Надо Знать

добавить знаний



Математический анализ



План:


Введение

Математический анализ - фундаментальный раздел математики, что ведет свой ​​отсчет от XVII века, когда было строго сформулировано теорию бесконечно малых. [1] Современный математический анализ включает в себя также теорию функций, теории границ и рядов, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и дифференциальную геометрию. Математический анализ возник выдающейся вехой в истории науки и сформировал лицо современной математики. Анализ быстро превратился в мощнейший инструмент для исследователей естественных наук, а также стал одним из двигателей научно-технической революции.

Следующим витком в развитии математического анализа стал сформированный в начале XX века функциональный анализ. Если классический анализ считает переменную числом - т.е. элементом из множества действительных (или комплексных) чисел, то в функциональном анализе уже сама функция рассматривается как переменная. Одновременно вводится понятие функционала - обобщенной функции, которые может принимать другую функцию в качестве аргумента (функция от функции). В современной формулировке, функциональный анализ является применением теории анализа к произвольному пространства математических объектов, в котором возможно определить понятие близости ( топологическое пространство), или расстояния ( метрическое пространство) между объектами. [2]


1. История возникновения

В истории математики можно условно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Границей, от которой ведется отсчет эпохи новой (иногда - высшего) математики, стало XVII века. Именно в XVII веке появился математический анализ. Предтечами был исчисления бесконечно малых в работах Валлиса, Грегори, Барроу. К концу XVII в. Исааком Ньютоном, Готфридом Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, что составляет основу математического анализа и даже математическую основу всего современного естествознания.

Движение, переменные величины и их взаимосвязь окружают нас повсюду. Различные виды движения, их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук физики, геологии, биологии, социологии и т.д.. Точная язык и соответствующие математические методы описания и изучения таких величин оказались необходимыми во всех областях знаний примерно как числа и арифметика необходимы для описания количественных соотношений. Поэтому математический анализ стал основой языка и математических методов описания переменных и связей между ними. В наши дни без математического анализа невозможно было бы не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, закономерности развития циклона, но и эффективно управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, ибо все это - динамичные процессы.

Элементарная математика была преимущественно математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношение между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения.


1.1. Предпосылки появления математического анализа

К концу XVII в. сложилась ситуация, когда в математике были накоплены знания о развязки некоторых важных классов задач (например, задачи о вычислении площадей и объемов нестандартных фигур, задача проведения касательных к кривых), а также появились методы решения различных частных случаев. Оказалось, что эти задачи тесно связаны с задачами описания некоторого (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности вычисления его мгновенных характеристик ( скорости, ускорение в любой момент времени), а также нахождение пройденного пути при движении, что происходит с заданной переменной скоростью. Решение этих задач было необходимо для дальнейшего развития физики, астрономии, техники. К середине XVII в. в работах Рене Декарта и Пьера Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), которые позволили сформулировать различные по своему происхождению геометрические и физические задачи общим языком чисел и числовых зависимостей (числовых функций).

Все эти обстоятельства привели к тому, что в конце XVII ст. двум ученым Исааку Ньютону и Готфрид Лейбниц, независимо друг от друга, удалось создать математический аппарат для решения указанных задач. В своих трудах эти ученые собрали и обобщили некоторые результаты предшественников начиная от Архимеда и заканчивая своими современниками, такими как Бонавентура Кавальери, Блез Паскаль, Джеймс Грегори, Исаак Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа - нового раздела математики, изучающего различные динамические процессы, т.е. взаимосвязи переменных, которые математики называют функциональными зависимостями или функциями.


1.2. Вехи развития математического анализа

Понятие функции ввел в XVIII в. Леонард Эйлер [3]. На протяжении XVIII в. были развиты различные методы анализа, которые обогатили дифференциальное и интегральное исчисления: вариационное исчисление, теория рядов, теория обыкновенных дифференциальных уравнений.

Анализ функций действительной переменной начал набирать признаков отдельного раздела математики, когда Бернард Больцано дал современное определение непрерывности в 1816 [4], хотя работы Больцано не получили широкую известность в 1870-х. С 1821 Огюстен Коши начал формировать прочное логическое основание под математическим анализом, формулируя его через понятие бесконечно малых. Ему также принадлежат понятия фундаментальной последовательности и основы анализа комплексной переменной. Симеон Пуассона, Жозеф Лиувилль, Жозеф Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения и гармонический анализ. Благодаря вкладу этих и других математиков, таких как Карл Веерштрас развился епсилонний подход, который является основой современного математического анализа. Образцом такого подхода является определение предела через \ Varepsilon и \ Delta .

Внутри XIX века Бернгард Риман развил теорию интегрирования. В дальнейшем математиков стало смущать то, что они предполагают существование континуума действительных чисел без доказательства. Решая эту проблему, Рихард Дедекинд сконструировал определения иррационального числа как сечение Дедекинда, таким образом заполнив "пробелы" в рациональных числах и образовав полный метрическое пространство : континуум действительных чисел. Примерно тогда же попытки уточнить теоремы интегрирования по Риману привели к изучению разрывов действительных функций.

Стали возникать математические чудовища, такие как нигде непрерывная функция Дирихле, непрерывная, но нигде не дифференцированная функция Веерштраса, кривые, полностью заполняют плоскость вроде кривой Пеано. Решая проблемы с такими функциями, Камиль Жордан построил теорию меры Жордана, а Георг Кантор развил интуитивную теорию множеств. В начале 20 века математический анализ был формализован теорией множеств. Анри Лебег решил проблему меры, а Давид Гильберт ввел Гильбертово пространство. Возникла идея нормированного векторного пространства, и в 1920-х Стефан Банах начал функциональный анализ.


2. Преподавание математического анализа в высшей школе

Математический анализ входит в общий курс высшей математики в большинстве технических вузов Украины наряду с другими разделами математики, такими как аналитическая геометрия, теория дифференциальных уравнений, теория вероятностей и др.. Для специальностей, требующих повышенного умение пользоваться математическим аппаратом, например для физиков, математический анализ излагается отдельным курсом.

Объем материала включает:

Изучение математического анализа закладывает основы для подального изучения смежных дисциплин математики: комплексного анализа, дифференциальной геометрии, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными, подводящий к изучению задач математической физики и функционального анализа.


См.. также

Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg
В Википедии есть портал

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам