Математическая модель

Математическая модель ( рус. математическая модель ; англ. mathematic model ; нем. mathematisches Model n ) - Система математических соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Математическая модель имеет важное значение для таких наук, как: экономика, экология, социология, физика, химия, механика, информатика, биология, и др..


Общее описание

При получении математической модели используют общие законы естествознания, специальные законы конкретных наук, результаты пассивных и активных экспериментов, имитационное моделирование с помощью вычислительных машин. Математические модели позволяют предсказать ход процесса, рассчитать целевую функцию (выходные параметры процесса), управлять процессом, проектировать системы с желаемыми характеристиками.

Для создания математических моделей можно использовать любые математические средства - язык дифференциальных или интегральных уравнений, теории множеств, абстрактной алгебры, математическую логику, теории вероятностей, графы и другие. Процесс создания математической модели называется математическим моделированием. Это самый общий и наиболее используемый в науке, в частности, в кибернетике, метод исследований.

Если отношение задаются аналитически, то их можно решить в замкнутом виде (явно) относительно искомых переменных как функции от параметров модели, или частично замкнутом виде (неявно), когда искомые переменные зависят от одного или многих параметров модели. К моделям этого класса относятся дифференциальные, интегральные, разностные уравнения, вероятностные модели, модели математического программирования и другие.

Если нельзя получить точное решение математической модели, используются многочисленные (вычислительные) методы или другие виды моделирования.

В зависимости от того, каковы параметры системы и внешние возмущения математической модели могут быть детерминированными и стохастическими. Последние имеют особенно важное значение при исследовании и проектировании больших систем со сложными связями и свойствами, которые трудно учесть. Математическое описание непрерывного процесса (например, дифференциальными уравнениями) представляет собой непрерывную математическую модель.

Если же математическая модель описывает состояние системы только для дискретных значений независимой переменной и пренебрегает характером процессов, протекающих в промежутках между ними, то такая модель является дискретной (здесь важен выбор шага дискретности, от которого зависит точность описания реального объекта его математической моделью ). Если параметры объекта, для которого разрабатывают математическую модель, можно считать независимыми от времени, то такая система описывается стационарной модели, характерная особенность которой - постоянные коэффициенты. В противном случае математическая модель нестационарной.

При математическом моделировании ориентируются на модели стандартного вида, которые обеспечены соответствующим математическим аппаратом. Так физические процессы характеризуются пространственно-временными соотношениями и в общем случае описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

Важным моментом структурирования модели является феноменологический метод, когда субпроцессы могут быть представлены отдельными моделями, выходные величины которых являются входными для других (последующих) субпроцессов. В этом случае математическая модель сложного процесса представляет собой систему моделей (уравнений), найденных для каждого субпроцессов.

Для разработки математических моделей широко используется дифференциальное исчисление, теория множеств, матрицы и графы, а также планирования эксперимента. Соответственно различают теоретико-множественные, матричные, топологические и полиномни математические модели. Примеры математических моделей:

  • Модель Мальтуса - закон о пропорциональной зависимости между скоростью роста и размером популяции.
  • Система хищник-жертва (Вольтерры-Лотки) - показывает зависимость между численностью хищников и жертв.
  • Модель оптимального поведения покупателя - выражает выбор покупателя между множеством продуктов при ограниченном бюджете.
  • Модель вселенной.

Источники информации


См.. также