Надо Знать

добавить знаний



Метод конечных элементов



План:


Введение

Двовимирнмй решение магнетостатичнои конфигурации полученный с помощью МСЭ (линии показывают исчисленную плотность потока), а цветное окраску - его величину
Двумерная сетка для верхнего рисунка (сетка гуще вокруг объекта, что нас интересует)

Метод конечных элементов ( МСЭ) - это числовая техника нахождения решений интегральных и частных дифференциальных уравнений (ЧДД). Процесс решения построен или на полном устранении дифференциального уравнения для стационарных задач, или на расписании ЧДД в аппроксимирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем решаются использованием какой-либо стандартной техники, такой как метод Эйлера, Рунге-Кутты и т.д..

При решении частных дифференциальных уравнений, главной целью является создание равенства, аппроксимирующей исследуемую равенство, и есть числовое стабильной, есть ошибки в исходных данных и промежуточных вычислениях не аккумулируются и не вызывают бессодержательных результатов. Для реализации этого есть много способов, каждый из своми плюсами и минусами. Метод конечных элементов является хорошим выбором при решении ЧДД, описывающих сложные среды (такие как машины, трубопроводы) при сменности этих сред; когда желаемая точность меняется в разных участках среды; или когда решения не хватает гладкости. Например, при моделирование фронтального разбиение машины, есть возможность увеличить точность моделирования в важных зонах, таких, как передняя часть машины, и уменьшить ее при расчете того, что произойдет с задней частью машины (тем самым уменьшив ресурсоемкость моделирования). Другим примером может служить моделирование погоды на Земле, при котором важнее погода над сушей, чем над бескрайними морскими просторами.


1. История

Метод конечных элементов (МСЭ) возник из необходимости розьязування сложных задач эластичности и структурного анализа в гражданской, морской и авиаинженерии. Его развитие можно проследить еще в работах Александра Хреникова (1941) и Ричарда Куранта (1942). При том, что видение двух ученых были невероятно разными, они всеже таки сходились на главном: распределение большого непрерывные области на меньшие домены, как правило называются элементами.

В своей работе Хреников распределял домен используя принцип решетки. В то же время куранты разделял область на конечное число треугольных подобластей, которые соответствуют решениям эллиптических ЧДД второго порядка, которые возникают от проблемы скрученности цилиндра. Вклад Куранта был эволюционным, то есть опирался на большой багаж знаний о таких ЧДД, который накопили Рейлиг, Ритц и Галеркина.

Развитие метода конечных элементов начался в середине 1950-х годов для нужд аэротрубе и структурного анализа и получил свое наибольшее развитие в Штутгартском университете в работе Джона Аргериса и в университете Беркли, а точнее в работе Рэя В. Клафа в 1960-х для использования в гражданской инженерии. К концу 1950-х ключевые концепции матрицы жесткости и сбор элементов уже существовали практически в таких же формах, в которых они применяются и сейчас. В 1965 году по заказу НАСА была написана программа НАСТРАН, как программное обеспечение построено для реализации МСЭ. Сам метод был строго доказан в 1973 году в публикации Стренга и Фикса - "Анализ метода конечных элементов", и с того времени был обобщен в отдельную отрасль прикладной математики и математического моделирования физических систем в большом количестве инженерных дисциплин, таких как электромагнетизм или жидкостная динамика.


2. Применение

Метод конечных элементов, обычно на стадии дизайна и разработки продуктов, использует много дисциплин основном из семьи механической инженерии (таких как аэро-, морская, биометрическая и автомобильная индустрии). Несколько современных МСЭ пакетов включают специальные элементы такие, как термальные, электромагнитные, жидкостные и структурные рабочие среды. В структурном моделировании МСЭ очень помогает в генерации жесткостных и силовых визуализаций в местах оползней и изгибов, и отображения распространения сил и смещений.

МСЭ-программы обеспечивают широкий спектр моделирующих возможностей контроля сложности и модельовальнои и аналитической систем. При необходимости в большинстве инженерных программ можно изменять желаемый уровень точности, время требуется для необходимых и ассоциированных вычислений.

МСЭ позволяет проектировать, отлаживать и оптимизировать продукцию перед ее выпуском. Этот мощное средство проектирования существенно улучшил стандарты инженерных проектов и методологию этого процесса во многих сферах. Использование МСЭ уменьшило время, за которое продукт проходил от концепции до конвейера. Его главной идеей было улучшение начальных прототипов используя МСЭ, что способствовало ускорению их тестирования и разработки. В целом, преимущества МСЭ является увеличение точности, улучшение дизайна и лучшее видение его критических параметров, создания виртуальных прототипов, уменьшение количества реальных прототипов, ускорения и удешевления проектирования, увеличение производительности и прибыльности.


3. Техническая сторона

Рассмотрим действие метода на двух примерах, на которые можно экстраполировать основной метод.

П1 является одномерной проблемой:

\ Mbox {P1} \ begin {cases} u'' = f \ mbox {in} (0,1), \ \ u (0) = u (1) = 0, \ end {cases}

, Где f является заданной функцией, а u - Неизвестная функция от x , И u'' является второй производной функции u по переменной x.

Двумерная проблема известна под названием проблема Дирихле:

\ Mbox {P2} \ begin {cases} u_ {xx} + u_ {yy} = f & \ mbox {in} \ Omega, \ \ u = 0 & \ mbox {on} \ partial \ Omega, \ end { cases}

, Где \ Omega является открытой звязняною областью на плоскости (X, y) , С "хорошей" (например многоугольник) границей, а u_ {xx} и u_ {yy} - Вторые производные функции u по x , И по y соответственно.

Проблему П1 можно розвьятаты прямо - обсчетом первоначальных. Хотя этот метод решения задач на предельных значений работает когда есть только один пространственное измерение и не обобщается на многомерные задачи или на задачи вида u + u'' = f . По этой причине, мы применим метод конечных элементов на П1 и опишем его обобщения на П2.

Наше объяснение проходить в два этапа, которые отражают два основных шага для решения задач на предельные значения используя МСЭ.


? На первом шаге, мы превратить ЧДД в его "слабую", или вариационную форму. Для этого шага, как правило, никаких вычислений вообще не нужно - все преобразования делаются вручную на бумаге.

? Второй шаг состоит в дискритизации, где эта "слабая" форма является дискритизованою на конечномерном пространстве.

После этого второго шага, мы конкретную формулу для большой, зато конечномерных линейной задачи, решение которой будет примерно ровьязуваты начальное ЧДД. После, конечномерная задачу решают на компьютере.


4. Преимущества и недостатки МСЭ

Важнейшими преимуществами метода конечных элементов являются:

  • Свойства материалов смежных элементов могут быть разными. Это позволяет применять метод к телам, составленных из нескольких материалов.
  • Конечными элементами являются простые области (прямые линии, треугольники, прямоугольники, пирамиды, призмы). Таким образом, данным методом можно аппроксимировать тела со сложной формой краев.
  • Размеры элементов могут быть переменными. Это позволяет увеличивать или уменьшать элементы сетки.
  • С помощью МСЭ легко рассмотреть граничные условия с разрывной поверхностным нагрузкам, а также смешанные граничные условия.
  • Алгоритм метода конечных элементов позволяет создать общие программы для решения задач различного класса.
  • Задача сводится к решению системы алгебраических уравнений большой размерности. Однако хорошая обусловленность системы разрешающих алгебраических уравнений позволяет получать достаточно точные решения для систем уравнений размерностью 5-10 миллионов и более.

Главный недостаток этого метода заключается в потребностях большого объема памяти ЭВМ и высокой скорости расчета. В настоящее время [ Когда? ] развитие ЭВМ практически устранил этот недостаток.


5. Смотрите также



Сигма Это незавершенная статья математики.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

код для вставки
Данный текст может содержать ошибки.

скачать

© Надо Знать
написать нам