Метод Эйлера

Иллюстрация метода Эйлера. Искомая кривая синяя, а ее полигональное приближение красное.

В численным методам методом Эйлера называют способ решать обыкновенные дифференциальные уравнения с заданным начальным значением. Это наиболее базовый вид численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.


1. Неформальный геометрическое описание

Рассмотрим задачу рисования графика неизвестной кривой, которая начинается в данной точке, и удовлетворяет данное дифференциальное уравнение. Здесь дифривняння может рассматриваться как формула для тангенса угла наклона касательной к кривой, и может быть вычислена в каждой точке этой кривой, как только известны ее координаты.

Идея метода заключается в том, что хотя кривая сначала неизвестна, ее начальная точка, которую мы обозначим A_0, сведения (как на иллюстрации вверху справа). Тогда в этой точке можно вычислить наклон касательной.

Теперь делаем маленький шаг по касательной, к точке A_1 . Если мы предположим что A_1 все еще на кривой (приблизительно), тогда к ней можно применить те же рассуждения. Таким образом мы получим последовательность точек, образующих ломаную которая примерно повторяет кривую.

Отклонение между полученной ломаной, можно сделать не слишком большим, если делать короткие шаги вдоль касательных, и строить кривую на конечном, коротком интервале. Хотя для некоторых уравнений могут возникать дополнительные осложнения.


2. Применение

Иллюстрация численного интегрирования уравнения y '= y, y (0) = 1 . Синий - метод Эйлера, зеленый - метод средней точки, красный - точное решение, y = e ^ t . Размер шага - h = 1.0 .
Та же иллюстрация для шага h = 0.25 . Видно что метод средней точки совпадает быстрее метод Эйлера.

Мы хотим приблизить решение следующей задачи начальных значений:

y '(t) = f (t, y (t)), \ qquad \ qquad y (t_0) = y_0,

используя первые два слагаемых ряда Тейлора для y, представляющих линейное приближение у точки (T_0, y (t_0)) . Один шаг метода Эйлера с t_n в t_ {n +1} = t_n + h производится так:

y_ {n +1} = y_n + hf (t_n, y_n). \ Qquad \ qquad

Метод Эйлера является явным, то есть решение y_ {n +1} есть явной функцией y_i для i \ leq n .

Хотя метод Эйлера работает для ОДУ первого порядка, любое ОДУ порядка N может быть представленным как ОДУ первого порядка добавлением N-1 дополнительных переменных, y ', \, y'', \, \ ldots, \, y ^ {(N)} И созданием N уравнений первого порядка с этими переменными. Метод Эйлера можно применять к вектору \ Mathbf {y} (t) = (y (t), y '(t), y'' (t), ..., y ^ {(N)} (t)) для интегрирования системы уравнений высших порядков.


3. Погрешность

Если предположить, что f (t) и соответственно y (t) известны точно в момент t_0 , Тогда метод Эйлера дает примерный решение в момент t_0 + h как:

y (t_0 + h) = y (t_0) + hf (t_0, y (t_0)) = y (t_0) + h y '(t_0) \, \ qquad \ qquad

(Второе равенство сохраняется так как y удовлетворяет дифривняння y '= f (t, y) ). Расписание Тейлора для h у t_0 дает:

y (t_0 + h) = y (t_0) + h y '(t_0) + \ frac {1} {2} h ^ 2 y'' (t_0) + O (h ^ 3).

Погрешность метода Эйлера задается разницей между этими двумя уравнениями:

\ Frac {1} {2} h ^ 2 y'' (t_0) + O (h ^ 3).

Для маленких h , Доминирующий слагаемое погрешности пропорционален h ^ 2 . Чтобы решить задачу на заданном промежутке t , Необходимое количество шагов, которая пропорциональна 1 / h поэтому можно ожидать, что общая погрешность на конце интервала будет пропорциональна h (Погрешность за один шаг, на количество шагов). По этой причине, метод Эйлера называют методом первого порядка, и он менее точным (для малых h ) Чем методы высоких порядков, таких как метод Рунге-Кутты, или метод Адамса.


4. Устойчивость

Метод Эйлера может быть численно неустойчивым, особенно для жестких уравнений. Это ограничение, наряду с тем фактом, что он медленно совпадает при уменьшении h означает, что метод используется редко и как бы как простой пример численного интегрирования. Нестикости можно избежать, используя алгоритм Эйлера-Кромера.

5. Смотрите также