Надо Знать

добавить знаний



Математика



План:


Введение

Эвклид, математик живший в Древней Греции в 3 ст.до н.е. работы Рафаэля

Математика ( греч. μάθημα - Наука, знание, изучение) - наука, которая первоначально возникла как одно из направлений поиска истиныгреческой философии) в сфере пространственных отношений (землемиряння - геометрии) и вычислений ( арифметики), для практических нужд человека считать, вычислять, измерять, исследовать формы и движение физических тел. Позже превратился в достаточно сложную и многогранную науку об абстрактных количественные и качественные соотношения, формы и структуры. Общепринятого определения математики нет. Изначально она использовалась для подсчета, измерения, а также для изучения форм и движения физических объектов путем дедуктивных рассуждений и абстракций. Математики формулируют новые выводы и пытаются установить их справедливость, исходя из удачно выбранных аксиом и определений.


1. Определения математики

2. Происхождение слова и его применение в разных языках

Слово "математика" происходит от греческого слова μάθημα, что означает "Наука, знания, изучение ", и греческого μαθηματικός, что означает "Любовь к познания" , в итоге приводит к более узкому и технического (прикладного) значение "математическое исследование", которое использовалось и в античные (классические) времена. В частности, греческое μαθηματική τέχνη, латыни ars mathematica означает математическое искусство.

Существующая форма множества англ. mathematics , Как форма множества фр. les mathmatiques , Происходят из множества среднего рода лат. mathematica ( Цицерон), которая в свою очередь возникла на основе множества греческой τα μαθηματικά, которую использовал Аристотель, что приблизительно означает "все математические вещи, все что касается познания".

Несмотря на форму и этимологию, английское слово mathematics, подобно названий главных искусств и наук, используется в числе для существительных немногочисленного типа современного английского языка (украинский аналог ножницы). Английськомовни разговорные сокращенные формы сохраняют особенность единственного / множественного числа: слово math используется в Американской английском (en: North American English), тогда как maths в Британской английском, который используется в Ирландии, Австралии и других странах Британского Содружества.


3. История математики

Кипу, использовались инками для записи чисел.
Цифры майя.

Математика возникла издревле из практических потребностей человека, ее содержание и характер со временем менялись. От первоначального предметного представления о целом положительное число, от представления о отрезок прямой, как кратчайшее расстояние между двумя точками. Математика прошла длинный путь развития, прежде чем стала абстрактной наукой с точно сложившимися исходными понятиями и специфическими методами исследования. Новые требования практики, расширяют объем понятий математики, наполняют новым содержанием старые понятия.

Понятие математики абстрагированы от качественных особенностей специфических для каждого данного круга явлений и предметов. Это обстоятельство очень важно в применении математики. Так, число 2 не имеет какого-то определенного предметного содержания. Оно может относиться и к двум книг, и до двух станков, и до двух идей. Оно хорошо применяется и к этим и многим другим объектов. Так же геометрические свойства пули не изменяются от того, сделана она из стали, меди или стекла. Конечно, абстрагирование от свойств предмета обедняет наши знания о предмет и его характерные материальные особенности. В то же время именно это абстрагирование предоставляет математическим понятием обобщенности, давая возможность применять математику к разным по природе явлений. Это означает, что одни и те же закономерности математики, один и тот же математический аппарат могут быть достаточно успешно применены к биологических, технических, экономических и других процессов.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверное, древние люди сначала выражали количество путем рисования черточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему веревочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающей концепцию нуля.

Абстрагирование в математике не является ее исключительной особенностью, поскольку всевозможные общие понятия содержат в себе некоторый элемент абстрагирования от свойств конкретных вещей. Но в математике этот процесс идет дальше, чем в естественных науках. В ней широко используют процесс абстрагирования различных степеней. Например, понятие группы возникло вследствие абстрагирования от некоторых свойств чисел и других уже абстрактных понятий. В математике специфическим является также метод получения результатов. Если естествоиспытатель, доводя любое утверждение, всегда использует опыт, то математик доказывает свои результаты лишь на основе логических рассуждений. Ни результат в математике нельзя считать доказанным, пока ему не дано логического обоснования, хотя специальные исследования и подтвердили его. В то же время истинность математических теорий проверяется на практике, но эта проверка имеет особый характер. Выдвигаются математические теории реальных явлений, а выводы из этих теорий проверяются на опыте. Однако связи математики с практикой является шире, ибо понятия математики: теоремы, задачи, математические теории связаны с запросами практики. Со временем эти связи становятся более глубокими и разнообразными. Математику можно применить к изучению любого типа движения. Однако в действительности ее роль в различных областях научной и практической деятельности неодинакова. Особенно велика роль математики в изучении тех явлений, для которых даже значительное отвлечение от их специфических качественных характеристик не изменяет существенно присущих этим явлениям количественных и пространственных закономерностей. Например, в небесной механике тела считают материальными точками (т.е. абстрагируются от реальности) вычислены таким способом движения небесных тел совпадают с действительными движениями этих тел. Пользуясь математическим аппаратом, можно не только очень точно предвычислять небесные явления ( затмения, положения планет и т.д.), но и по отклонению истинных движений от исчисленных сделать вывод о наличии невидимых невооруженным глазом небесных тел. Именно так были открыты планеты Нептун (1846) и Плутон (1930). В связи с бурным развитием космических полетов небесная механика получила все большее значение. Механика и физика стали, по сути, математическими науками. Меньше, но все же значительное место занимает математика в экономике, биологии, медицине, лингвистике. Для этих наук особое значение приобрела математическая статистика. Качественное своеобразие изучаемых явлений, например, в биологии, столь значительна, что роль математического анализа при исследовании их пока является подчиненной. Процесс математизации наук, начавшийся с 18 в., теперь приобрел исключительно интенсивного развития.

Историю математики ученые обычно делят на четыре периода:

С 17 века развитие математики существенной мере взаемокоординуеться с развитием физики, механики, ряда технических дисциплин, в частности горного. Математика широко применяется, например, для составления и обработки математических моделей технологических процессов.


4. Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. Однако все исследуемые математикой объекты имеют прообразы в реальном мире, более-менее похожи на свои математические модели. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые нужные для цели исследования. Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) в виде шара. Якщо ж нам потрібно зрозуміти, скільки апельсинів ми отримаємо, якщо складемо докупи два і три, - то можна абстрагуватися і від форми, залишивши в моделі тільки одну характеристику - кількість. Абстракція та встановлення зв'язків між об'єктами в найбільш загальному вигляді - це є ціль математики.

Вивчення об'єктів у математиці відбувається за допомогою аксіоматичного методу : спочатку для досліджуваних об'єктів формулюється список аксіом і вводяться необхідні означення, а потім з аксіом за допомогою логічних правил виведення одержують цінні теореми.


5. Основні теми математики

5.1. Числа

Вивчення кількості починається з чисел, спочатку із знайомих нам натуральних чисел та цілих чисел та арифметичних операцій з ними, які вивчаються в арифметиці. Глибші властивості цілих чисел вивчає теорія чисел, до якої належить знаменита Велика теорема Ферма. До невирішених задач теорії чисел належать припущення щодо простих чисел-близнюків та Гіпотеза Гольдбаха.

В процесі розвитку числової системи, цілі числа виявились підмножиною раціональних чисел (додались дроби). А ці в свою чергу входять до множини дійсних чисел, які використовуються для відображення неперервних величин. Дійсні числа є окремим випадком від комплексних чисел. А вони є першим кроком в ієрархії чисел, яка включає кватерніони та октоніони. Вивчення натуральних чисел призвело до появи трансфінітних чисел, які формалізують поняття нескінченності. Іншою областю дослідження є розмір множини чисел, який призвів до появи кардинальних чисел, а потім до нової концепції нескінченності: чисел алеф, які дають змогу значимо порівняти розмір нескінченно великих множин.

1, 2, \ldots0, 1, -1, \ldots1, -1, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.12,\ldots
Натуральні числа Цілі числа Раціональні числа
1, -1,\frac{1}{2},0.12,\pi,\sqrt{2},\ldots-1,\frac{1}{2},0.12,\pi,3i+2, e^{i\pi/3},\ldots1,i,j,k, \pi j - \frac{1}{2}k, \dots
Действительные числа Комплексные числа Кватерніони

5.2. Преобразование

36 \div 9 = 4 Integral as region under curve.svg Vector field.svg \int 1_S\,d\mu=\mu(S)
Арифметика Диференціальне та інтегральне числення Векторний аналіз Математичний аналіз
\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c Limitcycle.svg LorenzAttractor.png
Диференціальні рівняння Динамічні системи Теорія хаосу
Арифметика - Векторний аналіз - Математичний аналіз - Теорія міри - Диференціальні рівняння - Динамічні системи - Теорія хаосу - Список функцій

5.3. Структуры

\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix} Elliptic curve simple.svg Rubik's cube.svg Group diagdram D6.svg Lattice of the divisibility of 60.svg
Комбинаторика Теорія чисел Теорія груп Теория графов Теорія порядку
Абстрактна алгебра - Теорія груп - Алгебраїчні структури - Алгебраїчна геометрія - Теорія чисел - Топологія - Лінійна алгебра - Універсальна алгебра - Теорія категорій - Теорія послідовностей

5.4. Просторові відношення

Исследование простору спричинило до виникнення геометрії, зокрема Евклідової геометрії. Тригонометрія - це розділ математики, що має справу з відношеннями між сторонами та кутами в трикутнику та з тригонометричними функціями; тут простір виражений в числах, до цього розділу входить знаменита Теорема Піфагора. Сучасні дослідження простору узагальнюють ці ідеї та включають багатовимірну геометрію, неевклідові геометрії (які грають центральну роль в загальній теорії відносності) та топологію. Кількісні та просторові характеристики разом досліджуються в аналітичній геометрії, диференціальній геометрії та алгебраїчній геометрії. Конвексна геометрія та дискретна геометрія були розроблені, щоб розв'язати задачі в теорії чисел та функціональному аналізі, але тепер знайшли своє застосування в оптимізації та інформатиці.

Pythagorean.svg Taylorsine.gif Osculating circle.svg Torus.jpg Koch curve.svg
Геометрия Тригонометрия Дифференциальная геометрия Топология Фрактальная геометрия
Геометрия - Тригонометрия - Алгебраическая геометрия - Топология - Дифференциальная геометрия - Дифференциальная топология - Алгебраическая топология - Линейная алгебра - Фрактальная геометрия

5.5. Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются к объектам, которые могут принимать только специфические, отдельные значения (не непрерывные).
Venn A intersect B.svg \ Forall x (P (x) \ Rightarrow P (x ')) Fsm moore model door control.gif Caesar3.svg 6n-graf.svg
Теория множеств Математическая логика Теория обчисленности Криптография Теория графов
Комбинаторика - Теория множеств - Математическая логика - Теория обчисленности - Криптография - Теория графов



6. Дисциплина в учебных заведениях

В Украине утрадицийнени сроки "Математика элементарная" и "Математика выше", которые соответственно обозначают курс "Математики" в общеобразовательной средней школе ( арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия) и высшей (высшая алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, математическая статистика и т.п.).


7. Системы счисления

8. Математика и образование

В школе изучается элементарная математика - арифметика, функции, алгебра, у ВУЗы - высшая математика : дифференциальное, интегральное исчисление, топология, теория операторов и все остальное, что не входит в элементарную математику. Высшая математика, как правило, базируется на высшем уровне абстракции, чем элементарная математика, и менее просто выводится из окружающего мира.


9. Онлайновые сервисы

Существует большое количество сайтов, предоставляющих сервис для математических расчетов. Большинство из них англоязычные. [1] С русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

10. Интересный факт

Если в поисковой системе Google ввести элементарный математическое выражение, например 111-11 =, то он выдаст ответ, в данном случае 100.

См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

Примечания

  1. Например: http://mathworld.wolfram.com - mathworld.wolfram.com

Источники

  • Кисилевич О.В., Пенцак А.С., Барбуляк Л.В. Математика. - М.: Мир-2000, 2006. - 320 с. - ISBN 966-418-013-0
  • Кольман Э.. История математики в древности. - М.: Физматгиз, 1961. - 234 с.
Основные разделы Математики
Алгебра Дискретная математика Дифференциальные уравнения Геометрия Комбинаторика Линейная алгебра Математическая логика Математическая статистика Математический анализ Теория вероятностей Теория множеств Теория чисел Тригонометрия Математическая физика Топология Функциональный анализ


Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам