Модель Ходжкина-Хаксли

Основные компоненты модели Ходжкина-Хаксли. Пояснения к обозначениям смотри в тексте.

Модель Ходжкина-Хаксли - математическая модель, описывающая генерацию и распространение потенциалов действия в нейронах и других электрически возбуждаемых клетках - таких, например, как сердечные миоциты. Модель представляет собой комплекс ординарных дифференциальных уравнений, которая описывает характеристики электрического сигнала.

Модель была разработана Аланом Ллойдом Ходжкина и Эндрю Хаксли в 1952 году для описания электрических механизмов, обусловливающих генерацию и передачу нервного сигнала в гигантском аксоне кальмара [1]. За это авторы модели получили Нобелевскую премию в области физиологии и медицины за 1963 год.


1. Основные компоненты

Компоненты электрической схемы, соответствует модели Ходжкина-Хаксли, изображенные на рисунке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свии биофизический аналог. Подвийнному липидном слоя клеточной мембраны соответствует электроемкостьm). Потенциал-зависимые ионные каналы соответствуют нелинейной электрической проводимости (g n, где n - отдельный вид ионных каналов), это означает, что проводимость есть потенциал-и время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, образующих потенциал-зависимые ионные каналы, каждому из которых присуща некоторая вероятность открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) клетки мембраны. Каналы мембранных пор отвечают пассивной проводимости (g L, где индекс L означает английское слово "Leak"). Электрохимический градиент, побуждает ионы к движению через мембранные каналы, показанный за помощью аккумуляторов с соответствующим электродвижущей силой (E n и E L), величина которой определяется уравнением Нернста для соответствующего вида иона. Ионные транспортеры соответствуют источникам тока (I p).

Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны ( \ Dot {V} _m ) При описанных условиях пропорциональна сумме токов в полном электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:

\ Dot {V} _m = - \ frac {1} {C_m} \ left (\ sum \ limits ^ {} _i I_i \ right), ,

где I и обозначает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.


2. Характеристики ионного тока

Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выражен следующим уравнением:

I_i (V_m, t) = (V_m - E_i) {g_i} \; ,

где Е и - равновесный потенциал i-го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость g и является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) - g n (t, V) на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной (g L на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, его переносит соответствующий транспортер. Ниже приведены подробное описание перечисленных величин:


2.1. Потенциал-зависимые ионные каналы

В терминах модели Ходжкина-Хаксли проводимость потенциал-зависимых каналов (gn (t, V)) описывается следующим образом:

{G} _n (V_m, t) = \ bar {g} _n \ varphi ^ \ alpha \ chi ^ \ beta \,
\ Dot {\ varphi} (V_m, t) = \ frac {1} {\ tau_ \ varphi} (\ varphi_ \ infty - \ varphi)
\ Dot {\ chi} (V_m, t) = \ frac {1} {\ tau_ \ chi} (\ chi_ \ infty - \ chi),

где \ Varphi и \ Chi являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны частному от максимальной возможной проводимости через данный вид каналов имеется в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. \ Bar {g} _n является максимальным возможным значением проводимости. \ Alpha и \ Beta - Константы, \ Tau φ и \ Tau χ - временные константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. \ Varphi_ \ infty и \ Chi_ \ infty является стабилизированными значениями \ Varphi_ \ infty и \ Chi_ \ infty при величине времени, стремится к бесконечности, и конечно рассчитываются из уравнения Больцмана как функция V m.

Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала - модификация уравнений Ходжкина-Хаксли, сделана Макардтом [2]. Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне (voltage-clamp), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейных дифференциальных уравнений следующего вида:

\ Varphi (t) = \ varphi_ {0} - [(\ varphi_ {0} - \ varphi_ {\ infty}) (1 - e ^ {-t / \ tau_ \ varphi})] \,
\ Chi (t) = \ chi_ {0} - [(\ chi_ {0} - \ chi_ {\ infty}) (1 - e ^ {-t / \ tau_ \ chi})].

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала V m, величина электрического тока описывается следующим уравнением:

I_n (t) = \ bar {g} _n \ varphi ^ \ alpha \ chi ^ \ beta (V_m-E_n).

Для аппроксимации кривых, которые генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала використовуетться алгоритм Левенберга-Макардта [3] [4], что является модифицированным алгоритмом Гаусса-Ньютона.


2.2. Пассивные каналы

Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости g i (g i = const ).

2.3. Ионные транспортеры

Мембранный электрический потенциал генерируется за помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях оранизму, относительно клеточной мембраны. Важнейшими из белков-транспортеров, поддерживают мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са2 + внутрь клетки в обмен на 3 ионы Na +, транспортируемых наружу), натриево-калиевый (транспоруе один ион Na + наружу в обмен на один ион К + внутрь), и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl -) [5] [6].


3. Модификации и альтернативные модели

Модель Ходжкина-Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии 20-го века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:

  • Основываясь на экспериментальных данных, в нее были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортеров.
  • Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток ( аксонов и дендритов).

Также на общих принципах модели Ходжкина-Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимное активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.


Литература

  1. Hodgkin, A., and Huxley, A. (1952): A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol. 117 :500-544.
  2. Marquardt, D. (1963): An algorithm for the least-squares estimation of nonlinear parameters. SIAM J. Appl. Math. 11 (2) :431-441.
  3. Levenberg, K. (1944): A method for the solution of certain non-linear problems in least-squares. Q. Appl. Math. 2 (2) :164-168.
  4. Johnston, D., and Wu, S. (1997): Foundations of Cellular Neurophysiology, chapter 6. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 0-262-10053-3.
  5. Hille, B. (2001): Ionic Channels of Excitable Membranes (3rd ed.). Sinauer Associates, Inc., Sunderland, MA. ISBN 0-87893-321-2
  6. Encyclopedia of Neuroscience - 3rd edition. Elsevier Science, 2004. ISBN 0-444-51432-5