ ln r + i \ left (\ varphi + 2 \ pi k \ right), \, k \ in \ Z \}.

Здесь \ Ln \, r - Действительный логарифм, r = | w | , k - Произвольное целое число. Значение, получаем при k = 0 , Называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать значением аргумента в нем \ Varphi в интервале (- \ Pi, \ pi] . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается \ Ln \, z . Иногда из-за \ Ln \, z также обозначают значение логарифма, что лежит не на главной ветке.

Из формулы мемо следующие последствия:

  • Действительная часть логарифма определяется по формуле:
\ Operatorname {Re} (\ ln (x + iy)) \ frac {1} {2} \ ln (x ^ 2 + y ^ 2)
  • Логарифм отрицательного числа находится по формуле:
\ Ln (-x) = \ ln x + i \ pi (2 k + 1) \ qquad (x> 0, \ k = 0, \ pm 1, \ pm 2 \ dots)

Поскольку комплексные тригонометрические функции связанные с экспоненте ( формула Эйлера), то комплексный логарифм как функция, обренена к экспоненты, связанный с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:

\ Arcsin z =-i \ ln (i z + \ sqrt {1-z ^ 2})

7.2. Примеры

Приведем главное значение логарифма для некоторых аргументов:

  • ~ \ Ln (-1) = i \ pi
  • \ Ln (i) = i \ frac {\ pi} {2}
  • \ Ln (-i) =-i \ frac {\ pi} {2}

Нужно быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, поэтому из равенства логарифмов любых выражений не получается равенство этих выражений. Пример ложных соображений:

i \ pi = \ ln (-1) \ ln ((-i) ^ 2) = 2 \ ln (-i) = 2 (-i \ pi / 2) =-i \ pi - Явная нелепость.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви ( k = -1 ). Причина ошибки - неосторожной использования свойства \ Log_a {(b ^ p)} = p ~ \ log_a b , Которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.


7.3. Аналитическое продолжение

Рисунок 3. Риманова поверхность, на которой задается функция \ Text {Ln} \; z .

Логарифм комплексного числа также может быть определен как аналитическое продолжение настоящего логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая \ Gamma начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть действительной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке w кривой \ Gamma можно определить по формуле:

\ Ln w = \ int \ limits_ \ Gamma {dz \ over z}

Если \ Gamma - Простая кривая (без самопересечения), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без ограничений, например

\ Ln (wz) \ ln w + \ ln z, ~ \ forall z, w \ in \ Gamma \ colon zw \ in \ Gamma

Если позволить кривой \ Gamma пересекать отрицательную часть действительной оси, то первый такой сечение переносит результат с ветки главного значения на сусиднюгилку, а каждый следующий сечение вызывает аналогичное смещение по веткам логарифмической функции (см. рисунок).

С формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветке логарифма

\ Ln 'z = {1 \ over z}

Для любого окрестности S , Содержащий точку 0 :

\ Oint \ limits_S {dz \ over z} = 2 \ pi i

Интеграл берется в положительном направлении (против стрелки). Эта тождественность лежит в основе теории излишков.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью ряда, приведенный выше (1), и который обобщенный для случая комплексного аргумента. Однако с виду разложения в ряд имеем следствие, что он равен нулю в единице, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма.


7.4. Поверхность Римана

Комплексная логарифмическая функция - пример поверхности Римана, ее мнимая часть (рисунок 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученные в виде спирали. Эта поверхность односвязна, единственный ее ноль (первого порядка) получаем при z = 1 , Особые точки: z = 0 и z = \ infty (Точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальным накрытием для комплексной плоскости без точки 0 .


8. История

Еще в 8 веке индийский математик Вирасена развил концепцию ардхакчеды, что означало сколько раз число вида 2 n можно разделить на два. Для чисел, которые не являются целыми спепени двойки ардхакчеда оставалась неопределенной. Он описал также трикачеду и чатуртхачеду - соответствующие числа для оснований 3 и 4 [1] [2]. 1544 года Михаэль Штифель опубликовал в Нюрнберге книгу Arithmetica integra таблице [3] целых чисел и степеней двойки, которые им соответствуют [4] [5]. Эти ранние исследования можно считать предшественниками логарифмов.

Джон Непер (1550-1617)

Метод логарифмирования был опубликован Джоном Непером в 1614 году в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание замечательного правила логарифмов) [6]. Независимо от Непера логарифмы открыл Юст Бурги, но его публикация появилась на 6 лет позже [7].

Непер не только сформулировал правило умножения чисел с использованием логарифмов, но и построил первые логарифмические таблицы. Методом повторного вычитания Непер подсчитал 10 июля (1 - 10 -7) L для L от 1 до 100. Для L = 100 результат примерно равен 0.99999 = 1 - 10 -5 . Далее он посчитал произведения этих чисел при умножении на 10 июля (1 - 10 -5) L для L от 1 до 50, и, аналогично, произведения этих числел при умножении на 0.9995 ≈ (1 - 10 -5) 20 и 0.99 ≈ 0.995 20 . Вычисление продолжались 20 лет. Как следствие он получил число L, которое является решением уравнения

N = 10 ^ 7 {(1-10 ^ {-7})} ^ L. \,

для чисел от 5 до 10000000 .

Сначала Непер назвал L искусственным числом, но потом ввел новый термин - логарифм. В современной нотации с использованием натуральных логарифмов это соотношение имеет вид [8]

L = \ log_ {(1-10 ^ {-7})} \! \ Left (\ frac {N} {10 ^ 7} \ right) \ approx 10 ^ 7 \ log_ {\ frac {1} {e} } \! \ left (\ frac {N} {10 ^ 7} \ right) = -10 ^ 7 \ log_e \! \ left (\ frac {N} {10 ^ 7} \ right),

где приближение соответствует тому, что

{(1-10 ^ {-7})} ^ {10 ^ 7} \ approx \ frac {1} {e}. \,

с очень малой погрешностью.

Очень быстро изобретение Непера получил широкое признание. Работы итальянца Бонавентуры Кавальери и немца Иоганна Кеплера развили и усовершенствовали концепцию [9]. 1620 года Эдмунд Уингейт построил первую логарифмическую линейку.

Гипербола y = 1 / x (Красная кривая) и площадь от x = 1 to 6 (оранжевая).

1647 года Грегуар де Сен-Венсан получил связь между логарифмом и квадратурой гиперболы, заметив, что площади под графиком функции y = 1 / x между 1 и числами a и b удовлетворяют соотношению:

S (ab) = S (a) + S (b) .

Натуральные логарифмы были впервые описных Никола Меркаром в работе Logarithmotechnia 1668 [10], хотя еще в 1619 учитель математики Джон Спейделл составлял таблицу натуральных логарифмов [11].

Примерно 1730 года Леонард Эйлер дал определение экспоненты и натурального логарифма как

e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} (1 + x / n) ^ n,
\ Ln (x) = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} n (x ^ {1 / n} - 1).

Эйлер показал, что эти функции обращены друг другу [12] [13] [14].


9. Некоторые практические применения

9.1. Логарифмическая линейка

Типичная логарифмическая линейка. Показано вычисления произведения 1,3 ? 2 = 2,6
Круглая логарифмическая линейка.

Логарифмическая линейка - аналоговый вычислительное устройство, позволяющее выполнять несколько математических операций, основными из которых являются умножения и деления чисел.

Простейшая логарифмическая линейка состоит из двух шкал в логарифмическом масштабе, способных передвигаться относительно друг друга. Сложные линейки содержат дополнительные шкалы и прозрачный ползунок с несколькими делениями. На обратной стороне линейки могут находиться различные справочные материалы.

С помощью дополнительных шкал можно осуществлять возведение в степень (чаще всего в квадрат и куб), вычисление логарифмов, тригонометрических функций и обратных операций (добыча квадратных и кубических корней, вычисление экспоненты и обратных тригонометрических функций), преобразования величин между различными системами (например, киловатт на лошадиные силы или наоборот) и некоторые другие операции.


9.1.1. Принцип действия

Основной принцип действия логарифмической линейки основан на том, что умножение и деление чисел заменяется соответственно добавлением и вычитанием их логарифмов:

lg (xy) = lg (x) + lg (y)
lg (x / y) = lg (x) - lg (y)

Для того чтобы вычислить произведение двух чисел, начало (или конец) подвижной шкалы совмещают с первым множителем на неподвижной шкале, а на подвижной шкале ищут второй множитель. Напротив него на неподвижной шкале находится результат умножения чисел.

Чтобы разделить числа, на подвижной шкале находят делитель и совмещают его с делимым на неподвижной шкале. Начало (или конец) подвижной шкалы указывает на результат.

С помощью логарифмической линейки находят лишь мантиссу числа, его порядок исчисляется устно. Точность вычисления обычных логарифмических линеек - два-три десятичных знака. Для выполнения других операций применяют ползунок и дополнительные шкалы. Следует отметить, что, несмотря на простоту, на логарифмической линейке можно выполнять достаточно сложные расчеты.


9.1.2. История

Первый вариант линейки разработал английский математик-любитель Уильям Отред 1622 года.

Ранее выпускались пособия по их использованию достаточно большого объема [15] [16].

В СССР логарифмические линейки широко применялись для выполнения инженерных расчетов примерно до начала 80-х годов XX века, когда они были вытеснены калькуляторами.

Часы Breitling Navitimer

Возрождение логарифмичнои линейки произошло в начале XXI века в результате спроса на наручные часы и хронометры со встроенным простым вычислительным устройством. Он выполнен в виде двух логарифмических шкал вокруг циферблата часов, одна из которых может вращаться (Базель). По прихоти производителей такие устройства обычно называют "навигационная линейка". С помощью такого устройства можно выполнять перевод миль на км, литров на галлоны, секунды в километры в час и т.д. [17]. В отличие от калькулятора сразу строится таблица соответствия величин.

Примером таких часов можно считать Breitling Navitimer, CITIZEN (модели BJ7010-59E, JQ8005-56E, JR3130-55E), Orient (модели OCEM58002DV, OCTD09001B, OCTD09003D) и некоторые другие.


9.2. Логарифмическая спираль

Построение логарифмической спирали. Анимация.
Логарифмическая спираль (наклон 10 ?).

Логарифмическая спираль или изогональна спираль - особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом и позже интенсивно исследована Бернулли, который называл ее Spira mirabilis - "удивительная спираль". Собственно термин "логарифмическая спираль" ( фр. spirale logarithmique ) Первым употребил Пьер Вариньон [18]


9.2.1. Уравнение

В полярных координатах уравнение кривой может быть записано как

r = ae ^ {b \ theta} \,

или

\ Vartheta = \ frac {1} {b} \ ln (r / a),

что объясняет название "логарифмическая".

В параметрической форме его можно записать как

x (t) = r \ cos t = ae ^ {bt} \ cos t \,,
y (t) = r \ sin t = ae ^ {bt} \ sin t \,,

где a, b - действительные числа.


9.3. Свойства

  • Угол, образуемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки прикосновения, постоянен и зависит только от параметра b.
  • Производная функции \ Mathbf {r} '(\ vartheta) пропорциональна параметру b. Другими словами, он определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда b = 0 \, (\ varphi = \ pi / 2) спираль вырождается в круг радиуса a. Напротив, когда b стремится к бесконечности (\ Varphi \ rightarrow 0) спираль приближается к прямой линии. Угол, дополняющий \ Varphi до 90 ?, называют наклоном спирали.
  • Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остается неизменной. Возможно, вследствие этого свойства, логарифмическая спираль появляется во многих растущих формах, подобных мушлель моллюсков и цветков подсолнухов.



10. Сноски

  1. Gupta, RC (2000), "History of Mathematics in India", в Hoiberg, Dale; Ramchandani, Students 'Britannica India: Select essays, New Delhi: Popular Prakashan, p. 329
  2. Dr. Hiralal Jain, ред. (1996), THE SHATKHANDAGAMA OF PUSHPADANTA AND BHOOTABAL (3rd изд.), Solapur: Jain Samskriti Samrakshaka Sangha , http://www.jainworld.com/JWHindi/Books/shatkhandagama-4/02.htm , Part 3-4-5, book 4
  3. Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra, London: Iohan Petreium , http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419
  4. Bukhshtab, AA; Pechaev, VI (2001), "Arithmetic", в Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 , http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=A/a013260
  5. Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq =% 22arithmetica + integra% 22 + logarithm & q = stifel
  6. Ernest William Hobson (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press
  7. Шаблон: Harvard citations
  8. William Harrison De Puy (1893), The Encyclop?dia Britannica: a dictionary of arts, sciences, and general literature; the RS Peale reprint,, 17 (9th изд.), Werner Co., p. 179 , http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?seq=7&view=image&size=100&id=nyp.33433082033444&u=1&num=179
  9. Maor, Eli (2009), E: The Story of a Number, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14134-3 , Section 2
  10. JJ O'Connor; EF Robertson (2001-09), The number e, The MacTutor History of Mathematics archive , http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html , Процитировано 02/02/2009
  11. Cajori, Florian (1991), A History of Mathematics (5th изд.), Providence, RI: AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2102-2 , http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&printsec=frontcover # v = onepage & q = speidell & f = false , P. 152
  12. Maor, Eli (2009), e: The Story of a Number, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14134-3 , Sections 1, 13
  13. Eves, Howard Whitley (1992), An introduction to the history of mathematics, The Saunders series (6th изд.), Philadelphia: Saunders, ISBN 978-0-03-029558-4 , Section 9-3
  14. Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-54397-8 , P. 484, 489
  15. Панов Д.Ю. Счетная линейка. - 21-е изд .. - М: Наука, 1973. - 168 с. (Рус.)
  16. Богомолов Н.В. Практические занятия с логарифмической линейкой (сборник задач). - М: Высшая школа, 1977. - 103 с. (Рус.)
  17. "Citizen BJ7010-59E". Watch Zone . Проверено 2010-11-02 .
  18. Spirale logarithmique. (Фр.)

Литература

  • Сторчай, Владимир Федорович. Показательные и логарифмические уравнения: учеб. пособие / В. Ф. Сторчай; Днепропетровский гос. ун-т. - К.: [б.в.], 1995. - 100 с
  • Щербинин, Гарий Петрович. Показательно-логарифмические выражения, уравнения и неравенства: учеб. пособие / Г. П. Щербинин, Т.А. Недзельская; ИСИО, Харьковский гос. технический ун-т радиоэлектроники. - М.: [б.в.], 1995. - 60 с.
  • Барановская, Галина Григорьевна. Практикум по математике: Показательная и логарифмическая функции: учеб. пособие для поступающих в вузы / Г. Г. Барановская, В. Ясинский, Национальный технический ун-т Украины "Киевский политехнический ин-т". Факультет довузовской подготовки. - К.: [б.в.], 1998. - 124 с.
  • Кушнир, Исаак. В мире логарифмов. - К.: Факт, 2004. - 136 с.: Рис.
  • Устянич, Евгений Петрович. Золотой логарифм и его применение. - Эллипс и уравнение его длины. - Л.: Каменщик 2011. - 76 с. : Рис., Табл. - (Серия "Математические новинки"). - Библиогр.: С. 73-74.