Метод Бокса - Уилсона

Метод Бокса-Уилсона ( рус. метод Бокса-Уилсона ; англ. Box-Wilson method ; нем. Box-Wilson-Methode f ) - Метод оптимизации активного эксперимента путем крутого восхождения поверхностью отклика (параметров оптимизации) в оптимума, суть которого заключается в следующем: движение в направлении градиента при наличии линейного уравнения модели осуществляется из центра эксперимента последовательными шагами, которые пропорциональны произведению коэффициента регрессии каждого фактора на значение его интервала изменения.

Применяется, в частности, для получения моделей процессов обогащения полезных ископаемых и других технологических процессов, при гидродинамических исследованиях газлифтных нефтяных скважин.


Алгоритм

Метод крутого восхождения, или метод Бокса - Уилсона, объединяет существенные элементы метода Гаусса - Зейделя и градиентного метода с методами ПФЭ или ДФЭ. Так, при использовании алгоритма крутого восхождения шаговое движение с точки x_k осуществляется в направлении быстрого роста уровня выхода, то есть по grad y (\ vec x_k) , Однако, в отличие от градиентного метода, корректировка направления осуществляется не после каждого следующего шага, а после достижения в некоторой точке \ Vec x_m на данном направлении частичного экстремума целевой функции (рис. 1), аналогично методу Гаусса - Зейделя. Важной особенностью метода Бокса - Уилсона также регулярное проведение статистического анализа промежуточных результатов на пути к оптимуму. Порядок выполнения операций при поиске экстремума методом крутого восхождения такой:

1) осуществляется полный или дробный факторный эксперимент с центром в исходной точке \ Vec x_0 для определения grad y (\ vec x_0) . Результаты эксперимента подвергаются статистическому анализу, который включает:

а) проверку воспроизводимости эксперимента;

б) проверку значимости оценок коэффициентов b_i линейной модели объекта;

в) проверку адекватности созданной линейной модели

y = b_0 + b_1 x_1 + ... + b_n x_n

исследуемом объекту.

2) вычисляются произведения b_i \ triangle x_i, где \ Triangle x_i - Шаг варьирования параметра x_i при проведении ПФЭ, и фактор, для которого это произведение максимальный берется как базовый

max (b_i \ triangle x_i) = b_ {\ sigma} \ triangle x_ {\ sigma} ;

3) для базового фактора выбирают шаг варьирования при крутом восхождении \ Rho , Оставляя старый шаг или внедряя мельче;

4) определяются размеры \ Rho_i по остальным переменных процесса x_j (j \ ne i) . Поскольку во время движения градиентом варьируемые параметры должны изменяться пропорционально коэффициентам b_j = {\ triangle y \ over \ triangle {x_j}} , Которые являются компонентами вектора grad у (х), то соответствующие \ Rho_i находятся по формуле

\ Rho_i = {{b_j \ triangle x_j} \ over {\ left | b_ {\ sigma} \ triangle x_ {\ sigma} \ right |}} ,

где \ Rho и \ Triangle x_i всегда положительные, а коэффициент b_i берется со своим знаком;

5) проводятся мысленные опыты, которые заключаются в предсказания значений выхода y_ {zav, k} (\ vec x_k) в определенных точках \ Vec x_k факторного пространства (см. рис. 1). Для этого независимые переменные линейной модели объекта изменяются с учетом b_i = {{\ triangle y} \ over {\ triangle x_i}} таким образом, чтобы изображающая точка \ Vec x выполняла шаговое движение в направлении вектора grad (\ Vec x_1) , Образованного в п. 1, занимая последовательно положения

\ Vec x_1, \ vec x_2, ... , \ Vec x_k ... , \ Vec x_m .

Очевидно, что j-я координата k-й точки определяется так:

x_ {k, j} = x_ {1, j} + k_ {\ rho, j}, j = 1,2, ..., n .

Тогда

y_ {zav, k} = b_0 + k \ sum_ {j = 1} ^ n b_j \ rho_j, k = 1,2, ..., m.

Сделаем подстановку

y_ {zav, k} = ky_ {zav, 1} - (k-1) b_0, k = 1,2, ..., m.

или еще удобнее

y_ {zav, k} = y_ {zav, k-1} + (y_ {zav, 1} b_0), k = 1,2, ..., m.

6) мнимые опыты продолжаются до тех пор, пока выполняется неравенство

y_ {zav, k} \ le (1 .. 2) y_ {max}

где y_ {max} - Максимально возможный выход, который определяется из физических соображений;

7) некоторые из воображаемых опытов (обычно через каждые 2-3 мнимых шаги) реализуются на объекте для проверки соответствия аппроксимации объекта образованным уравнением (гиперплоскостью). Наблюдении значение y_ {exp} сравниваются с предсказаний y_ {zav} (См. рис. 1);

8) точка \ Vec x_m , Где в реальном опыте образовано максимальное значение выхода, берется за новую начальную точку, и этап крутого восхождения, описанный выше, повторяется;

9) поскольку каждый этап крутого восхождения приближает изображающей точки в область экстремума y (\ vec x) , Где крутизна поверхности отклика меньше, то для каждого последующего этапа \ Rho берется равным или меньшим предыдущего;

10) поиск прекращается, когда все коэффициенты b_i (i = 1,2, ..., n) линейной модели объекта выходят незначимыми. Это свидетельствует о выходе в область экстремума целевой функции.


См.. также

Литература