Модулярная форма

Модулярная форма - голоморфных функция определена на верхней комплексной полуплоскости (т.е. множестве \ Mathbb {H} = \ {x + iy \; | y> 0; x, y \ in \ mathbb {R} \} ), Что является инвариантной относительно преобразований модулярной группы или некоторой ее подгруппы и удовлетворяет условию голоморфности в параболических точках. Модулярные формы и модульных функции широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.


1. Определение

1.1. Вспомогательные определения

Пусть \ Gamma = \ begin {pmatrix} a & b \ \ c & d \ end {pmatrix} \ in SL_2 (\ mathbf {Z}) - квадратная матрица порядка 2 с целочисленными элементами и определителем равным единице. Для некоторого z \ in \ mathbb {H} определим функцию \ Gamma z = \ left (\ frac {az + b} {cz + d} \ right) . Также обозначим:

\ Gamma (N) \ left \ {\ begin {pmatrix} a & b \ \ c & d \ end {pmatrix} \ in SL_2 (\ mathbf {Z}): a \ equiv 1, b \ equiv 0, c \ equiv 0, d \ equiv 1 \ pmod {N} \ right \}.

Данные группы называются главными конгруэнтными подгруппами уровня N. Также используется обозначение \ Gamma (N) = SL_2 (\ mathbf {Z}) . Произвольная группа \ Gamma: \ Gamma (N) \ subseteq \ Gamma \ subseteq \ Gamma (1) называется конгруэнтной. Пусть \ Gamma \ in \ Gamma - Некоторый элемент конгруэнтной группы. Если \ Operatorname {Tr} (\ gamma) \ pm 2 (Где \ Operatorname {Tr} (\ cdot) - след матрицы) то этот элемент называется параболическим, а соответствующее преобразование параболическим. Точка s \ in \ R \ cup {\ infty} называется параболической, если существует параболический элемент \ Gamma \ in \ Gamma, \, \ gamma \ neq {I,-I} , Такой что \ Gamma s = s \, .


1.2. Модулярная форма

Пусть \ Gamma - Некоторая конгруэнтен группа. Функция f определена на \ Mathbb {H} называется модулярной формой степени (веса) 2k для группы \ Gamma , Если выполняются условия:

  1. f (\ gamma z) = (cz + d) ^ {2k} f (z), \, \ forall \ gamma = \ begin {pmatrix} a & b \ \ c & d \ end {pmatrix} \ in \ Gamma ;
  2. f (z) - голоморфных в \ Mathbb {H} ;
  3. f (z) голоморфных в параболических точках группы \ Gamma .

1.3. Модулярная функция

Пусть \ Gamma - Некоторая конгруэнтен группа. Функция f определена на \ Mathbb {H} называется модулярной функцией для группы \ Gamma , Если выполняются условия:

  1. f (z) является инвариантной относительно действия группы \ Gamma , То есть f (\ gamma z) = f (z), \, \ forall \ gamma = \ begin {pmatrix} a & b \ \ c & d \ end {pmatrix} \ in \ Gamma ;
  2. f (z) - мероморфных в \ Mathbb {H} ;
  3. f (z) - Мероморфных в параболических точках группы \ Gamma .

2. Случай группы \ Gamma (1)

Модулярная группа \ Gamma (1) / \ {I,-I \} \,порождается двумя матрицами T = \ \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 1 \ \ 0 & 1 \ end {array} \ right) \, и S = \ left (\ begin {array} {cc} 0 & 1 \ \ -1 & 0 \ end {array} \ right) . Поэтому для проверки выполнения первых условий определений модулярных функций и форм достаточно проверить выполнение условий \ F (z) = f (z +1) и \ F (1 / z) = z ^ k f (z) . Параболической точками данной группы есть точки \ Q \ cup \ {\ infty \} и все они являются эквивалентными, то есть \ Forall a, b \ in \ Q \ cup {\ infty} существует такой \ Gamma \ in \ Gamma (1) , Что \ Gamma a = b . Поэтому достаточно проверить голоморфнисть или мероморфнисть только в одной из этих точек. Удобнее для этого взять \ {\ Infty \} . Благодаря свойству \ F (z) = f (z +1) функция f (z) может быть записана через ряд Фурье по q = \ exp (2 \ pi iz) .

Поскольку \ Exp на всей комплексной плоскости не ровный нулю то также q \ neq 0 но, \ Exp (w) \ to 0 когда w \ to - \ infty (По отрицательной действительной оси), так q \ to 0 когда 2 \ pi iz \ to - \ infty , Т.е. когда z \ to i \ infty (По положительной воображаемой оси).

Функция является мероморфных в беспредельности если:

f (z) = \ sum_ {n =-m} ^ \ infty c_n \ exp (2 \ pi inz) \ sum_ {n =-m} ^ \ infty c_n q ^ n.

на всем открытом единичном круге. Коэффициенты c_n - Коэффициенты Фурье функции f , Если c_n = 0 при n <0 на всем открытом единичном круге то функция голоморфных в бесконечности.


3. Общий случай

Если \ Gamma - Некоторая подгруппа с конечным индексом группы \ Gamma (1) , То множество параболических точек тоже равна \ Q \ cup \ {\ infty \} , Но в этом случае они могут не быть эквивалентными, поэтому условия голоморфности и мероморфности следует проверять отдельно для каждого класса эквивалентности. Для точки \ {\ Infty \}стабилизатор порождается некоторой матрицей T ^ M = \ left (\ begin {array} {cc} 1 & M \ \ 0 & 1 \ end {array} \ right) \, . Поскольку f (z) инвариантна относительно T ^ M , То \ F (z) = f (z + M) . Поэтому если определить q = \ exp \ left (\ frac {2 \ pi iz} {M} \ right) то можно дать признаки мероморфности и голоморфности подобные предыдущих.

функция мероморфных в беспредельности если:

f (z) = \ sum_ {n =-m} ^ \ infty c_n q ^ n.

на всем открытом единичном круге. Коэффициенты c_n - Коэффициенты Фурье функции f , Если c_n = 0 при n <0 на всем открытом единичном круге то функция голоморфных в бесконечности.

Если точка \ Tau \ in \ Q не является эквивалентна бесконечности в группе \ Gamma , Тогда можно найти такой \ Gamma \ in \ Gamma (1) , Что \ Tau = \ gamma (\ infty) . Тогда функция F (z) = f (\ gamma z) является инвариантной относительно группы \ Gamma \ Gamma \ gamma ^ {-1} \ subset \ Gamma (1) . Тогда f (z) будет голоморфной (мероморфных) в точке \ Tau \ in \ Q , Если F (z) будет голоморфной (мероморфных) в бесконечности.


4. Примеры

  • Одними из самых простых примеров модулярных форм является ряды Эйзенштейна веса 2k, , Которые определяются для k \ geq 2 :
G_ {2k} (z) = \ sum_ {(m, n) \ in \ mathbb {Z} ^ 2 \ backslash (0,0)} \ frac {1} {(m + n \ tau) ^ {2k} }.

где z \ in \ mathbb {H} .

  • Пусть
g_2 = 60 \ sum_ {(m, n) \ neq (0,0)} (m + n \ tau) ^ {-4} \ qquad g_3 = 140 \ sum_ {(m, n) \ neq (0, 0)} (m + n \ tau) ^ {-6} - Модульных инварианты, \ Delta = g_2 ^ 3 27g_3 ^ 2 - Модулярной дискриминант.

Определим также:

j (\ tau) = 1728 {g_2 ^ 3 \ over \ Delta} - Основной модулярной инвариант (j - инвариант).

Выполняются равенства:

g_2 (\ tau +1) = g_2 (\ tau), \; g_2 (- \ tau ^ {-1}) \ tau ^ 4g_2 (\ tau)
\ Delta (\ tau +1) \ Delta (\ tau), \; \ Delta (- \ tau ^ {-1}) \ tau ^ {12} \ Delta (\ tau)

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. Есть g_2 - Модулярная форма веса 4, \ Delta - Модулярная форма веса 12. Согласно g_2 ^ 3 - Модулярная форма веса 12, а j (z) - Модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.