Модули упругости

Модули упругости - физические характеристики твердотельных веществ, которыми определяется величина механических напряжений при упругой деформации.


1. Изотропные среды

Для определения напряжений в изотропном твердом теле необходимые два модуля упругости. Такими модулями могут быть, например, коэффициенты Ламе или модуль Юнга и модуль сдвига. Исторически сложилось так, что в различных областях применения вводились несколько различные модули упругости, величины которых можно выразить через другие модули.


2. Кристаллические твердые тела

Реакция кристаллических твердых тел на деформацию сложнее, и для ее определения нужны дополнительные параметры. Всего модули упругости для кристаллических веществ объединяются в матрицу жоросткости

3. Таблица формул взаимосвязи между модулями

Формулы преобразований
Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов определяются любыми двумя модулями упругости. Итак, имея два модуля, что можно вычислить по следующим формулам:
(\ Lambda, \, G)(E, \, G)(K, \, \ lambda)(K, \, G)(\ Lambda, \, \ nu)(G, \, \ nu)(E, \, \ nu)(K, \, \ nu)(K, \, E)
K = \, \ Lambda + \ frac {2G} {3} \ Frac {EG} {3 (3G-E)}\ Lambda \ frac {1 + \ nu} {3 \ nu}\ Frac {2G (1 + \ nu)} {3 (1-2 \ nu)}\ Frac {E} {3 (1-2 \ nu)}
E = \,G \ frac {3 \ lambda + 2G} {\ lambda + G}9K \ frac {K-\ lambda} {3K-\ lambda}\ Frac {9KG} {3K + G}\ Frac {\ lambda (1 + \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}2G (1 + \ nu) \,3K (1-2 \ nu) \,
\ Lambda = \,G \ frac {E-2G} {3G-E}K-\ frac {2G} {3}\ Frac {2 G \ nu} {1-2 \ nu}\ Frac {E \ nu} {(1 + \ nu) (1-2 \ nu)}\ Frac {3K \ nu} {1 + \ nu}\ Frac {3K (3K-E)} {9K-E}
G = \,3 \ frac {K-\ lambda} {2}\ Lambda \ frac {1-2 \ nu} {2 \ nu}\ Frac {E} {2 +2 \ nu}3K \ frac {1-2 \ nu} {2 +2 \ nu}\ Frac {3KE} {9K-E}
\ Nu = \,\ Frac {\ lambda} {2 (\ lambda + G)}\ Frac {E} {2G} -1\ Frac {\ lambda} {3K-\ lambda}\ Frac {3K-2G} {2 (3K + G)}\ Frac {3K-E} {6K}
M = \,\ Lambda +2 G \,G \ frac {4G-E} {3G-E}3K-2 \ lambda \,K + \ frac {4G} {3}\ Lambda \ frac {1 - \ nu} {\ nu}G \ frac {2-2 \ nu} {1-2 \ nu}E \ frac {1 - \ nu} {(1 + \ nu) (1-2 \ nu)}3K \ frac {1 - \ nu} {1 + \ nu}3K \ frac {3K + E} {9K-E}

Источники

  • Сопротивление материалов. Учебник / Г. С. Писаренко, А. Л. Цветок, Е. С. Уманский. Под ред. Г. С. Писаренко - М.: Высшая школа, 1993. - 655 с. ISBN 5-11-004083-5
  • Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.